視頻簡介：
視頻標簽：函數的單調性
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修一1.3.1《函數的單調性》重慶市優課教學設計
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高中數學人教A版必修一1.3.1《函數的單調性》重慶市優課教學設計
§1.3.1函數的單調性
一、教學內容解析
本節課內容是《普通高中課程標準實驗教科書數學》人教A版必修1第一章《集合與函數概念》1.3《函數的基本性質》中第1.3.1節《單調性與最大（小）值》的第一課時，本節教學內容為函數的單調性．函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質．也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念.函數的單調性與函數的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數值的變化規律；學生對于這些概念的認識，都要經歷直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數解析式為依據，經歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結果的過程.因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法依據.
函數的單調性既是函數概念的延續和拓展，又是后續研究指數函數、對數函數、三角函數的單調性等內容的基礎，在研究各種具體函數的性質和應用、解決各種問題中都有著廣泛的應用．函數單調性概念的建立過程中蘊涵諸多數學思想方法，對于進一步探索、研究函數的其他性質有很強的啟發與示范作用．函數的單調性是學習不等式、極限、導數等其它數學知識的重要基礎，是解決數學問題的常用工具，也是培養學生邏輯推理能力和滲透數形結合思想的重要素材.
在研究單調性過程中，經歷觀察圖象，描述函數圖象特征；結合圖、表，用自然語言描述函數圖象特征；用數學符號語言定義函數性質的過程．體現了對函數研究的一般方法．加強“數”與“形”的結合，由直觀到抽象；由特殊到一般．為進一步學習函數其他性質提供了方法依據．
在對函數單調性的探究過程中，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力；讓學生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．
二、教學目標設置
（一）學習目標
1．知識與技能：能從形與數兩方面理解函數單調性的概念，掌握判別函數單調性的方法；
2．過程與方法：通過實例讓學生親歷函數單調性從直觀感受、定性描述到定量刻畫的自然跨越，體會數形結合、分類討論和類比等思想方法。
3．情感態度與價值觀：通過探究函數單調性，讓學生感悟從具體到抽象、從特殊到一般、從局部到整體、從有限到無限、從感性到理性的認知過程，體驗數學的理性精神和力量。
（二）目標解析
1．能夠以具體的例子說明某函數在某區間上是增函數還是減函數；能夠舉例，并通過繪制圖形說明函數在定義域的子集（區間）上具有單調性，而在整個定義域上未必具有單調性，說明函數的單調性是函數的局部性質.對于一個簡單的函數能夠用單調性的定義，證明它是增函數還是減函數.
2．在探究函數單調性定義時，領悟到數形結合思想、轉化思想、變化與對應思想，并能運用這些數學思想觀察、分析函數的圖象，探究、歸納、概括函數單調性的概念．
3．通過對函數單調性定義的探究，經歷觀察、分析、探究、歸納的認知過程，將函數圖象的“上升”或“下降”這一特征能用該區間上“任意的
，都有
”的數學語言進行刻畫.從函數
入手歸納函數單調性定義推廣到一般函數的單調性定義.培養良好的思維品質，提高思維能力．
三、學生學情分析
學生已有的認知基礎是，初中學習過函數的概念，初步認識到函數是描述事物運動變化規律的數學模型，并且學習了一次函數、二次函數及反比例函數，能熟練的利用描點法畫出這些函數的圖象.進入高中以后又進一步學習了函數概念，認識到函數是兩個非空數集間的一種對應．知道函數有三種表示方法，充分認識到一個函數中自變量與函數值的對應關系，可以利用圖象表示函數中函數值隨自變量
的變化而變化的規律和性質.
