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視頻標簽：函數的極值,與導數
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版選修2-2第一章1.3.2函數的極值與導數-寧夏
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高中數學人教A版選修2-2第一章1.3.2函數的極值與導數-寧夏育才中學
普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2.P26-29
1.3.2 函數的極值與導數
教學分析：
本節內容是導數在研究函數性質方面的繼續深入，在教材中起到了承上啟下的作用，是本章的重要知識點，也是導數應用的關鍵知識點。通過對函數極值的判定，可使學生加深對函數單調性與其導數關系的理解；掌握了函數極值的判別法，就為學生下一節學習函數最大、最小值的判定鋪平了道路。 教學目標
〈1〉結合函數圖象，了解可導函數在某點取得極值的必要條件和充分條件 〈2〉理解函數極值的概念，會用導數求函數的極大值與極小值
〈3〉感受導數在研究函數性質中一般性和有效性，通過學習讓學生體會極值是函數的局部性質，增強學生數形結合的思維意識。 重點難點：
教學重點：函數極值的概念，用導數判別函數極值的方法。 教學難點：函數在某點取得極值的必要條件和充分條件。 課時安排：一課時 教學過程 一 新課引入
前面我們學習了函數，解決了求瞬時速度與曲線切線斜率問題，又利用函數的導數研究了函數的單調性。下面我們利用函數的導數繼續研究函數的極值。 二、概念探究 1.函數極值的定義
已知函數y=f(x)的圖象如圖所示：
問題1：函數y=f(x)在點d,f,g點的函數值與這些點附近的函數值有什么關系？ 問題2：這些點附近的函數圖象有什么變化規律？
問題3：函數y=f(x)在點c,e,h點的函數值與這些點附近的函數值有什么關系？ 問題4:這些點附近的函數圖象有什么變化規律？ 問題5：函數的極大值一點大于極小值嗎？ 函數極值定義：
函數xfy在點ax的函數值af比它在點ax附近其他點的函數值都小，點a叫做函數y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y=f(x)的極小值。
函數xfy在點bx的函數值bf比它在點bx附近其他點的函數值都大，點b叫做函數y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y=f(x)的極大值。
2.函數的極值與導數的關系 已知函數y=f(x)的圖象如圖所示：
問題1：函數y=f(x) 在極值點a,b 處導數值是多少?
問題2：函數在極小值點x=a附近，導數的符號有什么變化規律？ 問題3：函數在極大值點x=b附近，導數的符號有什么變化規律？ 問題4：函數的極值與導數有什么關系？
（師生活動：先叫學生試著歸納總結，培養學生歸納概括能力，教師再補充。） 函數y=f(x)在點a處取得極小值af'=0；而且在點ax附近的左側xf'＜0，右側xf'＞0 。
函數xfy在點bx處取得極大值bf'=0；而且在點bx附近的左側 xf'＞0，右側xf'＜0 。
3
口訣：左負右正為極小，左正右負為極大（左減右增為極小，左增右減為極大） 三、深化概念
導數為0的點一定是極值點嗎？ 探究發現：判斷函數f(x)=x3有無極值。 解：因為f’(x)=3x2 令f’(x)=0，解得x=0 當x>0時，f’(x)>0 當x<0時，f’(x)>0 又因為f(x)是連續函數，
所以f(x)在R上單調遞增，沒有極值。
導數為0的點不一定是函數的極值點.，函數在某點的導數值為零是取得極值的必要條件，而非充分條件。
問題：函數在某點取得極值的充分條件是什么？
①f’(a)=0
②點a附近左右兩側導數符號相異 四、應用舉例
例1 求函數31
443
fxxx的極值
師生活動：學生思考交流，教師引導學生從極值的定義出發考慮解決問題的思路，教師板演解題過程，真正起到示范作用。
解:∵31
443
fxxx∴'fx=x2-4=(x-2)(x+2)
令'fx=0,解得x=2,或x=-2. 下面分兩種情況討論:
（1）當'fx＞0,即x＞2,或x＜-2時; （2）當'fx＜0,即-2＜x＜2時.
