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視頻標簽：函數的單調性
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修一1.3.1《函數的單調性》黑龍江省優課
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高中數學人教A版必修一1.3.1《函數的單調性》黑龍江
函數的單調性
一、內容與內容解析
本節課是普通高中課程標準試驗教科書《數學》（必修1）中第一章《集合與函數概念》第三節的第一課時.
觀察函數圖象時，首先注意到的是圖象的上升或下降（單調性），但是由圖象直觀獲得的結論還需要從數量關系的角度通過邏輯推理加以確認.應充分利用函數圖象，讓學生觀察圖象獲得對函數基本性質的直觀認識，這樣可以充分體現數形結合的思想.要特別重視一般性質的概括過程，引導學生用數學語言表達出來，是形成數學概念，培養學生探究能力的契機.
函數是描述事物變化規律的的數學模型，如果了解了函數的變化規律，那么也就基本掌握了相應事物的變化規律，因此研究函數性質是非常重要的.在探究函數性質的過程中，首先，觀察圖象，描述函數圖象特征；其次，結合圖、表，用自然語言描述函數圖象特征；最后，用數學符號的語言定義函數性質.這體現了研究函數性質的一般過程. 因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法依據.
函數單調性的探究過程蘊含了豐富的數學思想方法.首先，由圖象概括自然語言和數學符號語言的過程充分滲透了數學結合的思想，由一些函數滿足的特征推廣為一般函數的性質體現了特殊到一般的推理方法.由區間上增函數類比得到區間上的減函數的概念讓學生體會到類比推理的方法.在習題處理中能夠培養學生嚴謹的邏輯推理能力.
函數的單調性是函數眾多性質中的非常重要性質之一，函數的單調性一節中的知識是今后研究具體函數的單調性理論基礎；在解決函數值域、定義域、不等式、比較兩數大小等具體問題中均有著廣泛的應用；在歷年的高考中對函數的單調性考查每年都有涉及；數形結合思想的應用將貫穿于我們整個高中數學教學.
因此，本節課的教學重點是：對區間上的增函數概念的探究過程.
二、目標和目標解析
（一）教學目標
1.通過對大量函數圖象的觀察，總結函數圖象的變化趨勢，根據圖象上點的坐標的數值對比抽象概括變化規律，掌握單調性的相關概念.
2.學會把圖形語言、自然語言及數學符號語言的逐步轉換.在轉換過程中滲透數學結合、特殊到一般的思想方法.并能理解應用數形結合思想解決相關函數性質的探究過程.
3.突出語言表達能力、抽象概括及邏輯推理能力的培養和良好思維習慣的養成，并能運用圖形計算器等信息技術手段解決問題的能力，增強學生的應用意識.
（二）目標解析
1.學生學習了函數的表示方法，對函數圖象僅僅停留在直觀感知基礎上，對于函數變化規律的抽象概括經驗缺乏，因此通過學生的親自動手繪圖感受函數單調性的圖形語言，進而抽象概括相應概念作為本節課的重要學習目標.
2.有效的數學學習活動，不應只限于接受、記憶、模仿與練習，數學思想的領悟和知識的靈活運用更是如此．利用生活中的數學問題，讓學生在學習過程中自主探索、動手實踐、合作交流，共同探究.鼓勵學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣.讓學生體驗數學發現和創造的歷程.
3.以函數的單調性為基本探究內容，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識的形成、發展過程中展開思維，逐步培養學生發現問題、探索問題、解決問題的能力和抽象概括、嚴謹性思維的能力，滲透利用圖象發現、概括、抽象數學問題的探究方法。培養利用信息技術手段解決問題的能力.
三、教學問題診斷分析
學生學習了函數相關概念之后，對于函數圖象還停留在直觀感知和操作層面上，對于概念的形式化定義缺乏經驗，要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；這個困難主要發生在概念形成過程中由特殊到一般的過渡，也就是定義中任意的理解.利用單調性定義判斷函數的單調性的過程中，學生比較大小的能力不夠，主要原因還是數學的符號表達能力欠缺.由于是學生第一次接觸函數的性質，所以對于定義的探究過程和理解需要更加的明確和扎實，進而為后續學習打好堅實的基礎．
教學難點：把函數單調性的自然語言轉化為數學符號語言.
