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視頻標簽：函數的單調性
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版版必修1第一章1.3.1函數的單調性-吉林省優課
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函數的單調性教學設計
【教材分析】
《函數單調性》是高中數學新教材必修一第二章第三節的內容。在此之前，學生已學習了函數的概念、定義域、值域及表示法，這為過渡到本節的學習起著鋪墊作用。本節內容是高中數學中相當重要的一個基礎知識點，是研究和討論初等函數有關性質的基礎。掌握本節內容不僅為今后的函數學習打下理論基礎，還有利于培養學生的抽象思維能力，及分析問題和解決問題的能力。
【教學目標】
知識與技能：
1．通過生活中的例子幫助學生理解增函數、減函數及其幾何意義。 2．學會應用函數的圖象理解和研究函數的單調性及其幾何意義。 過程與方法：
1．通過本節課的教學，滲透數形結合的數學思想，對學生進行辨證唯物主義的教育。 2．通過探究與活動，使學生明白考慮問題要細致，說理要明確。 情感與態度：
1．通過本節課的教學，使學生能理性的描述生活中的增長、遞減的現象。
2．通過生活實例感受函數單調性的意義，培養學生的識圖能力和數形語言轉化的能力。
【重點難點】
重點：函數單調性概念的理解及應用。 難點：函數單調性的判定及證明。 關鍵：增函數與減函數的概念的理解。
【教法分析】
為了實現本節課的教學目標，在教法上我采取了：
1．通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主體參與的積極性。
2．在形成概念的過程中，緊扣概念中的關鍵語句，通過學生的主體參與，正確地形成概念。 3．在鼓勵學生主體參與的同時，不可忽視教師的主導作用，要教會學生清晰的思維、嚴謹的推理，并順利地完成書面表達。
【學法分析】
在教學過程中，教師設置問題情景讓學生想辦法解決；通過教師的啟發點撥，學生的不斷探索，最終把解決問題的核心歸結到判斷函數的單調性。然后通過對函數單調性的概念的學習理解，最終把問題解決。整個過程學生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態活動之中；同時讓學生體驗到了學習數學的快樂，培養了學生自主學習的能力和以嚴謹的科學態度研究問題的習慣。
【教學過程設計】
（一）問題情境
設計意圖：創設海寧潮潮起潮落，成語→圖象的問題情境，讓學生用樸素的生活語言描述他們對變化規律的理解，并請學生將文字語言轉化為圖形語言，這樣做可使教學過程富有情趣，可激發學生的學習熱情，教學起點的設定也比較恰當，學生的參與度較高。
（二）溫故知新
1．問題1：觀察學生繪制的函數的圖象（實際教學中可根據學生回答的情況而定），指出圖象的變化的趨勢。
2
觀察得到：隨著x值的增大，函數圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區間內呈上升趨勢，在另一區間內呈下降趨勢。
2．問題2：對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中是怎樣描述的？ 例如：初中研究2yx時，我們知道，當x<0時，函數值y隨x的增大而減小，當x>0時，函數值y隨x的增大而增大。
回憶初中對函數單調性的解釋：
圖象呈逐漸上升趨勢數值y隨x的增大而增大；圖象呈逐漸下降趨勢數值y隨x的增大而減小。
函數這種性質稱為函數的單調性。
設計意圖：學生在函數單調性這一概念的學習上有三個認知基礎：一是生活體驗，二是函數圖象，三是初中對函數單調性的認識。對照繪制的函數圖象，讓學生回憶初中對函數單調性的描述的定義，并在此基礎上進行概念的符號化建構，與學生的認知起點銜接緊密，符合學生的認知規律。
（三）建構概念
問題3：如何用符號化的數學語言來準確地表述函數的單調性呢？
對于區間I內的任意兩個值12,xx，當12xx時，都有12()()fxfx。
單調增函數的定義：
問題4：如何定義單調減函數呢？ 可以通過類比的方法由學生給出。
3
設計意圖：通過師生雙邊活動及學生討論，可以讓學生充分參與用嚴格的數學符號語言定義函數單調性的全過程，讓他們親身體驗數學概念如何從直觀到抽象，從文字到符號，從粗疏到嚴密。讓他們充分感悟數學概念符號化的建構原則。問題4則要求學生結合圖象化單調增函數的定義，通過類比的方法，由學生自己得到單調減函數的概念，在這個過程中，學生可以體會數學概念是如何擴充完善的。
（四）理解概念
1．顧名思義，對“單調”兩字加深理解
漢語大詞典對“單調”的解釋是：簡單、重復而沒有變化。 2．呼應引入，解決問題情境中的問題
如：21yx的單調增區間是(,)；1
yx
在(0,)上是減函數。 3．單調性是函數的“局部”性質 如：函數1yx在(0,)和(,0)上都是減函數，能否說1yx
在定義域(,0)(0,)上上減函數？
引導學生討論，從圖象上觀察或用特殊值代入驗證否定結論（如取121
1,2
xx
）。
設計意圖：學生對一個概念的認識不可能一次完成，教師要善于從多個角度，通過概念變式教學和構造反例幫助學生理解概念的內涵與外延。在學習如何證明一個函數的單調性之前，先與學生一起探討怎樣才能否定一個函數的單調性對幫助學生理解函數單調性的概念尤為重要，可以加深學生對“任意”兩字的理解。
（五）運用概念
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通過兩例，教師要向學生說明：
