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視頻簡介：

視頻標簽：函數的極值,與導數

視頻課題：高中數學人教A版選修2-2第一章1.3.2函數的極值與導數-天津市優課

《函數的極值與導數》教學設計
教材:   人教A版·普通高中課程標準實驗教科書·數學·選修2-2
一、       教學內容解析
1、教材分析
《函數的極值與導數》是人教A版選修2-2第一章《導數及其應用》§1.3.2的內容，本節課為第一課時。
微積分學是人類思維的偉大成果之一，它開創了向近代數學過渡的新時期，為研究變量和函數提供了重要的方法。導數是微積分的核心概念之一，有極其豐富的實際背景和廣泛的應用。函數的極值與導數是整個中學數學對函數研究的進一步深化。在此之前學生已經掌握了導數的基本概念，初步具備了運用導數研究函數的能力，這為《函數的最值與導數》奠定了堅實的基礎，具有承上啟下的作用。本節課用導數的方法來研究函數的性質，是對函數研究的深化與提升。
同時本節教材是貫徹實施素質教育，充分體現新課標精神，培養學生探究能力很好的教學載體，有利于培養學生用觀察、比較、分析、歸納等方法解決一些實際問題。
2、教學目標
（1）知識目標：
①掌握函數極值的定義,了解可導函數極值點的必要條件和充分條件；
②掌握利用導數求不超過三次多項式函數極值的一般方法；
③通過對比原函數的增減和導函數的正負，利用函數的圖像，給函數的極值以直觀的驗證。
（2）能力目標：
①會從幾何圖形中直觀理解函數的極值與其導數的關系，增強學生的數形結合能力，提升其思維水平；
②培養學生分析和解決問題的能力，能綜合運用所學的數學知識、思想和方法解決相關的數學問題。
（3）情感態度與價值觀：通過對函數極值的研究，提高學生分析和解決問題的能力；培養學生嚴謹的學習態度，體會用導數方法研究函數性質的有效性；培養學生大膽創新、勇于探索、互相合作的精神；同時也發展其邏輯思維能力，并培養辯證唯物主義觀點。
3、重點、難點的確定及依據
    教學經驗使我認識到，學生對函數在某點取得極值的必要條件和充分條件的把握有一定的困難。因此，在教學過程中我把該知識點作為難點講解。根據教學大綱及高考的要求，結合學生現有的知識水平和認知能力，我把利用導數求不超過三次的多項式函數極值的一般方法作為本節課的重點。通過學生觀察圖像特征、自主探究、小組合作等形式來突破難點，并總結歸納出求極值的方法與步驟，了解極值存在的充分條件和必要條件。
二、學情分析
   學生已經初步學習了運用導數去研究函數，但還不夠深入，因此在學習上還有一定困難。本節課能進一步提高學生運用導數研究函數的能力,讓學生體會導數的工具作用。
三、教法與學法
1、教法分析：
本節課重在突出“以學生為主體”的教學理念，以問題探究的形式，遵循學生的認知規律，自主學習與合作探究相結合的模式，教師在整堂課中引導學生探索函數的極值與導數的關系。對于學習效果，采用問題和練習的形式予以檢查和糾正。
2、學法指導：
教學中始終本著“以學生為主體”的教學思想，在整個教學活動中，不斷激發學生的學習興趣，讓學生真正地參與到知識的生成過程中。主要從以下幾個方面進行指導：
（1）引導學生觀察圖像，產生認知沖突。（極值好像是最值，又不是最值。）
（2）激發探究欲望。學生產生疑問之后，指導學生思考怎樣解決問題，培養學生分析問題和解決問題的能力。
（3）指導合作探究，小組討論并得出結論。
四、教學過程

教學過程

教學內容

設計意圖

自主學習

課前將學案發給學生讓學生明確目標，有的放矢進行預習，解答相關問題。通過檢查學案，了解學生自主學習的情況，設計導學思路與措施。

培養學生自主學習能力，為學生的終身學習奠定基礎。

合作探究

對學生解決不了的問題，重點講解思路與方法，進行引導。

分組討論

小組匯報

教師點撥

北京奧運會中國跳水隊獲得全部8枚金牌中的7枚。
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1高臺跳水例子的研究：
(1)當t<a時h(t)的單調性___________

(2)當t>a時h(t)的單調性
___________
(3)當t=_______時運動員
距水面高度最大，h(t)在此點的
導數是_______
(4)導數的符號有什么變化規律？

2觀察下圖中的曲線

(1)觀察圖（1）中 a點的函數值f(a)，比較它與其臨近點的函數值
(2)觀察圖（2）中 b點的函數值f(b),比較它與其臨近點的函數值

3觀察函數                  的圖象，

思考：
函數y＝f(x)在點x＝0，x＝2處的
函數值，與它們附近所有各點處
的函數值，比較有什么特點?