四、教學支持條件分析
教材的編寫有其嚴密的邏輯體系．函數知識的編寫遵循著由簡單到復雜，由特殊到一般再到特殊的認知規律．由“靜”到“動”，“微觀”到“宏觀”地展現知識的形成過程，有利于學生構建完整的知識體系．課程標準中也要求利用圖形計算器等多媒體輔助學生理解學習中的概念、性質和結論.在函數單調性定義的學習過程中，如果僅利用幾個學生已知的函數圖象，觀察一下，然后給出定義，學生對于概念的理解牽強且不夠深刻全面.因此利用圖形計算器可以讓學生自己畫函數圖象，尤其還可以畫一些不認識的函數圖象，使得圖象類型越豐富學生理解越全面.在抽象歸納定義時可以在函數圖象上追蹤點的坐標，進而利用對偶圖實現圖與表的動態對比，充分體會形與數的變化規律，有助于學生對概念的抽象概括和理解.總之，利用圖形計算器進行過程化教學，突出數學本質；利用圖形計算器展開數學實驗，培養探究能力.
五、教學過程設計
（一）圖象感知，初步描述
引例 ：請同學們解決下面的問題：（教材23頁第二題改編)
尋找與下述三件事分別吻合度最好的圖象？（橫坐標為時間，縱坐標為離家的距離）
1、你離開家不久，發現自己把作業忘在家里了，于是返回家里找到了作業本再上學；
2、我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽誤了一些時間；
3、我出發后，為了趕時間逐漸加速.
A B C
同學們，我們把時間作為自變量，離家的距離作為函數值.利用函數圖象的不同變化趨勢反映生活中的不同運動背景.也就是說可以利用函數的變化規律研究相應事物的變化規律.
師生活動：教師提問，學生思考、回答.從身邊的數學問題中感受函數圖象的變化趨勢.
【設計意圖】通過貼近生活的實例，讓學生積極參與到問題的探究中來，滲透研究函數性質可以解決生活中的實際問題.函數圖象中蘊含豐富的函數性質，向學生滲透借助函數圖象發現并研究函數性質的方法，使學生體會數形結合的數學思想.
設問1：請同學們利用手中的計算器畫3個函數圖象,觀察函數圖象的變化趨勢,選擇其中一個圖象，總結函數圖象從左至右的升降情況.
師生活動：教師提問，學生思考、回答.教師引導學生利用圖形計算器通過已有的認知基礎繪制函數圖象，觀察圖象，總結歸納.
教師搜集學生畫好的圖象展示出來，共同明確某些函數都能找到定義域內的一個區間使得圖象是連續不斷的上升或者是連續不斷的下降.這種某個區間上的連續上升或連續下降反映了函數的一個局部性質單調性.
需要說明的是常函數和圖象為離散點的函數不具備單調性.單調性是函數的局部性質.
學生理解說明常函數的圖象沒有升降變化，離散的點不連續.單調性是針對定義域的某個子區間討論的.
【設計意圖】既復習了上節課函數圖象的內容，又可以調動學生的積極主動性參與到課堂中來，在圖象中尋找特征，自主觀察、發現函數性質，感受用圖形語言描述定義.函數圖象類型越豐富學生的體驗越全面.
（二）提高認識，定性描述
設問2：初中是如何描述函數圖象是從左至右逐漸上升和函數圖象是從左至右逐漸下降呢？
師生活動：教師提問，學生思考、回答.
設問3：利用解析式
來描述隨自變量
值的變化，函數值
的變化情況.
師生活動：教師提問，學生思考、回答. 教師明確函數的單調性利用圖形語言刻畫為升降變化，利用自然語言刻畫為隨自變量的變大函數值變大或變小.高中階段繼續研究利用數學的符號語言(即利用自變量和函數值的數量關系)刻畫單調性.
設問4：已知函數在區間
上隨自變量的增大函數值也增大，（1）比較
的大小；（2）比較
的大小.
師生活動：教師提問，學生思考、回答.
