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視頻標簽：函數的單調性
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修一1.3.1《函數的單調性與最大（小）值》甘肅省優課
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高中數學人教A版必修一1.3.1《函數的單調性與最大（小）值》甘肅省優課
1.3.1函數的單調性與最大（小）值
（第一課時）教學設計
一、教材分析
(一) 教材的地位和作用
從單調性知識本身來講.學生對于函數單調性的學習共分三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數單調性的嚴格定義，從數和形兩個方面理解單調性的概念；第三階段則是在高三利用導數為工具研究函數的單調性。
單調性是函數的第一個重要性質，從知識結構上看，它既是函數概念的延伸和擴展，又為后續研究指數函數、對數函數、冪函數的單調性奠定了基礎，對進一步探索、研究函數的其他性質有著示范作用,它在整個高中數學知識中起著承上啟下的作用 (二)教材的重難點
重點：函數單調性的概念，判斷并證明函數的單調性. 難點：引導學生歸納出函數單調性的定義以及根據定義證明函數
的單調性.
二、學情分析
1.有利因素：在初中階段，學生對函數的單調性已經有了“形”的直觀認識，知道用“y隨x的增大而增大或減小”描述圖像的“上升”或“下降”， 具備一定的觀察、類比、分析、歸納的學習能力. 2. 不利因素，甘肅甘南是民族地區，絕大多數學生是民族生，
根據民族生的特點，識記是強項，但邏輯思維水平不高,抽象概括能力不強,推理論證能力也比較薄弱,還需要在單調性定義的形成和用定義證明函數的單調性的過程中進一步培養和加強. 三、教學目標 (一)知識與技能：
1、理解函數單調性的概念。
2、會根據函數的圖像判斷函數的單調性。 3、能根據單調性的定義證明函數的單調性。 (二)過程與方法：
1、培養學生利用數學語言對函數單調性概念的概括能力。
2.利用函數圖像判斷函數的單調性，使學生領會數形結合的數學方法。
3、通過用定義法證明函數的單調性，進一步加強學生的邏輯推理能力。
(三)情感態度與價值觀：
1.通過學生熟悉的生活背景導入，激發學生學習數學的興趣。 2.通過問題串的引入，學生積極參與教學活動，獲得成功的體驗，增強了學生學習數學的信心。 四、教學模式：
(一) 教學模式：四步導學
1.創設情境，導入課題； 2.探索歸納，形成概念 3.實踐訓練，深化理解； 4.總結反思，提高認識
(二) 模式的基本理念：以學生為主體，注重概念的形成過程和定義
的應用實踐。
(三) 模式的基本原則：直觀感受，啟發引導，鞏固訓練。 (四) 模式的實施策略：以學生熟悉的生活背景導入，以單調性定義
的形成和應用為主線，按“四步導學法”完成一本節課的教學。 五、教學方法
1.教法：啟發引導法、從抽象到具體，從特殊到一般的方法. 2.學法：數形結合法、小組合作探究法、類比法。 六、教學過程：
教學環節 教學內容
學生活動
設計意圖 環 節 一
一、創設情境，導入課題
情景1.上圖是2016年8月20日在我們甘肅省甘南藏族自治州舉行的
“2016早子溝金礦杯甘南藏地傳奇自
行車賽”24小時內的氣溫變化圖，請同學們
觀察圖象，然后思考兩個問題。
問題1 怎樣描述氣溫隨時間的增大而變化的情況？
問題2 怎樣用數學語言來刻畫上述時段內“隨著時間的增大氣 溫逐漸升高”這一特征？
學生通過對圖像的觀察，進行思
考問題1,2.
以學生熟悉的事物為背景提出問題， 激發學生的學習興趣，為突破難點做好鋪墊,從而自然導入課題。
二、探索歸納，形成概念
溫故知新 ：由已知的直觀圖象探究函數單調性的概念 問題1：觀察如圖一次函數和二次函數的圖象，指出上面兩個圖象在哪個區間是上升的，哪個區間是下降的？
學生回答： 1）函數y=x的圖象從左到右上升，即在區間（-∞，+
用提問的方式，引導學生用圖形語言和自然語言對函數單調性進行描述，合理設置層次，為揭示函數單調性定義
環 節 二
﹙1﹚y=x ﹙2﹚2yx
問題2;觀察2
yx 的圖象，換一種角度
分析隨自變量x 的變化，對應函數值y 的
變化情況？
問題3：如何用符號語言描述“隨著 x 的增大，相應的 y 隨著增大”“隨著x 的增大，相應的 y 隨著減小”
圖形語言→文字語言→符號語言
特殊→一般 抽象→具體 感性→理性
1.增函數的定義：
一般地，設函數f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1、x2 ，當12xx時，都有
12()()fxfx，那么就說函數f(x)在區間
D上是增函數。
問題4：同學們能否類似地得出減函數的定
∞）都上升. 2）函數2yx在y軸的左側(-∞,0]下降、右側（0,+∞)上升.