教學中，通過一次函數、二次函數等具體的函數圖象及數值變化特征的研究，得到“圖象是上升的”，即“
隨著的增大而增大”，僅就圖象角度直觀描述函數單調性的特征，學生并不感到困難.困難在于，把具體的、直觀形象的函數單調性特征抽象出來，用數學的符號語言描述.即把某區間上“隨著的增大而增大”這一特征用該區間上“任意的，都有”進行刻畫.其中最難理解的是為什么要在區間上“任意”取兩個大小不等的
．并初步提出單調遞增的說法，通過圖象觀察，提出猜想，經歷討論、交流、驗證使學生克服思維障礙，經歷從直觀到抽象、具體到一般的形成知識的過程．
四、重、難點分析
重點：函數單調性的概念；
難點：函數單調性概念的形成過程。
五、教學策略分析
在學生認識函數單調性的過程中會存在兩方面的困難：一是如何把“y隨x的增大而增大（減小）”這一描述性語言“翻譯”為嚴格的數學符號化語言，尤其抽象概括出用“任意”刻畫“無限”現象；二是用定義證明單調性的代數推理論證。對高一學生而言，作差后的變形和因式符號的判斷也有一定的難度。
為達成課堂教學目標，突出重點，突破難點，我們主要采取以下形式組織學習材料：
（1）創設生活情境，找準切入點．函數是描述事物運動變化規律的模型，生活中很多運動變化的現象都值得去關注，讓學生通過觀察江津區四面山某天氣溫變化曲線圖的變化趨勢，完成對單調性直觀上的一種認識，并為概念的引入提供了必要性．讓學生帶著問題（什么是函數的單調性？怎樣判定函數的單調性？）進入新課．
（2）探索概念階段，緊扣主線．在函數圖象上“譜好”函數單調性教學的“三步曲”．
①以學生熟悉的函數為例，讓學生從圖象上獲得“上升”“下降”的整體認識，初步認識函數單調性．
②通過觀察函數的
對應值表格提出猜想，通過幾何畫板軟件加以驗證，用數學語言“隨著的增大而增大” 來描述 “函數
的圖象在
軸右側是上升的”，進一步認識函數單調性．
③通過觀察、猜想、分析、驗證、證明的過程，從而用數學符號語言定描述函數在
的單調性.最后通過類比，用數學符號語言定義一般函數的單調性．
（3）注重思想方法的培養．從函數圖象的觀察出發，經歷從直觀到抽象，從圖形語言到數學符號語言，進而理解增函數、減函數、單調區間概念的過程中，感悟數形結合思想、特殊到一般思想．掌握通過觀察圖象，先對函數是否具有某種性質做出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，這一研究函數性質的常用方法．
（4）在“引導探索”階段。 首先創設認知沖突，讓學生意識到繼續學習的必要性；然后設置遞進式“問題串”，借助多媒體引導學生對“y隨x的增大而增大”進行探究、辨析、嘗試、歸納和總結，并回顧已有知識經驗，實現函數單調性從“直觀性”到“描述性”再到“嚴謹性”的跨越。
（5）在“學以致用”階段。 首先通過看圖說出單調區間，形成對概念正確、全面而深刻的認識。 然后教師示范用定義證明函數單調性的方法，一起提煉基本步驟，強化變形的方向和符號判定方法。
六、學習探究過程
實例: 請觀察江津區四面山某日24小時內的氣溫變化圖，你能說出這一天的氣溫變化趨勢嗎？
預設：學生的關注點不同，如氣溫的最值，某時刻的氣溫，某時間段氣溫的升降變化（若學生沒指明時間段，可追問），等。 圖象在某區間上（從左往右）“上升”或“下降”的趨勢反映了函數的一個基本性質——單調性（板書課題）。
設計說明：從氣溫變化圖導入新課，直觀形象感知氣溫變化，自然引入函數的單調性。
函數是描述事物變化規律的數學模型。 如果清楚了函數的變化規律，那么就基本把握了相應實物的變化規律。在事物變化過程中，保存不變的特征就是這個事物的性質。因此，研究函數的變化規律是非常有意義的。
（二）自主探究
問題1:任意寫出一個函數的解析式及定義域(1) 列出一些自變量x的值，計算相應的y值；(2) 畫出草圖，觀察圖像的上升、下降趨勢，并指出y值隨x的增大如何變化。
步驟：
1．個人獨立完成或學習小組合作完成 2分鐘
2. 展示探究成果 2分鐘
設計說明：學生回答時可能會漏掉“在某區間上”，規范表達“函數在哪個區間上具有怎樣的單調性”。 借此強調函數的單調性是對定義域內相對某區間而言的，是函數的局部性質。
問題2.（1）如何用數學符號描述函數圖象的“上升”特征，即“y隨x的增大而增大”？
以二次函數
在區間
上的單調性為例，用幾何畫板動畫演示“y隨x的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一對數據）。
橫坐標為X，縱坐標為Y，橫坐標與縱坐標的變化情況y隨x的增大而增大”，用數學符號語言表示這一變化趨勢，學生思考、討論得出，若
，則必須有
。
（2）已知
，若有
。能保證函數
在區間
上遞增嗎？
在區間
上取兩個點，能保證遞增嗎？拖動“拖動點”改變函數
在區間
上的圖象，可以遞增，可以先增后減，也可以先減后增。
（3）已知
，若有
，能保證函數
在區間
上遞增嗎？
在區間
上取三個點，能保證遞增嗎？
拖動“拖動點”，觀察函數
在區間
上的圖象變化。
設計說明：先讓學生討論交流、舉反例，然后借助幾何畫板動態說明驗證兩個定點不能確定函數的單調性，三個點也不行，無數個點行不行呢？引導學生過渡到符號化表示，呈現知識的自然生成。
（4）已知
，若有
，能保證函數
在區間
上遞增嗎？
在區間
上取無數個點呢？大家討論一下
設計說明：可先請持贊同觀點的同學說明理由，再請持反對意見的學生畫出反駁，然后追問：無數個
也不能保證函數遞增，那該怎么辦呢？若學生回答全部取完或任取，追問“總不能一個一個的驗證吧？”
緊接著師生一起回顧子集的概念，（PPT展示教材上子集定義）再次體驗對“任意一個”進行操作，實現“無限”目標的數學方法，體會用“任意”來處理“無限”的數學思想。
問題3：對于一般的函數
定義域為I，在區間D上，我們應當如何給增函數下定義？