【設計意圖】以學生已有的認知為基礎，回憶初中用圖形語言、自然語言描述函數的單調性.實現初高中的知識銜接，體會知識的螺旋式上升，為后續精確的定量描述做好鋪墊.
設問5：若函數滿足
，能否推出函數在區間上隨自變量的增大函數值也增大？
師生活動：教師提問，學生小組討論研究舉出反例.選擇兩名學生到黑板畫出反例，在選擇兩名學生利用圖形計算器畫出相對復雜的函數圖象作為反例.
【設計意圖】選擇學生容易出現錯誤認知的環節，充分探討研究，明確利用確定的幾個自變量和相應函數值的大小關系無法推出函數在區間上隨自變量的增大函數值也增大，為后續定量刻畫提供思考的方向.
（三）抽象概括，定量描述.
設問6：借助手中的圖形計算器，選擇某個函數的一段上升圖象，結合對偶圖功能 ，研究如何利用自變量的大小關系和函數值的大小關系來刻畫函數在此區間上隨自變量的增大函數值也增大？
師生活動： 給學生充分的發現、總結、探討的空間和時間.嘗試從圖形語言和自然語言描述轉換到數學語言的定量刻畫.
教師做好探究的引導工作：
1、函數圖象上點的縱坐標等于橫坐標為自變量所對的函數值即函數圖象上的點可以記為
.
2、利用圖形計算器追蹤點和對偶圖功能，從左至右觀察函數圖象上的點，其坐標是如何變化的？
3、一個點無法刻畫升降，圖象中坐標的大小變化是兩兩比較得出的結論，所以需要用兩個點的高低比較明確升降.
4、如何用兩個點
的橫、縱坐標的數量關系刻畫隨自變量的增大函數值也增大？
5、為了實現利用有限的兩個點代替這段圖象上所有的點的變化，這兩個點在函數圖象上應該如何選取？
【設計意圖】在定義的探究過程中，有兩個方面是學生理解的難點：其一，利用兩個點的坐標值的大小關系來描述圖象的上升趨勢；其二，兩個自變量取值的任意性。為此教師的引導學生，從形的角度看點的變化.從數的角度看坐標的變化. 從函數的角度看自變量和函數值如何變化.利用圖形計算器的對偶圖的功能，實現圖和表的動態同時對比，幫助學生實現形和數的轉化，最終感知利用描述任意的兩個點的坐標大小的不等式，刻畫整個函數圖象的上升趨勢，通過“任意”實現有限和無限之間的轉化.同時體現圖形計算器輔助教學的作用.
設問7：梳理整個探究過程，請同學們概括若滿足什么條件，則是區間上的增函數.
師生活動：教師提問，學生思考、回答.教師引導學生區間上的增函數初中階段描述是圖象在此區間上呈上升趨勢，函數值隨自變量的增大而增大.高中階段我們要從數量關系上利用數學的符號語言加以精確刻畫.
回顧探究過程中的關鍵點：定義域的子區間—函數的局部性質；任意兩個自變量的值；自變量與函數值的同增.教師在整個探究中適時設問點撥，幫助學生明確關鍵點.進而明確定義
一般地，設函數的定義域為
：如果對于定義域內某個區間
上的任意兩個自變量的值
，當
時，都有
，那么就說函數在區間上是增函數.
【設計意圖】回顧總結探究的關鍵環節，為定義做好充分的鋪墊，使得定義的歸納水到渠成. 區間上的增函數的探究過程非常重要，不僅對減函數的定義具有類比作用，而且對后續函數的學習都有積極的示范作用，學生探究的過程要充分、深刻，爭取形成一定的指導性作用.
（四）鞏固認識，深化概念
習題1、選擇圖形計算器中繪制一個函數圖象，尋找此函數的增區間.
師生活動：學生動手操作，利用單調性的圖形語言尋找單調區間.
【設計意圖】從最基礎的圖象語言學會尋找單調區間，利用圖形計算器增大課堂的知識容量.體會形的直觀，滲透數的精確，感受如果沒有計算器要想確定單調區間，需要從數量關系上即數學語言研究函數的單調性的必要性.
2、證明函數是上的增函數.