圖形語言→文字語言
在y軸右側，y隨x增大而增大； 在y軸左側，y隨x增大而減小.
任取 x1、x2∈（0,+∞)，
當12xx時，都有12()()fxfx，
任取
x1、x2∈(-∞,0)， 當12xx時，都有12()()fxfx，
問題3：同學們能否類似地得出減函數的定義？（學生
討論、回答）
的本質做好鋪墊。
從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識．
引導學生將圖像語
言、自然語言轉化為符
號語言，把對單調性的
認識由感性上升到理性
認識的高度。
.
把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為第三階段的學習做好鋪墊.
環 節 二 環 節 三
義？（學生討論、類比回答） 學生回答：略 師生共同得出： 2.減函數的定義：
一般地，設函數f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1、x2 ，當
12xx時，都有
12()()fxfx，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數。
3.單調區間定義：
如果函數yfx在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數yfx在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做
yfx的單調區間.
三、實踐訓練，深化理解
例1 下圖是定義在區間
5,5上的函數
yfx，根據函數圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？ 師生活動：學生觀察圖象，獨立完成，教師解答學生在解決問題過程中出現的問題．如： ①單調區間是定義域的子集； ②本題中，如果用并集符號，不符合單調性定義； ③本題中，區端點處有意義，那么區間開
通過問題進一步分析概念中關鍵詞的含義，提
升對概念的準確
理解。
學生能夠通過函數
圖象說出函數的單調區間，加深對函
數單調性概念的理解．分析解決問題
針對學生可能出現
的問題，組織學生
討論、交流。
例1的解決讓學生
學會通過函數圖象來判
斷函數的單調區間及在
各區間的單調性。
學生進一步理解單
調函數定義，鞏固證明單調函數的方法，并謹
慎使用并集符號。
環 節 三
閉都可以． 強調：多個單調區間用“，”或“和”字，不用并集符號“∪” 例2.證明函數()21fxx在R上是減
函數．
證明：任取2121,∈,xxRxx<且, 取值 1212()()(21)(21)fxfxxx
1212
12212121222()2()xxxxxxxx ,021xx<< 0-12>∴xx
∴,0)(-)(21>xfxf即),()(21xfxf> ∴函數()21fxx在R上是減函數
總結證明函數單調性的步驟：
1.取值:任取x1、x2屬于給定區間，且
12xx；
2.作差:差12()()fxfx；
3.變形：變形的常用方法有:因式分解、配
方、有理化等；
4.定號:確定12()()fxfx的正負； 5.判斷（下結論）:由定義得出函數的單調性。 練習：
1.用定義法證明函數1
yx
的單調性.
2.證明 函數(0)k
ykx
的單調性.
分析：
根據學情分析，在
處理例2時，考慮
到學生對作差后的變形和對因式符號
的判斷有一定的難度，教學中，我采
取一邊分析，一邊板演證明過程的方
法來解決這一難題，然后提煉基本
步驟，強化變形的
方向和符號判定方
法，接著讓學生板
演實踐。
學生獨立完成。教師解答學生遇到的問題。如：區間分別為減函數，是否能將兩個區間并起來說是減函數。 學法指導： 1、分區間判斷函數的單調性. 2、一般地，作差后要變形到因式的積或商的形式利于判斷性質符號.
通過例2，既鞏固了函數單調性的概念，也讓學生領悟到利用定義證明函數單調性的基本步驟。
練習為了使學生對函數單調性的定義和判斷函數單調性的方法有更進一步的理解和掌握。
環 節 四
四、歸納小結，提高認識
1.增函數、減函數的定義； 2.圖象法判斷函數的單調性：增函數的圖象
從左到右上升，減函數的圖象從左到右下降. 3.（定義法）證明函數單調性的步驟：設值、作差、變形、判號、下結論。
學生小組合作，交
流展示，教師指導
評價 學生回顧，總結.