一般地，設函數
的定義域為
：
如果對于定義域
內的某個區間
上的任意兩個自變量的值
，當
時，都有
，那么就說函數
在區間
上是增函數．
師生活動：學生思考、發言，教師補充、板書．
【
設計意圖】體現了對函數研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法．
問題4：類比增函數的定義，對于一般的函數
，我們應當如何給減函數下定義？
教師引導學生通過類比、觀察、驗證、交流后，得出減函數定義
師生活動：小組討論，代表發言交流．
例1 下圖是定義在區間
上的函數
，根據函數圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？
師生活動：學生觀察圖象，獨立完成，教師解答學生在解決問題過程中出現的問題．如：
注意：①單調區間是定義域的子集，在書寫時區間與區間之間用逗號隔開。如果用并集符號，不符合單調性定義；
②本題中，因為孤立的點沒有單調性，所以區間端點處若有定義寫開寫閉均可
【
設計意圖】學生能夠通過函數圖象說出函數的單調區間，加深對函數單調性概念的理解．
例2．反比例函數
的單調性
①畫出反比例函數
的圖象，并說出函數的定義域
是什么？
②它在定義域
上的單調性是怎樣的？證明你的結論．
師生活動：學生討論，代表發言，提出猜想，證明猜想．、
分析：問1：除了圖象法判定函數單調性還有什么方法？
2：如何用定義法判定函數單調性？
3：用定義判定函數單調性的關鍵是什么？（提示如何比較3和2的大小，從而引入作差法）
【
設計意圖】學生體會：通過數形結合思想的運用，觀察圖象，先對函數是否具有某種性質進行猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數性質的一種常用方法．
思考：物理學中的玻意耳定律
(
為正常數)告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積
減小時，壓強
將增大．試用函數的單調性證明之．
【
設計意圖】利用單調性證明物理學中的玻意耳定律，學生感受到函數單調性的初步應用；熟悉用定義證明函數為增（減）函數的基本步驟．
（四）回顧反思，深化認識
課堂小結： 通過本節課的學習，你的主要收獲有哪些？
（關鍵詞：三種語言，證明方法，數學思想，情感體驗，等。）
① 概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．
2證明方法和步驟：取值并規定大小、作差并判斷差值的正負、下結論．
③數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等．
【
設計意圖】使學生深切體會到本節課的主要內容和思想方法．
（五）布置作業
1.基礎達標：第39頁習題1.3 A組：1、2；
2.思考探究：函數
定義域內的某個區間D上任意兩個自變量
的值，當
時，都有
，則函數
在區間D上是 ．（填“增函數”或“減函數”）
（六）板書設計
函數的單調性
遞增：（板書定義）
遞減：（學生類比） |
例題（提煉步驟，明確變形方向）
練習（學生板演） |
§1.3.1 函數的單調性
重慶市江津田家炳中學校 曹坤容
【學習目標】
1．知識與技能：能從形與數兩方面理解函數單調性的概念，掌握判別函數單調性的方法；
2．過程與方法：通過實例讓學生親歷函數單調性從直觀感受、定性描述到定量刻畫的自然跨越，體會數形結合、分類討論和類比等思想方法。
3．情感態度與價值觀：通過探究函數單調性，讓學生感悟從具體到抽象、從特殊到一般、從局部到整體、從有限到無限、從感性到理性的認知過程，體驗數學的理性精神和力量。
【
學習重難點】
重點：函數單調性的概念；
難點：函數單調性概念的形成過程。
【學習探究過程】
實例: 請觀察江津區四面山某日24小時內的氣溫變化圖，你能說出這一天的氣溫變化趨勢嗎？
（二）引導探索，生成概念
問題1:任意寫出一個函數的解析式及定義域(1) 列出一些自變量x的值，計算相應的y值；(2) 畫出草圖，觀察圖像的上升、下降趨勢，并指出y值隨x的增大如何變化。
問題2：（1）如何用數學符號描述函數圖象的“上升”特征，即“y隨x的增大而增大”？
（2）已知
，若有
。能保證函數
在區間
上遞增嗎？
（3）已知
，若有
，能保證函數
在區間
上遞增嗎？
（4）已知
，若有
，能保證函數
在區間
上遞增嗎？
問題3：對于一般的函數
定義域為I，在區間D上，我們應當如何給增函數下定義？
問題4：類比增函數的定義，對于一般的函數
，我們應當如何給減函數下定義？
例1. 下圖是定義在區間
上的函數
，根據函數圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？
例2．反比例函數
的單調性
①畫出反比例函數
的圖象，并說出函數的定義域
是什么？
②它在定義域
上的單調性是怎樣的？證明你的結論．
思考：物理學中的玻意耳定律
(
為正常數)告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積
減小時，壓強
將增大．試用函數的單調性證明之．
（四）回顧反思，深化認識
課堂小結： 通過本節課的學習，你的主要收獲有哪些？
（五）布置作業
1.基礎達標：第39頁習題1.3 A組：1、2；
2.思考探究：函數
定義域內的某個區間D上任意兩個自變量
的值，當
時，都有
，則函數
在區間D上是 ．（填“增函數”或“減函數”）
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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