證明：任取
且, ………………………設元
………………………作差
………………………整理
又
即 ………………… 定號
∴函數是上的增函數． ……………………結論
師生活動：教師示范板書，學生口答，探討推理步驟.教師引導學生總結利用單調性定義證明函數單調性的步驟：設元，作差，整理，定號，結論.
【設計意圖】鞏固、強調定義的內容，培養學生的邏輯推理和抽象表達能力.
3、設函數是定義在區間
上的減函數， (1)試比較
的大小；（2）若
，求
的取值范圍.
師生活動：教師提問，學生思考、回答.教師引導學生從不同角度解決問題.
【設計意圖】明確定義是等價命題.
設問8：請同學們類比區間上的增函數的定義得出區間上的減函數的定義.
一般地，設函數的定義域為：如果對于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值，當時，都有
，那么就說函數在區間上是減函數.
教師給出單調性、單調區間定義
如果函數
在區間上是增函數或減函數，那么就說函數在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間叫做的單調區間.
【設計意圖】類比得出區間上的減函數的定義，滲透類比推理的方法，對后續函數的學習具有積極的示范作用.
（五）知識梳理, 總結回顧
設問7：通過本節課的學習，大家從知識和能力上談談你的收獲.
【1】明確定義中注意事項
1、定義域的子區間—函數的局部性質，任意，同增異減；
2、單調區間可以是定義域，也可以是定義域的子區間；
3、單點不具備單調性；
4、單調區間不要隨便寫并集，多個區間用逗號相隔.
【2】利用定義證明單調性的基本步驟：設元，作差，整理，定號，結論.
【3】定義的等價性
1、利用已知條件推出函數的增減性；2、已知函數增減性比較大小.
【4】探究定義中用到的數形結合、從特殊到特殊、類比轉化等數學思想方法.
師生活動：教師引導學生從基礎知識和方法手段、注意事項等方面進行總結.
【設計意圖】由學生總結整節課中學習的內容，教師適時補充，幫助鞏固學習成果，提高學習的系統性和規范性.
思考題1、判斷正誤，說明理由：（1）若函數滿足對于任意的
，則此函數在區間上是增函數.（2）函數滿足是
上的減函數，同時也是
上的減函數，則滿足是
上的減函數.
思考題2、討論函數
函數的單調性
授課教師：哈爾濱師范大學附屬中學 王健
一、內容與內容解析
本節課是普通高中課程標準試驗教科書《數學》（必修1）中第一章《集合與函數概念》第三節的第一課時.
觀察函數圖象時，首先注意到的是圖象的上升或下降（單調性），但是由圖象直觀獲得的結論還需要從數量關系的角度通過邏輯推理加以確認.應充分利用函數圖象，讓學生觀察圖象獲得對函數基本性質的直觀認識，這樣可以充分體現數形結合的思想.要特別重視一般性質的概括過程，引導學生用數學語言表達出來，是形成數學概念，培養學生探究能力的契機.
函數是描述事物變化規律的的數學模型，如果了解了函數的變化規律，那么也就基本掌握了相應事物的變化規律，因此研究函數性質是非常重要的.在探究函數性質的過程中，首先，觀察圖象，描述函數圖象特征；其次，結合圖、表，用自然語言描述函數圖象特征；最后，用數學符號的語言定義函數性質.這體現了研究函數性質的一般過程. 因此，函數單調性的學習為進一步學習函數的其它性質提供了方法依據.
函數單調性的探究過程蘊含了豐富的數學思想方法.首先，由圖象概括自然語言和數學符號語言的過程充分滲透了數學結合的思想，由一些函數滿足的特征推廣為一般函數的性質體現了特殊到一般的推理方法.由區間上增函數類比得到區間上的減函數的概念讓學生體會到類比推理的方法.在習題處理中能夠培養學生嚴謹的邏輯推理能力.
函數的單調性是函數眾多性質中的非常重要性質之一，函數的單調性一節中的知識是今后研究具體函數的單調性理論基礎；在解決函數值域、定義域、不等式、比較兩數大小等具體問題中均有著廣泛的應用；在歷年的高考中對函數的單調性考查每年都有涉及；數形結合思想的應用將貫穿于我們整個高中數學教學.