1．判斷函數單調性的主要方法：①觀察法：畫出函數圖象來觀察；②定義法：嚴格按照定義進行驗證；③分解法：對函數進行恰當的變形，使之變成我們所熟悉的且已知其單調性的較簡單函數的組合。
2．概括出證明函數單調性的一般步驟：取值→作差→變形→定號。 （六）回顧總結
本節課主要學習了函數單調性的定義，單調區間的概念，能利用（1）圖象法；（2）定義法來判定函數的單調性，從中體會了數形結合的思想，學會從“特殊到一般再到特殊”的思維方法來研究問題。 【教學反思】
1．給出生活實例和函數單調性的圖形語言，調動學生的參與意識，通過直觀圖形得出結論，滲透數形結合的數學思想。問題是數學的心臟，問題是學生思維的開始，問題是學生興趣的開始。這里，通過問題，引發學生的進一步學習的好奇心。
2．給出函數單調性的數學語言。通過教師指圖說明，分析定義，提問等辦法，使學生把定義與直觀圖象結合起來，加深對概念的理解，滲透數形結合分析問題的數學思想方法。
3．有效的數學學習過程，不能單純的模仿與記憶，數學思想的領悟和學習過程更是如此．利用學生自己提出的問題，讓學生在解題過程中親身經歷和實踐體驗，師生互動學習，生生合作交流，共同探究。
4．通過安排基本練習題，使學生在完成必修教材基本學習任務的同時，拓展自主發展的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發學生飽滿的學習興趣，促進學生自主發展、合作探究的學習氛圍的形成。
5．讓學生體驗數學知識的發生發展過程應該成為這節課的一個重要教學目標。函數的單調性的定義是對函數圖象特征的一種數學描述，它經歷了由圖象直觀感知到自然語言描述，再到數學符號語言描述的進化過程，這個過程充分反映了數學的理性精神，是一個很有價值的數學教育載體。
6．教學設計最根本的著力點是“為學習設計教學”，而不是“為教學設計學習”。通過對“函數單調性”教學設計，我對“為學習設計教學”有了更深的理解。如果把教學看作是教師帶領學生一起去遠足，那么學情分析的目的是要分析學生的認知基礎，確定一個合情合理的教學起點；目標導向這是要教師分析預期達到的教學效果，即遠足所期望到達的目的地，這是教學的根本和核心任務，是教學設計的關鍵；知識定位則好比是教師要預先分析通往目的地的道路狀況，從而決定前進的方法和策略；問題設計則好比是設計行程，恰當安排可以指引師生高效地向著目的地前行。本節課就是通過這樣的設計思想來安排教學設計的。
課前布置任務：
(1) 由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.
(2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.
課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.
下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.
引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考．
問題：觀察圖形，能得到什么信息？
預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；
(2)在某時刻的溫度；
(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.
在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的．
問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？
預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．
歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變�。�
《函數的單調性》教學設計說明
一、教學內容的分析
函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據．
對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點．
二、教學目標的確定
根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成．
三、教學方法和教學手段的選擇
本節課是函數單調性的起始課，采用教師啟發講授，學生探究學習的教學方法，通過創設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法．本節課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學，目的是充分發揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識．
四、教學過程的設計
為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：
（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入．
（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟．
（3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆．
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