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視頻標簽：函數的單調性
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版版必修1第一章1.3.1函數的單調性-河北
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§1.3函數的單調性（人教版必修一）教案
一、教材分析
1、地位及作用
本節課是在學生學習了函數概念的基礎上所研究的函數的一個重要性質，常伴隨著函數的定義域、值域、最值、奇偶性等其它性質出現。它既是在學生學過函數概念、圖象、表示方法等知識后的延續和拓展，又是后面研究指數函數、對數函數、冪函數等各類函數的基礎，同時單調性在比較大小、解不等式、證明不等式、數列的性質以及其它知識的綜合應用中發揮著重要作用。研究函數單調性的過程體現了數學的“數形結合”和“從特殊到一般”的思想方法，這對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力，掌握數學的思想方法具有重大意義。
2、教學目標
1）、知識目標：（1）理解單調性概念，掌握函數單調性的應用（2）函數單調性的研究經歷了從直觀到抽象，以圖助數的過程，在這個過程中，通過自主探究活動，體驗數學概念的形成過程。
2）、能力目標： 在探索過程中培養分析、歸納、抽象思維及推理判斷能力。初步運用函數思想理解和處理現實生活和社會中的簡單問題。
3）、情感目標： 在參與過程中體驗成功的喜悅，感受學習數學的樂趣，提高學好數學的自信。
3、教學重點與難點 難點：函數單調性定義。
重點：利用定義證明函數的單調性。
二、教學方法
根據學生的認知規律，本節采用探索式的教學方法，利用啟發、合作探究、由淺入深進行教學，以激發學生思維，使教學過程真正成為學生的學習過程，以熟悉的問題引入課題，為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主體參與的積極性。在鼓勵學生主體參與的同時，發揮教師的主導作用，教會學生清晰的思維、嚴謹的推理，并順利地完成書面表達。
三、學法分析
1、讓學生利用圖形直觀啟迪思維，并通過對比構造，來完成從感性認識到理性思維質的飛
2
躍，不斷體驗函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型。
2、讓學生從問題中質疑、嘗試、歸納、總結、運用，培養學生發現問題、研究問題和解決問題的能力。
四、教學過程
函數是高中數學最重要內容，函數的性質是它的核心，函數性質的綜合運用是關鍵。它已經滲透到數學的各個分支，比如三角函數、不等式、數列等，應用非常廣泛。正因為如此，它是每年高考必考題。今天老師將帶領同學們學習函數的第一個性質：單調性。
（一） 創設情景，導入新課
觀察下面兩個圖，說說國民生產總值與全國耕地面積隨年份的變化情況：
同學們，喜歡數學嗎？喜歡數學就一定能夠學好數學！下面我們看數學家眼中的數學：
數學正沿著它自己的道路無拘無束的前進著，這并不是因為他有什么不受法律約束之類的種種許可證，而是因為數學本來就具有一種由其本性所決定的并且與其存在相符合的自由.----數學家Hankel
從這段話我們就感受到了數學的魅力，數學的自由和神奇，今天我們開啟一段神奇的數學之旅，旅途中，我們欣賞函數的單調性。
我們知道，函數是高中數學最重要的內容，函數的性質是核心，而性質的應用是關鍵，其應用已經滲透到數學的各個分支，如三角函數、數列、不等式等，應用廣泛，正因為如此，函數性質是高考必考題。因此我們要引起足夠的重視。
那何為性質，是指在事物發展變化過程中，始終保持不變的特征，就是實物的性質。下面我們來分析，函數的單調性呈現的是函數的那種變化特征呢？
①下面是我國人均國內生產總值（人均國內生產總值不斷增長：國民生產總值GDP在不斷增加）
3
②全國耕地面積柱形圖，但是國家已經出臺確定了全國耕地面積一個最低紅線）
什么是性質，先從函數說起，函數的概念描述了兩個變量之間的相互依賴關系，揭示出函數值隨自變量的變化而呈現某種變化的規律，那么在這個變化過程中始終保持不變的特征就是函數的性質，下面我們開始尋找單調性所具備的特征。
問題1觀察函數的圖象，說說它們的圖像隨x的增大，()fx的值有什么變化？
x
y
fx() = x + 1
1-1O
x
y
fx() = x + 1
11Ox
y
11
fx() = x2
O
從上面的觀察可以看出：不同的函數，其圖象的變化趨勢不同，同一函數在不同區間上變化趨勢也不同，發現：一次函數在R上呈上升和下降趨勢，二次函數在對稱軸兩側呈現兩種趨勢，
4
我們把函數的這種重要特征總結為函數的單調性。
這種 “圖像從左到右呈上升趨勢” 的函數叫增函數，而把“圖像從左到右呈下降趨勢” 的函數叫減函數，通過觀察得到了單調性的“圖形語言”
問題2 怎樣描述函數()fx圖像的“上升”和“下降”趨勢？用自變量與函數值的變化描述：教學意圖：從圖像直觀到定性描述，給出增（減）函數的定義。
若函數()fx的值隨x的增大而增大，則稱函數為增函數，反之為減函數。從而得到函數單調性的 “文字語言”
