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視頻標簽：瞬時速度,與導數
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教B版高中數學選修1-1第三章《瞬時速度與導數》湖北省 - 黃岡
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《瞬時速度與導數》
教 材: 人教B版·普通高中課程標準實驗教科書·數學·選修1-1
一、教材內容分析
本節課的教學內容選自人教社普通高中課程標準實驗教科書（B版）數學選修1－1第三章第一節的《導數》，《瞬時速度與導數》是在學習了函數平均變化率以后，過渡到瞬時變化率，從而得出導數的概念.
導數是微積分的核心概念之一，是從生產技術和自然科學的需要中產生的，它深刻揭示了函數變化的本質，其思想方法和基本理論在在天文、物理、工程技術中有著廣泛的應用，而且在日常生活及經濟領域也日漸顯示出其重要的功能.
在中學數學中，導數具有相當重要的地位和作用。 從橫向看，導數在現行高中教材體系中處于一種特殊的地位.它是眾多知識的交匯點，是解決函數、不等式、數列、幾何等多章節相關問題的重要工具，它以更高的觀點和更簡捷的方法對中學數學的許多問題起到以簡馭繁的處理.
從縱向看，導數是函數一章學習的延續和深化，也是對極限知識的發展，同時為后繼研究導數的幾何意義及應用打下必備的基礎，具有承前啟后的重要作用. 二、學生學情分析
1.導數是對變化率的一種“度量”. 實際生活中，學生最為熟悉的一種變化率就是物體的運動速度.學生在3.1.1小節學習了函數的平均變化率，因此，學生已經具備了一定的認知基礎.
2.可能存在的問題：“逼近”的思想對于學生而言，還是比較陌生，需要精心設計教學活動，使學生能通過觀察發現：運動的物體在某一時刻的平均速度在時間間隔越來越小時，逐漸趨于一個不變的常數，而且這個常數就是物體在這一時刻的瞬時速度.這個過程學生難以想象，同時數值逼近的運算繁瑣，但又不能采取簡單的方式告知學生，而是要學生通過實際的計算，在計算過程中，充分感知當||t趨于0時，t
h
趨于一個定值. 三、教學目標
1.在導數概念建立的過程中，引導學生通過觀察、數值逼近、解析式抽象、類比等方法體會數學概念的發生和形成.
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2.理解導數的概念，初步掌握導數的計算方法，并在具體數學問題中進一步理解導數的概念. 3.通過對瞬時速度、瞬時變化率的探索，激發學生對本部分內容學習的興趣. 四、教學重點 函數的瞬時變化率、導數的概念. 五、教學難點 對導數的理解和利用導數解決實際問題. 六、教學策略分析
根據學生情況，為了完成本節課的教學目標，突破教學重難點，主要采取教師問題引導，學生自主探究、歸納的教學方法.具體的策略有:
1.利用計算器進行分組合作，取不同的t，計算
t
h
的值. 2.從特殊到一般的教學方法.讓學生在知道2t時的瞬時速度以后，類比得出運動員在ｔ＝3時的瞬時速度.同樣，在學生探究出運動員在任意時刻的瞬時速度之后，可以歸納出一般函數在任意一點的瞬時變化率.
3.從具體到抽象的教學方法.學生由生活中的具體實例和已有的知識背景出發，歷經平均速度到瞬時速度的過渡，再把物體的運動變化量抽象為一般的函數，從而得到瞬時變化率的概念. 七、教學過程設計 （一）設置問題情境
世間萬物都處在不斷變化當中,認識事物的變化規律,是人類面臨的重大課題.數學關注變化著的事物內在的數量關系,特別是變量之間的函數關系.研究函數的變化趨勢不僅是現實的需要，而且有重要的理論意義.17世紀，數學泰斗牛頓和萊布尼茨把這種研究提高到一個新的階段.他們以大量的物理問題和幾何問題為背景，研究了函數的平均變化率，引進了一種全新的運算---求導數，進而引進了導數的逆運算---積分.兩位巨匠開創性的工作，使前人未能解決的諸多問題，如變速運動的瞬時速度與路程、變力做功問題迎刃而解；同時使許多重大幾何問題，如曲線的切線與長度、封閉曲線形的面積、立體體積等也獲得圓滿解決；并創立了微積分學.三百年來，微積分學不僅對數學，而且對整個人類文明產生了不可估量的影響.
本章導數及其應用,將把同學們引進到一個充滿活力的領域,在這里,同學們將領悟辯證的思維方式,
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用微觀去駕馭宏觀,從變量關系層面去把握事物變化的數學本質,并學會解答現實生活中的許多問題.
