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視頻標簽：算機繪制,函數(shù)圖像對勾函數(shù),單調性與最值
所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質課視頻
視頻課題：人教A版高中數(shù)學必修一第一章《信息技術應用 用計算機繪制函數(shù)圖像對勾函數(shù)的單調性與最值》浙江省 - 紹興
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信息技術應用 用計算機繪制函數(shù)圖像
——對勾函數(shù)0a
yxax的單調性與最值
1 教材分析
本節(jié)內容是人教A版必修一1.3節(jié)函數(shù)的基本性質——信息技術應用 用計算機繪制函數(shù)圖像.函數(shù)圖像將抽象的函數(shù)直觀化，具體化，豐富了函數(shù)在人們腦中的知識網(wǎng)絡，為我們研究函數(shù)及其性質提供了便捷.
筆者將本節(jié)內容放在了學生學習了第二章基本初等函數(shù)之后，并以對勾函數(shù)為依托進行授課.此舉主要出于以下3個原因.（1）教材將用計算機繪制函數(shù)圖像放在函數(shù)基本性質之后，可能是考慮到學生初學高中函數(shù)定義及其基本性質，理解上有一定難度，而函數(shù)圖像可以降低函數(shù)的抽象性，降低理解難度.而且之后學基本初等函數(shù)時，學生也可自己畫函數(shù)圖像，幫助他們學習.但筆者考慮到如果在函數(shù)基本性質之后直接教用計算器畫函數(shù)圖像，可畫的函數(shù)一般都是學生已經(jīng)會畫的，對學生的吸引力較小.而基本初等函數(shù)是高中數(shù)學的幾個重要函數(shù).如果加入了這些函數(shù)， 課堂的函數(shù)素材會大大增加，增加對學生的吸引力，激起他們的求知欲望，也更能讓學生體會到用計算器畫函數(shù)圖像的強大性與便捷性.（2）函數(shù)圖像是研究函數(shù)性質的有力工具.因此本節(jié)課在教學生畫圖時，進一步教學生如何利用函數(shù)圖像讀取函數(shù)性質.（3）選取對勾函數(shù)作為教學內容是因為對勾函數(shù)是高中數(shù)學中一個比較重要的函數(shù)模型，有豐富的函數(shù)性質.而人教A版教科書（2007）沒有單獨給對勾函數(shù)安排課時，因此將它放在這一節(jié).學生在系統(tǒng)學習對勾函數(shù)知識的同時，也可將他們在必修一第一章，第二章所學函數(shù)知識進行鞏固應用.
2 學情分析
此課面向高一學生，他們剛學完人教A版必修一第一章、第二章，有一定知識基礎.對勾函數(shù)在平時作業(yè)會遇到，但沒有系統(tǒng)學過.用圖形計算器畫函數(shù)圖像的過程學生在課堂上多次看教師演示過，但沒有進行實際操作.學生早已這個圖形計算器充滿好奇，躍躍欲試.因此，本節(jié)課的內容處于學生的最近發(fā)展區(qū)，是學生迫切想要學習的知識.
3 教學目標 3.1知識與技能
（1）會用圖形計算器畫具有函數(shù)解析式的函數(shù)圖像. （2）掌握用函數(shù)單調性定義證明對勾函數(shù)單調性.
（3）會根據(jù)對勾函數(shù)及其復合函數(shù)的圖像研究函數(shù)單調性與最值. 3.2過程與方法
（1）經(jīng)歷用圖形計算器畫對勾函數(shù)圖像的過程來熟悉用圖形計算器畫函數(shù)圖像的操作，熟悉對勾函數(shù)圖像.
（2）經(jīng)歷用圖形計算器變換對勾函數(shù)圖像的過程，研究對勾函數(shù)單調性與最值. （3）利用圖形計算器畫出復合函數(shù)及其里函數(shù)、外函數(shù)的圖像來研究復合函數(shù)單調性. 3.3情感態(tài)度與價值觀
體會用計算器畫函數(shù)圖像的便捷性和實用性，感受函數(shù)圖像變換之美.培養(yǎng)數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).
4 教學重難點
教學重點：利用圖形計算器探究對勾函數(shù)單調性與最值. 教學難點：利用圖形計算器探究對勾函數(shù)及其復合函數(shù)的單調性. 5 教學工具
Microsoft Office PowerPoint、圖形計算器與白板的交互使用.圖形計算器使用的是德州儀器TI-nspire CX-C.