因此，本節課的教學重點是：對區間上的增函數概念的探究過程.
二、目標和目標解析
（一）教學目標
1.通過對大量函數圖象的觀察，總結函數圖象的變化趨勢，根據圖象上點的坐標的數值對比抽象概括變化規律，掌握單調性的相關概念.
2.學會把圖形語言、自然語言及數學符號語言的逐步轉換.在轉換過程中滲透數學結合、特殊到一般的思想方法.并能理解應用數形結合思想解決相關函數性質的探究過程.
3.突出語言表達能力、抽象概括及邏輯推理能力的培養和良好思維習慣的養成，并能運用圖形計算器等信息技術手段解決問題的能力，增強學生的應用意識.
（二）目標解析
1.學生學習了函數的表示方法，對函數圖象僅僅停留在直觀感知基礎上，對于函數變化規律的抽象概括經驗缺乏，因此通過學生的親自動手繪圖感受函數單調性的圖形語言，進而抽象概括相應概念作為本節課的重要學習目標.
2.有效的數學學習活動，不應只限于接受、記憶、模仿與練習，數學思想的領悟和知識的靈活運用更是如此．利用生活中的數學問題，讓學生在學習過程中自主探索、動手實踐、合作交流，共同探究.鼓勵學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣.讓學生體驗數學發現和創造的歷程.
3.以函數的單調性為基本探究內容，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識的形成、發展過程中展開思維，逐步培養學生發現問題、探索問題、解決問題的能力和抽象概括、嚴謹性思維的能力，滲透利用圖象發現、概括、抽象數學問題的探究方法。培養利用信息技術手段解決問題的能力.
三、教學問題診斷分析
學生學習了函數相關概念之后，對于函數圖象還停留在直觀感知和操作層面上，對于概念的形式化定義缺乏經驗，要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；這個困難主要發生在概念形成過程中由特殊到一般的過渡，也就是定義中任意的理解.利用單調性定義判斷函數的單調性的過程中，學生比較大小的能力不夠，主要原因還是數學的符號表達能力欠缺.由于是學生第一次接觸函數的性質，所以對于定義的探究過程和理解需要更加的明確和扎實，進而為后續學習打好堅實的基礎．
教學難點：把函數單調性的自然語言轉化為數學符號語言.
四、教學支持條件分析
教材的編寫有其嚴密的邏輯體系．函數知識的編寫遵循著由簡單到復雜，由特殊到一般再到特殊的認知規律．由“靜”到“動”，“微觀”到“宏觀”地展現知識的形成過程，有利于學生構建完整的知識體系．課程標準中也要求利用圖形計算器等多媒體輔助學生理解學習中的概念、性質和結論.在函數單調性定義的學習過程中，如果僅利用幾個學生已知的函數圖象，觀察一下，然后給出定義，學生對于概念的理解牽強且不夠深刻全面.因此利用圖形計算器可以讓學生自己畫函數圖象，尤其還可以畫一些不認識的函數圖象，使得圖象類型越豐富學生理解越全面.在抽象歸納定義時可以在函數圖象上追蹤點的坐標，進而利用對偶圖實現圖與表的動態對比，充分體會形與數的變化規律，有助于學生對概念的抽象概括和理解.總之，利用圖形計算器進行過程化教學，突出數學本質；利用圖形計算器展開數學實驗，培養探究能力.
五、教學過程設計
（一）圖象感知，初步描述
引例 ：請同學們解決下面的問題：（教材23頁第二題改編)
尋找與下述三件事分別吻合度最好的圖象？（橫坐標為時間，縱坐標為離家的距離）
1、你離開家不久，發現自己把作業忘在家里了，于是返回家里找到了作業本再上學；
2、我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽誤了一些時間；
3、我出發后，為了趕時間逐漸加速.
A B C
同學們，我們把時間作為自變量，離家的距離作為函數值.利用函數圖象的不同變化趨勢反映生活中的不同運動背景.也就是說可以利用函數的變化規律研究相應事物的變化規律.
師生活動：教師提問，學生思考、回答.從身邊的數學問題中感受函數圖象的變化趨勢.
