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視頻標簽：函數的單調性
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版版必修1第一章1.3.1函數的單調性-甘肅省優課
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1.3.1函數的單調性與最大（小）值
（第一課時）教學設計
一、教材分析
(一) 教材的地位和作用
從單調性知識本身來講.學生對于函數單調性的學習共分三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數單調性的嚴格定義，從數和形兩個方面理解單調性的概念；第三階段則是在高三利用導數為工具研究函數的單調性。
單調性是函數的第一個重要性質，從知識結構上看，它既是函數概念的延伸和擴展，又為后續研究指數函數、對數函數、冪函數的單調性奠定了基礎，對進一步探索、研究函數的其他性質有著示范作用,它在整個高中數學知識中起著承上啟下的作用 (二)教材的重難點
重點：函數單調性的概念，判斷并證明函數的單調性. 難點：引導學生歸納出函數單調性的定義以及根據定義證明函數
的單調性.
二、學情分析
1.有利因素：在初中階段，學生對函數的單調性已經有了“形”的直觀認識，知道用“y隨x的增大而增大或減小”描述圖像的“上升”或“下降”， 具備一定的觀察、類比、分析、歸納的學習能力. 2. 不利因素，甘肅甘南是民族地區，絕大多數學生是民族生，
根據民族生的特點，識記是強項，但邏輯思維水平不高,抽象概括能力不強,推理論證能力也比較薄弱,還需要在單調性定義的形成和用定義證明函數的單調性的過程中進一步培養和加強. 三、教學目標 (一)知識與技能：
1、理解函數單調性的概念。
2、會根據函數的圖像判斷函數的單調性。 3、能根據單調性的定義證明函數的單調性。 (二)過程與方法：
1、培養學生利用數學語言對函數單調性概念的概括能力。
2.利用函數圖像判斷函數的單調性，使學生領會數形結合的數學方法。
3、通過用定義法證明函數的單調性，進一步加強學生的邏輯推理能力。
(三)情感態度與價值觀：
1.通過學生熟悉的生活背景導入，激發學生學習數學的興趣。 2.通過問題串的引入，學生積極參與教學活動，獲得成功的體驗，增強了學生學習數學的信心。 四、教學模式：
(一) 教學模式：四步導學
1.創設情境，導入課題； 2.探索歸納，形成概念 3.實踐訓練，深化理解； 4.總結反思，提高認識
(二) 模式的基本理念：以學生為主體，注重概念的形成過程和定義
的應用實踐。
(三) 模式的基本原則：直觀感受，啟發引導，鞏固訓練。 (四) 模式的實施策略：以學生熟悉的生活背景導入，以單調性定義
的形成和應用為主線，按“四步導學法”完成一本節課的教學。 五、教學方法
1.教法：啟發引導法、從抽象到具體，從特殊到一般的方法. 2.學法：數形結合法、小組合作探究法、類比法。 六、教學過程：
教學環節 教學內容
學生活動
設計意圖 環 節 一
一、創設情境，導入課題
情景1.上圖是2016年8月20日在我們甘肅省甘南藏族自治州舉行的
“2016早子溝金礦杯甘南藏地傳奇自
行車賽”24小時內的氣溫變化圖，請同學們
觀察圖象，然后思考兩個問題。
問題1 怎樣描述氣溫隨時間的增大而變化的情況？
問題2 怎樣用數學語言來刻畫上述時段內“隨著時間的增大氣 溫逐漸升高”這一特征？
學生通過對圖像的觀察，進行思
考問題1,2.
以學生熟悉的事物為背景提出問題， 激發學生的學習興趣，為突破難點做好鋪墊,從而自然導入課題。
二、探索歸納，形成概念
溫故知新 ：由已知的直觀圖象探究函數單調性的概念 問題1：觀察如圖一次函數和二次函數的圖象，指出上面兩個圖象在哪個區間是上升的，哪個區間是下降的？
學生回答： 1）函數y=x的圖象從左到右上升，即在區間（-∞，+
用提問的方式，引導學生用圖形語言和自然語言對函數單調性進行描述，合理設置層次，為揭示函數單調性定義
環 節 二
﹙1﹚y=x ﹙2﹚2yx
問題2;觀察2
yx 的圖象，換一種角度
分析隨自變量x 的變化，對應函數值y 的
變化情況？
問題3：如何用符號語言描述“隨著 x 的增大，相應的 y 隨著增大”“隨著x 的增大，相應的 y 隨著減小”
圖形語言→文字語言→符號語言
特殊→一般 抽象→具體 感性→理性
1.增函數的定義：
一般地，設函數f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1、x2 ，當12xx時，都有
12()()fxfx，那么就說函數f(x)在區間
D上是增函數。
問題4：同學們能否類似地得出減函數的定
∞）都上升. 2）函數2yx在y軸的左側(-∞,0]下降、右側（0,+∞)上升.