6 教學過程
6.1新知引入——探究具體對勾函數(shù)的單調性與最值 問題1：你能利用圖形計算器畫出函數(shù)的圖像，并探究它的單調性與最值嗎？ 師生活動：生可能的操作為運用圖形計算器①新建文檔，添加圖形，輸入；②利用菜單中的“窗口縮放”功能，縮放窗口，觀察圖形的整體與細節(jié)，大致確定函數(shù)單調
區(qū)間；③ 利用菜單中的“圖像分析”功能，研究函數(shù)在0，與的最值.師觀察指導.預設部分教學片段如下.
師：從函數(shù)的圖像中，你們觀察出了它具有怎樣的單調性，有幾個單調區(qū)間嗎？
1
yxx
1fxxx
0+，
1
yxx
生（全體）：函數(shù)圖像像兩個對勾，有4個單調區(qū)間.
師：（投影多個采用不同坐標尺寸的學生的計算器屏幕）因為圖像像對勾，所以人們叫它對勾函數(shù)，還有些人叫它耐克函數(shù)、勾函數(shù)、雙飛燕函數(shù)等.那具體是哪四個單調區(qū)間呢？
生1：（投影生1的計算器屏幕，如圖1）函數(shù)在1，上單調遞增，在10，上單調遞減，在01，上單調遞減，在上單調遞增.
圖1 生1所做的圖像 師：你是怎么做出這個單調區(qū)間的？ 生1：邊說邊操作. 師：函數(shù)的最值呢？
生(全體)：在整個定義域上不存在.
師：在0x，上是否存在最值？在上是否存在最值？ 生（全體）：當0x，時，，無最小值.當時，，無最大值.
設計意圖：學生實際操作，實際演示，可以讓他們更加熟悉圖形計算器的操作，為后續(xù)畫圖打下基礎.選取最基礎的對勾函數(shù)進行研究，符合學生認知規(guī)律. 6.2新知探究——探究對勾函數(shù)單調性與最值的一般性結論 問題2：你能利用圖形計算器探究的單調性與最值嗎？ 1
yxx
1
+，1
yxx
0+，
max12fxf0+x，min12fxf1
yxx
0a
yxax
師生活動：生可能的操作為利用圖形計算器的“游標”功能，建立參數(shù)的游標，拖動a的值，進行觀察探究.師觀察指導，然后展示生2的計算器屏幕（如圖2），讓他動態(tài)展示對于不同的，單調區(qū)間的變化.引導他說出函數(shù)在a，，
a，上是增函數(shù)，在0a，，
0a，上是減函數(shù).且當0x，時，，無最小值.當時，，無最大值.
圖2 生2所做的圖像 設計意圖：合理利用圖形計算器功能，探究參數(shù)a對函數(shù)圖像的影響，從而讓學生歸納出函數(shù)的單調性與最值規(guī)律，鍛煉學生直觀想象、數(shù)據(jù)分析和邏輯推理等核心素養(yǎng).
6.3新知證明
問題3：你能證明函數(shù)的單調性嗎？ 師生活動：生在草稿紙上寫下證明過程.師巡視指導，并邀請生3上去板演，再對板演過程進行點評.
設計意圖：華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.因此利用圖形得到的結論，還需用代數(shù)證明，這體現(xiàn)了數(shù)學的嚴謹性與數(shù)形結合思想，考察了學生利用單調性定
0aa0aaa
yxx
0a
yxax
max2fxfaa0+x，
min2
fxf
aa0a
yxax
0a
yxax
0a
yxax
義證明函數(shù)單調性的知識掌握情況.
6.4新知深化——探究函數(shù)00b
yaxabx
，的單調性 問題4：你能說出函數(shù)00b
yaxabx
，的單調區(qū)間嗎？ 師生活動：生可能的操作為①從形的角度：利用圖形計算器，探究參數(shù)的變化對函數(shù)圖像的影響，從而歸納出函數(shù)00b
yaxabx
，的單調區(qū)間.②從數(shù)的角度：將函數(shù)解析式變形為00bb
ayaxaxabxx
，，所以
00byaxabx，在區(qū)間ba，，上是增函數(shù)，在0ba，，0ba
，上是減函數(shù).③從數(shù)的角度：利用單調性定義，類比問題3進行求解.師巡視觀察，并請采用不同方法求解的生4，生5，生6回答問題，再進一步請學生回答函數(shù)00b
yaxabx
，的最值情況. 設計意圖：探究對勾函數(shù)更一般情況的單調性與最值，推廣了結論的適用范圍，鍛煉了學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).