當x變化時, 'fx,f(x)的變化情況如下表:
4
x (-∞,-2)
-2 (-2,2) 2 (2,+∞) 'fx +
0
_
0
+
f(x)
單調遞增
283
單調遞減 43
單調遞增
因此,當x=-2時,f(x)有極大值,且極大值為f(-2)=
28
3
;當x=2時,f(x)有極小值,且極小值為f(2)= 4
3
函數31
443
fxxx的圖象如右圖:
點評：此函數的導函數為學生熟悉的二次函數，可以引導學生畫出導函數的簡圖，由導函數的圖象直接讀出'fx在某個區間的正負，真正達到以形助數，以數輔形。
變式訓練 ： f(x)=6+12x-x3
（用投影展示學生的作品，讓學生發現錯誤與漏洞，教師集體糾錯，并給予積極的評介，）
設計意圖：深化三次項系數為負的三次函數的極值的求法。 （備選例題）例2 求函數1
fxxx
的極值。 師生活動：讓學生觀察函數結構特征，嘗試完成，教師適當啟發誘導。 學情預設：學生可能忘記函數的定義域, 解題過程不夠完善。
解：∵1fxxx∴'
fx=222111xfxxx2
11xxx
令'fx=0,解得x=-1,或x=1. 因為2x＞0，所以
（1） 當x＞1,或x＜-1時; 'fx＞0。 （2） 當-1＜x＜0或0＜x＜1時，'fx＜0。 當x變化時, 'fx,f(x)的變化情況如下表:
3
1443
fxxx
5
x (-∞,-1) -1 (-1,0) (0,1) 1 (1,+∞) f’(x) + 0 -
-
0 + f(x)
單調遞增
極大值
單調遞減 單調遞減
極小值
單調遞增
因此,當x=-1時,f(x)有極大值,且極大值為f(-1)= -2 ;當x=1時,f(x)有極小值,且極小值為f(1)=2
多媒體設計：解題過程用幻燈片打出，節約課堂時間，增大課堂容量，學生對照自己的解題過程自查自糾，用多媒體畫出函數1
fxxx
的圖象， 設計意圖：讓學生跳一跳，夠得著，此函數為分式函數，等價轉換后仍然是判別二次三項式的正負，同時，這道例題的極小值正好大于極大值，進一步說明極值反映的是函數的局部性質。
問題：通過以上例習題的解答，請同學們歸納總結求函數xfy的極值的步驟： （教師引導學生歸納概括）
一般地，求函數xfy的極值的方法是： （一） 確定函數的定義域
（二） 解方程f `(x)=0，當00'xf時；
（1）如果在0x附近的左側xf'＞0，右側xf'＜0，那么0xf是極大值 （2）如果在0x附近的左側xf'＜0，右側xf'＞0，那么0xf是極小值 （3）如果在0x附近的左右兩側xf'的符號不變，那么0x不是xfy的極值點。 六 歸納總結
1．通過本節課的學習，你學到了哪些數學知識？
2 從極值概念的形成到求函數的極值，你體會了哪些數學方法和數學思想？ 師生活動：學生發言，互相補充，教師點評完善。 七 作業設計：
必做：P32 4 5 ① ④
選做：補充題：1 已知函數3fxaxbxc ，其導函數'fx圖象如圖，則函數xf 極小值是（ ）
A abc B 84abc
6
0
2
1
x
y
C 32ab D c 答案：D
2 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的極大值為6，那么a等于( ) (A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1
3 已知函數323fxaxbxx在1x處取得極值。
（1） 求a,b的值。
（2） 討論1f和1f是函數xf的極大值還是極小值。
八 板書設計
1.3.2 函數的極值與導數
函數的極值的定義 例1的板演 求函數xfy的極值的步驟 口訣：
九 設計感想：
本節的教學內容是函數的極值與導數,有了上節課導數的單調性作鋪墊,借助函數圖形的直觀性探索歸納出導數的極值定義,利用定義求函數的極值. 本節課始終以學生為主體，教師為主導，觀察分析，合作交流，探究發現，歸納總結.注重概念形成的過程，注重求函數極值方法的訓練，突出重點，又很好的突破了難點，例習題的選取有梯度，有廣度，注重數形結合等數學思想的滲透，注重學生思維品質的訓練，培養了學生探究意識和成功意識，自主精神和合作精神，，本節課的設計是面向全體，因材施教，能夠使不同層次的學生在本節課都有所獲。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