【設計意圖】通過貼近生活的實例，讓學生積極參與到問題的探究中來，滲透研究函數性質可以解決生活中的實際問題.函數圖象中蘊含豐富的函數性質，向學生滲透借助函數圖象發現并研究函數性質的方法，使學生體會數形結合的數學思想.
設問1：請同學們利用手中的計算器畫3個函數圖象,觀察函數圖象的變化趨勢,選擇其中一個圖象，總結函數圖象從左至右的升降情況.
師生活動：教師提問，學生思考、回答.教師引導學生利用圖形計算器通過已有的認知基礎繪制函數圖象，觀察圖象，總結歸納.
教師搜集學生畫好的圖象展示出來，共同明確某些函數都能找到定義域內的一個區間使得圖象是連續不斷的上升或者是連續不斷的下降.這種某個區間上的連續上升或連續下降反映了函數的一個局部性質單調性.
需要說明的是常函數和圖象為離散點的函數不具備單調性.單調性是函數的局部性質.
學生理解說明常函數的圖象沒有升降變化，離散的點不連續.單調性是針對定義域的某個子區間討論的.
【設計意圖】既復習了上節課函數圖象的內容，又可以調動學生的積極主動性參與到課堂中來，在圖象中尋找特征，自主觀察、發現函數性質，感受用圖形語言描述定義.函數圖象類型越豐富學生的體驗越全面.
（二）提高認識，定性描述
設問2：初中是如何描述函數圖象是從左至右逐漸上升和函數圖象是從左至右逐漸下降呢？
師生活動：教師提問，學生思考、回答.
設問3：利用解析式來描述隨自變量值的變化，函數值的變化情況.
師生活動：教師提問，學生思考、回答. 教師明確函數的單調性利用圖形語言刻畫為升降變化，利用自然語言刻畫為隨自變量的變大函數值變大或變小.高中階段繼續研究利用數學的符號語言(即利用自變量和函數值的數量關系)刻畫單調性.
設問4：已知函數在區間上隨自變量的增大函數值也增大，（1）比較的大小；（2）比較的大小.
師生活動：教師提問，學生思考、回答.
【設計意圖】以學生已有的認知為基礎，回憶初中用圖形語言、自然語言描述函數的單調性.實現初高中的知識銜接，體會知識的螺旋式上升，為后續精確的定量描述做好鋪墊.
設問5：若函數滿足，能否推出函數在區間上隨自變量的增大函數值也增大？
師生活動：教師提問，學生小組討論研究舉出反例.選擇兩名學生到黑板畫出反例，在選擇兩名學生利用圖形計算器畫出相對復雜的函數圖象作為反例.
【設計意圖】選擇學生容易出現錯誤認知的環節，充分探討研究，明確利用確定的幾個自變量和相應函數值的大小關系無法推出函數在區間上隨自變量的增大函數值也增大，為后續定量刻畫提供思考的方向.
（三）抽象概括，定量描述.
設問6：借助手中的圖形計算器，選擇某個函數的一段上升圖象，結合對偶圖功能 ，研究如何利用自變量的大小關系和函數值的大小關系來刻畫函數在此區間上隨自變量的增大函數值也增大？
師生活動： 給學生充分的發現、總結、探討的空間和時間.嘗試從圖形語言和自然語言描述轉換到數學語言的定量刻畫.
教師做好探究的引導工作：
1、函數圖象上點的縱坐標等于橫坐標為自變量所對的函數值即函數圖象上的點可以記為.
2、利用圖形計算器追蹤點和對偶圖功能，從左至右觀察函數圖象上的點，其坐標是如何變化的？
3、一個點無法刻畫升降，圖象中坐標的大小變化是兩兩比較得出的結論，所以需要用兩個點的高低比較明確升降.
4、如何用兩個點的橫、縱坐標的數量關系刻畫隨自變量的增大函數值也增大？
5、為了實現利用有限的兩個點代替這段圖象上所有的點的變化，這兩個點在函數圖象上應該如何選取？
【設計意圖】在定義的探究過程中，有兩個方面是學生理解的難點：其一，利用兩個點的坐標值的大小關系來描述圖象的上升趨勢；其二，兩個自變量取值的任意性。為此教師的引導學生，從形的角度看點的變化.從數的角度看坐標的變化. 從函數的角度看自變量和函數值如何變化.利用圖形計算器的對偶圖的功能，實現圖和表的動態同時對比，幫助學生實現形和數的轉化，最終感知利用描述任意的兩個點的坐標大小的不等式，刻畫整個函數圖象的上升趨勢，通過“任意”實現有限和無限之間的轉化.同時體現圖形計算器輔助教學的作用.