6.5知識應用
例1：求下列函數(shù)的單調減區(qū)間：
（1）；
（2）. 師生活動：生可能的操作為①利用紙筆求解.②利用圖形計算器畫出復合函數(shù)及其里函數(shù)、外函數(shù)的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像結合數(shù)學運算求出復合函數(shù)單調區(qū)間.教師引導學生可利用②的方法進行求解.具體講解時，例1（1）教師現(xiàn)場演示畫函數(shù)圖像過程，并引導學生集體回答解題過程，理解復合函數(shù)“同增異減”.例1（2）展示生7所做的函數(shù)圖像（如圖3），并叫他分享解題過程，教師板演.
,ab+ba，212
21
logxfxx1x
x
fxee
圖3 生7在回答例1（2）時所做的圖
設計意圖：此題考查了對勾函數(shù)分別作為里函數(shù)、外函數(shù)，和基本初等函數(shù)復合后的函數(shù)單調區(qū)間求解，是新知的一個應用.考慮到復合函數(shù)的單調性一直是學生學習的難點，他們較難理解口訣“同增異減”的內涵，容易出錯.此次借助圖形計算器畫函數(shù)圖像的便捷性，將復合函數(shù)及其里函數(shù)、外函數(shù)的圖像均畫出，對比求解，幫助學生理解這個知識點.
6.6知識小結 （1）對勾函數(shù)0a
yxax
的單調性與最值. （2）對勾函數(shù)與其他函數(shù)復合的函數(shù)單調性與最值. 6.7作業(yè)布置
（1）利用圖形計算器探究函數(shù)0a
yxax
的單調性. （2）編制函數(shù)0a
yxax
與其他函數(shù)復合的函數(shù)兩個，并利用圖形計算器研究它們的單調性與最值，寫下解題過程.
7 教學反思
近十年，“互聯(lián)網(wǎng)+”、大數(shù)據(jù)、人工智能等新詞不斷進入眼簾，信息技術在生產生活中的應用越來越廣泛.在教育領域，國家提出了《教育信息化十年發(fā)展規(guī)劃（2011-2020）》.教育部提出了《教育信息化2.0行動計劃》（2018）.因為信息技術融入課堂能給教學帶來較大便利.它能多方面的展示知識，增加學生理解知識的角度，讓學生眼中的知識更加豐富多彩，“活靈活現(xiàn)”，激起學生的學習興趣，降低知識的理解難度.對于本課，筆者有如下體會。
7.1圖形計算器加入數(shù)學學習順應時代潮流
圖形計算器的出現(xiàn)源于人們發(fā)現(xiàn)中學數(shù)學學業(yè)難度大，學生家長在輔導孩子作業(yè)時感到力不從心[1]，而電子技術發(fā)展到了一定的程度，圖形計算器便應運而生了.目前，歐美發(fā)達國家的中學生幾乎人手一臺圖形計算器，他們大部分考試允許帶圖形計算器.我國引入圖形計算器后，也積極推廣，多地多所學校開辟了“數(shù)學實驗室”，讓圖形計算器加入到學生的數(shù)學學習中.而現(xiàn)在的孩子，出生于信息時代，對電子產品有天生的熟悉感和親切感，上手容易，樂于把玩，不僅助于他們學習，也為之后適應信息化社會打下基礎.值得注意的是信息技術不能代替紙筆演算，紙筆演算的過程是學生思維鍛煉的過程，是學生用數(shù)學語言表達的過程.在教學過程中應該兩者結合，相輔相成.
7.2圖形計算器有助于學生自主探究
筆者所用的圖形計算器版本為德州儀器的TI-nspire CX-C，它功能強大，覆蓋中學數(shù)學中的函數(shù)、數(shù)列、不等式、圓錐曲線、幾何體、統(tǒng)計與概率等方面，還可自主編程.比如，本課中學生自己畫函數(shù)圖像，利用游標功能展示圖像的連續(xù)變化.再比如，幾何中的動點軌跡，概率中的隨機抽樣，學生均可自主摸索探究，增加了學習的樂趣，改變了傳統(tǒng)的老師講，學生看的教學模式，實現(xiàn)了讓知識在學生手中產生的教學愿景.
7.3圖形計算器幫助學生理解數(shù)學知識
數(shù)學知識具有一定的抽象性，復雜性，對于有些學生，理解上存在較大困難.而圖形計算器能多方面展示知識，增加學生理解知識的角度，還能讓學生自主動手操作，自主探究，讓知識更加豐富多彩，“活靈活現(xiàn)”.以本課為例，課中多次讓學生自己運用圖形計算器畫函數(shù)圖像，探究函數(shù)單調性與最值，化抽象為直觀，不僅激起了學生學習興趣，幫助他們更好的理解所學知識，也鍛煉了他們的自主探究能力和動手操作能力.
參考文獻
[1]王光生，何克抗.Microsoft Student Graphing Calculator支持下的函數(shù)學習[J].中國電化教育，2007（1）：91-94
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