以自我小結的形式，回顧與梳理本節知識。可幫助學生自行構建知識體系，理清知識結構，盡快將所學知識內化為素質。
環 節 五 布置作業：
1、課本習題P39頁A組1、2（必做） 2、畫出函數 的圖像，判斷它的單調性，并加以證明。（選做）
學生通過作業進行課外反思，通過思考發散
針對我校高一學生素質的差異，采取分層作業，滿足不同層次學生的要求。
七、板書設計：
1.3.1函數的單調性與最（大）小值
一. 情景導入 二、概念形成
1.增函數的定義 2.減函數的定義
3.單調函數
三.應用舉例 例1
例2
設計意圖：加深學生對重點知識的理解和掌握，反饋學生的評價信息。 七、教學反思與評價：
課題：函數的單調性
【學法指導】
學生利用15分鐘先精讀一遍教材 ，用紅色筆進行勾畫；再針對預習自學二次閱讀并回答，找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課上討論質疑。
【學習目標】
`1.準確了解增函數，減函數的概念及其定義；
2. 掌握某些簡單的函數單調性的判定方法及用定義證明函數的單調性的方法；
【學習重點與難點】
重點：掌握判斷函數單調性的判斷方法：定義法和圖象法，學會運用函數圖象研究函數的性質；
難點：..能夠熟練的掌握用定義法證明函數單調性及其步驟.
【預習案】閱讀教材第27-29頁，找出疑惑之處，完成新知學習
1、增函數：設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1) f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是 .
2、減函數：設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于屬于I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1
、x2，當x1<x2時都有f(x1) f(x2).那么就是f(x)在這個區間上是 .
3、單調區間：如果函數f(x)在某個區間D上是增函數或減函數，就說f(x)在這一區間上具有（嚴格的）單調性，區間D叫f(x)的單調區間.
【預習自測】首先完成教材上P32第1、2、3題； P39第1、3題；然后做自測題
1．判斷
在（0，+∞）上是 函數（填“增”、“減”）
【借助圖象，拋物線開口向_____，對稱軸為直線_______，當
（0，+∞）時，圖象呈_____趨勢，因此，在（0，+∞）上是______函數】
2．判斷
在（ —∞，1）上是 函數（填“增”、“減”）【方法同上】
3．下列函數中，在（0，2）上為增函數的是（ ）
（A）y=
（B） y=2x-1 （C） y=1-x （D）y=
4． 函數y=-1的單調遞 區間為
5．證明函數f(x)=3x+2在R上是增函數。【利用定義進行證明】
【我的疑問】
【課內探究】首先獨立思考探究，然后合作交流展示
探究一：單調性相關概念
實踐：畫出函數y=x 和 y= x2的圖象.
討論：1、（1）你能描述上面函數的圖像特征嗎？
（2）根據y=x 和 y= x2的圖象隨x的增大，函數值怎樣變化？當x
>x
時，f(x)與f(x)的大小關系怎樣？
(3)寫出函數的單調區間
2：根據下圖說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，函數是增函數還是減函數.
增區間：_______________,函數是____函數；
減區間：_______________,函數是____函數.
思考：答案能否寫成
在區間
上是減函數，在區間
上是增函數？
思考并回答：（1）在增函數(減函數)的:定義中指出定義中的關鍵詞句。
（2）增函數的定義中，把“當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)”改為“當x1>x2時，都有f(x1)>f(x2)”，這樣行嗎?增函數的定義中，“當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)”反映了函數值有什么變化趨勢?函數圖象有何特點?
（3）從圖象上來看增函數：從左向右看,圖象是＿＿＿（選填：上升、下降）的；
從圖象上來看減函數：從左向右看,圖象是＿＿＿（選填：上升、下降）的；
（4）所有函數是不是都具有單調性？
（5）函數的單調區間與函數定義域有何聯系？
探究二:增函數、減函數的證明或判斷
問題1 判斷函數單調性的方法有哪些？
問題2 根據增函數或減函數的定義，你認為證明函數f(x)在區間D上單調性的一般步驟有哪些？
例1 下圖是定義在區間
上的函數
，根據函數圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？
師生活動：學生觀察圖象，獨立完成，教師解答學生在解決問題過程中出現的問題．
探究點三: 用定義證明函數單調性的應用
例2.證明函數
在
上是減函數．
隨堂練習：
1. 函數
的單調增區間是（ ）
A. 
B. 
C. R D.不存在
2、若函數
是R上的減函數，則有（ ）
A.
B. 
C. 
D. 