設問7：梳理整個探究過程，請同學們概括若滿足什么條件，則是區間上的增函數.
師生活動：教師提問，學生思考、回答.教師引導學生區間上的增函數初中階段描述是圖象在此區間上呈上升趨勢，函數值隨自變量的增大而增大.高中階段我們要從數量關系上利用數學的符號語言加以精確刻畫.
回顧探究過程中的關鍵點：定義域的子區間—函數的局部性質；任意兩個自變量的值；自變量與函數值的同增.教師在整個探究中適時設問點撥，幫助學生明確關鍵點.進而明確定義
一般地，設函數的定義域為：如果對于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數在區間上是增函數.
【設計意圖】回顧總結探究的關鍵環節，為定義做好充分的鋪墊，使得定義的歸納水到渠成. 區間上的增函數的探究過程非常重要，不僅對減函數的定義具有類比作用，而且對后續函數的學習都有積極的示范作用，學生探究的過程要充分、深刻，爭取形成一定的指導性作用.
（四）鞏固認識，深化概念
習題1、選擇圖形計算器中繪制一個函數圖象，尋找此函數的增區間.
師生活動：學生動手操作，利用單調性的圖形語言尋找單調區間.
【設計意圖】從最基礎的圖象語言學會尋找單調區間，利用圖形計算器增大課堂的知識容量.體會形的直觀，滲透數的精確，感受如果沒有計算器要想確定單調區間，需要從數量關系上即數學語言研究函數的單調性的必要性.
2、證明函數是上的增函數.
證明：任取且, ………………………設元
………………………作差
………………………整理
又
即 ………………… 定號
∴函數是上的增函數． ……………………結論
師生活動：教師示范板書，學生口答，探討推理步驟.教師引導學生總結利用單調性定義證明函數單調性的步驟：設元，作差，整理，定號，結論.
【設計意圖】鞏固、強調定義的內容，培養學生的邏輯推理和抽象表達能力.
3、設函數是定義在區間上的減函數， (1)試比較的大小；（2）若，求的取值范圍.
師生活動：教師提問，學生思考、回答.教師引導學生從不同角度解決問題.
【設計意圖】明確定義是等價命題.
設問8：請同學們類比區間上的增函數的定義得出區間上的減函數的定義.
一般地，設函數的定義域為：如果對于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數在區間上是減函數.
教師給出單調性、單調區間定義
如果函數在區間上是增函數或減函數，那么就說函數在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間叫做的單調區間.
【設計意圖】類比得出區間上的減函數的定義，滲透類比推理的方法，對后續函數的學習具有積極的示范作用.
（五）知識梳理, 總結回顧
設問7：通過本節課的學習，大家從知識和能力上談談你的收獲.
【1】明確定義中注意事項
1、定義域的子區間—函數的局部性質，任意，同增異減；
2、單調區間可以是定義域，也可以是定義域的子區間；
3、單點不具備單調性；
4、單調區間不要隨便寫并集，多個區間用逗號相隔.
【2】利用定義證明單調性的基本步驟：設元，作差，整理，定號，結論.
【3】定義的等價性
1、利用已知條件推出函數的增減性；2、已知函數增減性比較大小.
【4】探究定義中用到的數形結合、從特殊到特殊、類比轉化等數學思想方法.
師生活動：教師引導學生從基礎知識和方法手段、注意事項等方面進行總結.
【設計意圖】由學生總結整節課中學習的內容，教師適時補充，幫助鞏固學習成果，提高學習的系統性和規范性.
思考題1、判斷正誤，說明理由：（1）若函數滿足對于任意的，則此函數在區間上是增函數.（2）函數滿足是上的減函數，同時也是上的減函數，則滿足是上的減函數.
思考題2、討論函數
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