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視頻標簽：函數的切線,與導數
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學選修1-1第三章《函數的切線與導數》北京市通州區潞河中學
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函數的切線與導數
一、教學背景
（一）學習內容分析
本課選自《普通高中課程標準實驗教科書·選修2-2》（人教A版）第一章第三節《導數在研究函數中的應用》，導數的幾何意義是函數在某點的切線的斜率，教材中并沒有給出“極限”的定義，而是通過具體的實例從數、形兩方面去體會“極限”的含義. 在教學實踐中發現，學生對“切線”這一概念的理解很難一步到位，他們所持有切線表象與切線定義是分離的，而切線與曲線的位置關系的探索，更適合在系統學習“導數的應用”之后進行，以便借助導數工具比較準確地描繪函數的圖象、研究函數的性質.
（二）學生情況分析
在本課之前，學生已經學習了導數的概念，導數的幾何意義及切線的分析定義，導數的運算，應用導數研究函數的單調區間、極值和最值等.學生雖然學習了切線的分析定義，但因高中教材中極限思想應用不多， “圓的切線”、“圓錐曲線的切線”對學生的認知影響深遠，學生對切線的理解并不深入，公共點的個數、切線與曲線的位置關系仍然是學生學習的認知障礙. 二、教學目標
1.通過問題及變式，深入理解切線的概念，尤其是理解“極限位置”的意義；
2.通過對切線與曲線位置關系的探索，體會導數的工具作用及數形結合思想、轉化思想應用.
三、教學過程 環節1：求切線方程
教師活動
例1 已知曲線S : 32()331fxxxx,求過點5(,2)3
P的曲線S
的切線方程.
學生活動
求解并交流，求出2y、33yx兩個切線方程.
教師活動 強調“過某點的切線”和“在某點的切線”是有區別的，應該先判斷已知點是否為切點. 在某點處的切線，這個點是切點；過某點的切線，這個點未必是切點.
設計意圖
對典型問題求解，落實基礎知識與基本方法.
環節2：追本求源，鞏固切線定義 教師活動
請用圖形計算器畫出曲線S與兩條直線，觀察圖形的位置關系，與圓、圓錐曲線的切線有什么不同？
學生活動
作出圖形，發現區別：曲線可以位于切線兩側、曲線與切線的公共點
個數不唯一.
圖1
教師活動 函數的切線與圓、圓錐曲線的切線是同一個概念嗎？ 學生活動
各抒己見，一些學生認為不是同一個概念. 教師活動
回顧函數切線的概念，并用信息技術演示.
圖2
發現它們是一回事，不管是什么曲線，切線都是割線的極限位置.
設計意圖 鞏固切線的分析定義，強調之前學習的所有切線具有相同的定義，滲透極限思想.
環節3：探究切線與曲線公共點的個數 教師活動
我們求出的2y、33yx兩條切線與曲線S分別有幾個公共點？ 學生活動
觀察機器作出的圖形可知，2y與曲線S有1個公共點，33yx與曲線S有2個公共點.
教師活動
無論是畫草圖還是用機器作圖，都只能呈現一部分圖形，如何說明再無其它公共點呢？
學生活動
方案一：利用二階導數分析函數的變化趨勢，再利用變化趨勢分析公共點的個數；
方案二：構造函數3
2
3
2
()331(33)34gxxxxxxx，
求公共點的個數即求函數()gx零點的個數.
設計意圖 運用信息技術，通過觀察、歸納“以形助數”，分析幾何圖形的代數表達，再進行推理、論證，積累基本活動經驗.
環節4：變式探究
教師活動
例2 已知曲線S:2()xfxeax，直線l: 1yx （1）直線l與曲線S有什么位置關系？
（2）手繪草圖分析直線l與曲線S公共點的個數，并用圖形計算器驗證；
（3）用代數方法證明上述結論.
學生活動 分析直線與曲線的位置關系、畫出草圖、代數證明.
設計意圖 從“數”入手 ，利用導數工具“以數解形”，提高學生分析問題、解
決問題的能力及知識的綜合運用能力.
五、課后反思
本課根據學生的實際情況，圍繞“切線”這一核心內容將教學資源有機整合，精選兩個例題，綜合了切線的定義、切線的求法、導數及二階導數的幾何意義、導數的基本應用等知識，滲透了數形結合、分類討論、轉化與化歸等數學思想.從特殊函數入手，利用信息技術做出圖形進行觀察、分析、推理、論證，得到一般性的結論，再進行遷移應用，體現了從特殊到一般的研究問題的方法.利用圖形計算器畫圖和印證猜想，突破難點，滿足了學生個性化探究的需求.本課是一節高效的專題學習課，有助于學生建構知識體系,提升直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養.
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