設計意圖：通過簡單介紹微積分的發展史及牛頓、萊布尼茨的成就激發學生學習導數的興趣.
（二）生活實例，數學探究
在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度為h（單位：m）與起跳后的時間t(單位：s )存在函數關系h（t）=-4.9t2
+6.5t+10，求ｔ＝2時的瞬時速度.
問題1：為了研究這個問題,我們給出運動員相對于水面的高度為h（單位：m）與起跳后的時間t(單位：s )存在函數關系h（t）=-4.9t2
+6.5t+10，那么運動員在t0到t0+△t時刻內的平均速度如何表示？ 問題2：我們先考察ｔ＝2附近的情況.任取一個時刻2＋△ｔ，△ｔ是時間改變量，可以是正值，也可以 是負值，但不為0.當△ｔ＜0時，在2之前；當△ｔ＞0時，在2之后.分組合作填寫運動員在ｔ＝2附近的平均速度表格.
問題3：在這個表格中，當時間的間隔越來越小時，大家發現平均速度有什么特點？ 學生通過觀察發現：在t=2時刻,Δt趨于0時，平均速度趨于一個確定的值-13.1. 設計意圖：通過合作計算，讓學生更深刻的感受到數值的逼近.
問題4：要使得到的瞬時速度更精確，時間的間隔就要很小，能否引進一個量，使其得到簡化？ 總結：這個確定的值即瞬時速度，為了更明確的表述趨近的過程,可用極限的思想來表示,即
0(2)(2)
lim
13.1
ththt 設計意圖:利用極限思想，將函數表達式抽象化.
時間區間 Δt<0 平均速度
時間區間 Δt>0 平均速度
[1.9,2] -0.1 [2,2.1] 0.1 [1.99,2] -0.01 [2,2.01] 0.01 [1.999,2] -0.001 [2,2.001] 0.001 [1.9999,2] -0.0001 [2,2.0001] 0.0001 [1.99999,2]
-0.00001
[2,2.00001]
0.00001
4
問題5：我們用這個方法得到了高臺跳水運動員在st2附近，平均速度逼近一個確定的常數.那其他時刻呢？我們再來研究t=3時的瞬時速度.在下面這個表格中，當時間的間隔越來越小時，大家發現平均速度有什么特點？能不能類比t=2時的瞬時速度，來表示t=3時的瞬時速度呢?
問題6：t=2，t=3是兩個特殊時刻，那么運動員在某一時刻 t0 的瞬時速度又怎樣表示?
設計意圖:從特殊到一般，讓學生直觀地理解運動員在任意時刻的瞬時速度.用平均速度逼近了瞬時速度，這都體現了我們數學中無限逼近的思想.
（三）模型建構
問題7：如果將以上問題中的函數用)(xf來表示，那么函數)(xf在0xx處的瞬時變化率該如何表示呢？
引導學生寫出)(xf在0xx處的瞬時變化率可表示x
xfxxfxy
xx)()(limlim0000 總結：我們就把這個瞬時變化率稱為導數. 導數的的定義：
函數()yfx在0xx處的瞬時變化率稱為()yfx在0xx處的導數,記作：0()fx或0
xx
y，即
0
00000()()()=lim
limxxxxfxxfxy
fxxx
y
由對瞬時速度的形成和理解，學生很容易聯想到可以用一個詞，叫做“瞬時變化率”.用它可以精確的描述函數在某一個點的變化趨勢.這體現了類比的思想方法.
設計意圖：由平均速度到瞬時速度，再由平均變化率到瞬時變化率，符合學生的認知過程.同時注重對抽象表達式的理解）
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（四）例題講解
例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種產品，需要對原油進行冷卻或者加熱，如果在第x h時，原油的溫度為)80(157)(2xxxxfy.計算第2 h 與第6 h時，原油溫度的瞬時變化率，說明它們的意義.
設計意圖：通過具體實例計算進一步熟悉導數的定義，鞏固導數的計算方法，同時總結出導數的一般步驟. 八、課堂小結
1.導數的概念的形成過程. 2.求導步驟：（1）求
x
y
（2）取極限. 3.思想方法：“以已知探求未知”、逼近、類比、從特殊到一般.
經過我們的探究，我們從生活中的實例到具體的函數，由特殊到一般，運用類比的思想方法，由平均速度逼近瞬時速度，再由平均變化率逼近了瞬時變化率，從而得到了函數在某一點處的導數.導數的思想方法就是通過函數在某一點附近的變化狀態，揭示這一點處的變化狀態，也揭示函數的本質. 設計意圖：整理本節所學的核心概念、基本技能，概括研究方法以及其中蘊含的數學思想. 九、布置作業 課本第82頁
A組，練習1，2，3; B組練習1.
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