問題3 如何將函數()fx的值隨x的增大而增大作為增函數的定義，證明函數2()fxx在區間(0,)上是增函數？能舉一些具體數據嗎？這些數據能解決在整個區間上的變化趨勢嗎？怎樣定量刻畫？
①“增大”意味著比較：需要建立兩個量的大小關系。 ②“x增大”的符號化，用兩個自變量的變化表示為：1x＜2x ③“)(xf”的增大符號化：f(1x)＜f(2x)
④“隨”字的符號化：當1x＜2x時，有f(1x)＜f(2x)
⑤怎樣實現“所有”，對1x，2x“任取”就可以了。用“任意”突破“無限”，這是數學中最經典的一種描述。
（二） 歸納總結 探究新知
問題4增（減）函數定義：一般地，設函數()yfx的定義域為I， 如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量1x，2x，當1x＜2x時，都有f(1x)＜f(2x)（或f(1x)>f(2x)）；那么就說)(xf在區間D上是增（減）函數。如果函數()yfx在某個區間上是增函數或是減函數，那么就說函數()yfx在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做)(xfy的單調區間。
實現了：圖形語言 文字語言 符號語言 。
y= f(x)
O
x
y
x1
x2
y= f(x)
O
x
y
x1x2
5
5
-5
0
1
2
-3
問題5定義中有4個關鍵詞：“定義域”、“區間”、“任意”、“單調區間”的意義何在？單調性是函數的局部性質；
（三）質疑答辯，發展思維。
例1 如圖是定義在區間[－5，5]上的函數()yfx，根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？
y
x
變式1：觀察反比例函數1
yx
的圖像，說出它的單調區間，并給以證明：
Y
X
D C B A O x
y
o
6
函數單調區間的寫法：對于區間的端點如果在定義域內用閉區間，不在用開區間。 對于反比例函數的單調減區間一定不能寫成（-∞，0）∪（0，+∞）（數學是嚴謹的。若否定某一結論，只要舉一反例即可）
例2 物理學中的玻意耳定律k
pv
（k為正常數）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積v
減少時，壓強p將增大。試用函數的單調性證明之。
分析：按題意，只要證明函數k
pv
在區間（0，+∞）上是減函數即可。解決的一般步驟：建立數學模型，解決數學問題，回答實際問題，（數學在實際中的應用）
變式2：判斷函數1
yxx
在（1，+∞）上的單調性，并給以證明。 （四）總結規律 升華結論
問題6利用定義證明函數)(xf在給定的區間D上的單調性的一般步驟： ①任取12,xxD，且設12xx；
② 作差12()()fxfx，變形（通常是因式分解和配方）； ③定號（即判斷差12()()fxfx 的正負）； 求函數的單調區間時必須在函數定義域內進行。
證明函數單調性的三個步驟：取值→作差→定號 （數學是規范的） 鞏固練習：
1.用定義證明1
()2fxx
在（-∞，0）上單調增
2.討論函數2()(0)fxaxa的單調性，寫出函數)0(2acbxaxy的單調區間。 3.若二次函數2()4fxxax在區間（-∞，1〕上單調遞增，求a的取值范圍。 通過練習繼續使學生們加深對函數單調性的理解，并能根據定義熟練的進行證明。 （五）總結反思 收獲經驗
問題8：回顧學習過程，有何體驗與感悟？
今天我們學習了函數的單調性概念，懂得了如何用定義證明單調性，如何確定函數的單調區間，并對單調性進行了簡單應用，這是知識層面的收獲。另一方面我們經歷并體驗了一個概念的形成過程，就是通過觀察，進行分析，通過分析特征總結規律，最后得到完整的數學概念，這個過程就是數學抽象的過程，也是數學的核心素養之一。所以在平時的學習中，我們要養成這種善
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于觀察、總結問題的能力，提高我們的數學素養。
（六）布置作業：課本P39習題1.3題（A組）第1-4題。 板書設計：
§1.3函數的單調性：
1、 定義： 2、 證明： 3、 應用：
例題：
教學反思：
這節課是對函數性質的探究發現過程，我們利用了認識事物的一般過程和方法，即、通過圖形觀察特征，通過特征總結規律，達到由特殊到一般的演變，通過圖形語言轉化為文字語言，最后把文字語言轉化為符號語言，形成一個完整精確的數學結論，我們經歷并體驗了一個完整的“概念”形成過程，是一個數學抽象的過程。實際上，數學中的每一個概念、性質都是這樣形成的。所以通過這節課我們不僅學到了函數單調性的知識，更重要的我們要學會善于觀察、善于分析、善于總結問題的能力。
今天的課就上到這，但數學的精彩還在繼續，在數學的旅途中，還有更多的風景，請同學們一路欣賞，一路收獲！最后用今天的內容獻給同學們一句話：時刻保持增函數的特性積極向上，就會創造出驚人的奇跡！祝同學們心想事成!
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