3. 在區間
上為增函數的是（ ）
A．
B．
C．
D．
+5
4.函數y=
的單調減區間為
5. 函數
的單調遞增區間是 ，單調遞減區間是 .
【個人收獲與問題】
知識：
方法：
【課堂小結】
【課后反思】
《函數的單調性》教學反思
在研究函數的性質時，函數的單調性是一個重要的內容，實際上，在初中學習函數時，已經重點研究了一些函數的性質，只是當初時研究較為粗略，未明確給出有關增減性的定義。對于函數增減性的判斷也主要根據觀察圖象得出，而本小節內容，正是初中有關內容的深化和提高。由于函數圖象是發現函數性質的直觀載體，因此在本節教學時可以充分利用學生熟悉的背景“藏地自行車賽的氣溫圖”創設教學情境，以利于激發學生的學習興趣，進而探究函數的單調性，還要特別重視讓學生經歷這些概念的形成過程，以便加深對單調性的理解。
通過函數的單調性教學，我從以下方面對自己的教學作一個完整的反思，以便更好的發現不足之處，及時調整，讓學生更好的學習。
1、教學基本流程：
本節課的基本流程如下框圖所示，整節課由淺入深，由具體到抽象，符合學生的認知規律。
從觀察具體函數圖象引入 →直觀認識增（減）函數 →定量分析增（減）函數
↓
利用定義證明函數單調性←由圖象說出函數單調區間←給出增（減）函數定義
↓
練習、交流、反饋、鞏固→學生歸納小結、教師評價
2、教學重點難點：
本節內容的教學重點確立為：函數單調性的概念及判斷或證明函數單調性的方法步驟。又因為教學對象是高一新生，并且根據我們民族生的實際情況，準確進行邏輯推理比較困難，所以把判斷或用定義證明函數單調性確立為教學難點。
3、難點化解與教法選擇：
為了使學生能夠更好的掌握重點，理解難點，能夠從知識上、能力上、得到盡可能大的發展，我采取啟發誘導、從到具體到抽象，從特殊到一般的教學方法，同時又強調了數形結合的思想方法，比較成功的化解了難點。
首先創設情境、激發興趣。研究實際生活中學生比較熟悉的“藏地自行車賽氣溫圖”問題，充分調動學生積極性，營造親切活躍的課堂氛圍；滲透建模思想，培養學生應用數學的意識，通過實例使學生感受單調性的內涵，縮短心理距離，降低理解難度。
其次，探索新知。引導學生經歷直觀感知、觀察發現、 歸納類比的思維過程， 發展數學思維能力。 針對函數圖象，依據循序漸進原則，設計三個問題，讓學生先通過畫函數y=x 和 
圖象感知函數的增減性，同時教師利用多媒體的優勢，展示圖象，使學生理解增減函數定義。同時鼓勵學生各抒己見，教會學生與人合作，強化概念的理解，然后師生合作得出增減函數、函數單調性、單調區間的定義，在對單調性的定義舉例應用，最后設計隨堂練習，達到細、深、全面的理解定義，學生經歷了“再創造知識”的過程，利于發展創新意識。
再次，鞏固新知，由感性到理性，引導學生逐步探究利用圖象判斷函數的單調性和根據定義判斷或證明函數的單調性兩種方法。體驗了數學方法發現和創造的歷程。探究時先以基本初等函數為載體，再深化擴展為函數的一般性質。從而理解掌握二次函數、一次函數、反比例函數的單調性。為后面的學習及綜合應用奠定基礎，同時培養學生的創新意識和邏輯思維能力。
4、教學預設與改進：
原本預設學生在回答二次函數圖象變化規律是上升還是下降會出錯，結果有兩位學生出錯，一位回答圖象是上升的，一位回答圖象是下降的，在強調指出：在同一個觀察任務中必須按照一定的標準，觀察的順序應沿x軸的正方向即“從左向右”后，錯誤理解得到解決。
預設x1>x2 時有f(x1)>f(x2),函數為增函數學生會出錯，結果真就多數學生出錯，在多次變換形式后，學生對增減函數的定義式才算理解并得以掌握。
總之，本節課的教學過程有得有失，基本完成目標要求，感覺比較成功。數學教學中需要反思的地方很多，我們在教學過程中只有勤分析，善反思，不斷總結，我們的教育教學理念和教學能力才能與時俱進，創造更多的輝煌。
今后，我會在上好一堂課的同時，結合新課程的教學理念進行相應的教學反思，以便不斷提高自己的業務能力和教學水平，從而更好的服務于學生。
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