圖形語言→文字語言
在y軸右側，y隨x增大而增大； 在y軸左側，y隨x增大而減小.
任取 x1、x2∈（0,+∞)，
當12xx時，都有12()()fxfx，
任取
x1、x2∈(-∞,0)， 當12xx時，都有12()()fxfx，
問題3：同學們能否類似地得出減函數的定義？（學生
討論、回答）
的本質做好鋪墊。
從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識．
引導學生將圖像語
言、自然語言轉化為符
號語言，把對單調性的
認識由感性上升到理性
認識的高度。
.
把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為第三階段的學習做好鋪墊.
環 節 二 環 節 三
義？（學生討論、類比回答） 學生回答：略 師生共同得出： 2.減函數的定義：
一般地，設函數f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1、x2 ，當
12xx時，都有
12()()fxfx，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數。
3.單調區間定義：
如果函數yfx在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數yfx在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做
yfx的單調區間.
三、實踐訓練，深化理解
例1 下圖是定義在區間
5,5上的函數
yfx，根據函數圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？ 師生活動：學生觀察圖象，獨立完成，教師解答學生在解決問題過程中出現的問題．如： ①單調區間是定義域的子集； ②本題中，如果用并集符號，不符合單調性定義； ③本題中，區端點處有意義，那么區間開
通過問題進一步分析概念中關鍵詞的含義，提
升對概念的準確
理解。
學生能夠通過函數
圖象說出函數的單調區間，加深對函
數單調性概念的理解．分析解決問題
針對學生可能出現
的問題，組織學生
討論、交流。
例1的解決讓學生
學會通過函數圖象來判
斷函數的單調區間及在
各區間的單調性。
學生進一步理解單
調函數定義，鞏固證明單調函數的方法，并謹
慎使用并集符號。
環 節 三
閉都可以． 強調：多個單調區間用“，”或“和”字，不用并集符號“∪” 例2.證明函數()21fxx在R上是減
函數．
證明：任取2121,∈,xxRxx<且, 取值 1212()()(21)(21)fxfxxx
1212
12212121222()2()xxxxxxxx ,021xx<< 0-12>∴xx
∴,0)(-)(21>xfxf即),()(21xfxf> ∴函數()21fxx在R上是減函數
總結證明函數單調性的步驟：
1.取值:任取x1、x2屬于給定區間，且
12xx；
2.作差:差12()()fxfx；
3.變形：變形的常用方法有:因式分解、配
方、有理化等；
4.定號:確定12()()fxfx的正負； 5.判斷（下結論）:由定義得出函數的單調性。 練習：
1.用定義法證明函數1
yx
的單調性.
2.證明 函數(0)k
ykx
的單調性.
分析：
根據學情分析，在
處理例2時，考慮
到學生對作差后的變形和對因式符號
的判斷有一定的難度，教學中，我采
取一邊分析，一邊板演證明過程的方
法來解決這一難題，然后提煉基本
步驟，強化變形的
方向和符號判定方
法，接著讓學生板
演實踐。
學生獨立完成。教師解答學生遇到的問題。如：區間分別為減函數，是否能將兩個區間并起來說是減函數。 學法指導： 1、分區間判斷函數的單調性. 2、一般地，作差后要變形到因式的積或商的形式利于判斷性質符號.
通過例2，既鞏固了函數單調性的概念，也讓學生領悟到利用定義證明函數單調性的基本步驟。
練習為了使學生對函數單調性的定義和判斷函數單調性的方法有更進一步的理解和掌握。
環 節 四
四、歸納小結，提高認識
1.增函數、減函數的定義； 2.圖象法判斷函數的單調性：增函數的圖象
從左到右上升，減函數的圖象從左到右下降. 3.（定義法）證明函數單調性的步驟：設值、作差、變形、判號、下結論。
學生小組合作，交
流展示，教師指導
評價 學生回顧，總結.
以自我小結的形式，回顧與梳理本節知識。可幫助學生自行構建知識體系，理清知識結構，盡快將所學知識內化為素質。
環 節 五 布置作業：
1、課本習題P39頁A組1、2（必做） 2、畫出函數 的圖像，判斷它的單調性，并加以證明。（選做）
學生通過作業進行課外反思，通過思考發散
針對我校高一學生素質的差異，采取分層作業，滿足不同層次學生的要求。
七、板書設計：
1.3.1函數的單調性與最（大）小值
一. 情景導入 二、概念形成
1.增函數的定義 2.減函數的定義
3.單調函數
三.應用舉例 例1
例2
設計意圖：加深學生對重點知識的理解和掌握，反饋學生的評價信息。 七、教學反思與評價：
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