定義：一般地，設函數f(x)在點a、b附近有定義，
如果對a附近的所有的點,都有f(x)﹤f (a) ,我們
就說f (a)是函數f(x)的一個極大值,
            記作: y_極大值= f (a)；
    如果對b附近的所有的點,都有f(x)﹥f (b)，
我們就說f (b)是函數f(x)的一個極小值，
           記作: y_極小值=f (b).
極大值與極小值統稱為極值.
點a叫做函數y=f(x)的極大值點.
點b叫做函數y=f(x)的極小值點

激發民族自豪感，培養愛國主義精神.激發學生的求知欲。

用高臺跳水的例子發展學生的數學應用意識，發揮學生的主體作用。

用信息技術輔助教學，突破難點。

學生經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比的思維過程.

引導學生創新與實踐,培養學生大膽創新、勇于探索、互相合作的精神。

理論依據：建構主義理論

根據探究，學生總結極值點、極值的定義。培養學生的歸納能力。

教師點撥

1、極值是函數的局部性質,反映了函數值在某一點附近的大小變化情況;
2、極值點是自變量的某個值，極值指的是其函數值;
3、函數的極值與導數的關系:
(1)如果f¢(x) =0, 并且在x₀ 附近的左側
f¢(x) >0，右側f¢(x) <0, 那么f(x₀ )是極大值。
(2)如果f¢(x) =0, 并且在x₀ 附近的左側 f¢(x) <0 ，右側f¢(x) >0, 那么f(x₀ )是極小值。

導數左正右負為極大，右正左負為極小
函數左增右減為極大，右增左減為極小

老師點撥，學生構建知識體系，鞏固完善、升華所學。

理論依據：建構主義理論

學生活動

函數y=f(x)的導數y^'與函數值和極值之間的關系為( )
A、導數y^'由負變正,則函數y由減變為增,且有極大值
B、導數y^'由負變正,則函數y由增變為減,且有極大值
C、導數y^'由正變負,則函數y由增變為減,且有極小值
D、導數y^'由正變負,則函數y由增變為減,且有極大值

及時反饋

鞏固提高

教師板演

完成練習

分組討論

學生總結

自主完成

課堂小結
學生歸納

例題：求函數

的極值。
解： f¢(x)=x²－4=(x+2)(x－2)
令 f¢(x)=0，解得x₁=2，x₂=－2
下面分兩種情況討論：
(1) 當f¢(x) >0，即x>2,或<-2
(2) 當 f¢(x)<0，即-2<x<2
當x變化時， f¢(x) ，f(x) 的變化情況如下表：

x	(-∞,-2)	-2	(-2,2)	2	(2,+∞)
f¢(x)	+	0	－	0	+
f(x)	單調遞增 ↗		單調遞減↘		單調遞增↗

∴當x=－2時， 有極大值，并且極大值為

當x=2時， 有極小值, 并且極小值為
函數 的圖像如圖所示
030

解題方法總結：
求函數y=f(x)極值的方法：
(1)求導 ；
(2)求極值點 ；
(3)討論單調性 ；
(4)列表；
(5)寫出極值.
求下列函數的極值。

漸入佳境篇
拓展(1)導數為0的點一定是函數的極值點嗎？
如x =0是否為函數f(x)=x³的極值點?

若 x₀ 是極值，則f¢(x₀) =0。
反之，若f¢(x₀) =0，則x₀ 不一定是極值

y=f(x)在一點的導數為0是函數y=f(x)在這點取得極值的必要條件。
函數y=f(x)在點x₀取極值的充分條件是：
①函數在點x₀處的導數值為0；
②在該點附近的左右兩側導數異號。

拓展(2)極大值一定比極小值大嗎？
不一定,極值是函數的局部性概念。

拓展(3)（天津高考題)函數的定義域為開區間
導函數在 內的圖像如圖所示，則函數
在開區間 內有（）個極小值點。

注意：數形結合以及原函數與導函數圖像的區別
課堂練習：
1. 函數在 時有極值10，則a，b的值為（）
A、或
B、
C、
D、 以上都不對
2函數f(x)=x³+3ax²+3(a+2)x+3既有極大值，又有極小值，則a的取值范圍為                        。

這節課你有什么收獲?

鞏固新知識，通過對典型例題的板演，讓學生明確求極值的方法，突出本節課的重點，培養學生規范的表達能力，形成嚴謹的學習態度。

通過作圖，使學生掌握數形結合思想及作圖的一般步驟。

學生總結解題方法，培養歸納能力。

變式訓練，突出重點，使學生由感性認識上升到理性認識。

通過拓展(1)，突出判斷極值點的條件，從而突破難點。

通過拓展(2)幫助學生理解極值是函數的局部性質。

拓展(3)進一步讓學生區分如何用導函數的圖像判斷函數的極值，從而突出重點、突破難點。

分層練習，讓各層面學生都能學有所獲，不斷增強學習的信心，最終獲得成功。
理論依據：斯騰伯格的成功智力理論

板書設計

函數的導數與極值

1、定義：
極大值與極小值
極值點
極值

2、典型例題求函數…的極值。
解： f¢(x) =x²－4
=(x+2)(x－2) …
令 f¢(x) =0，解x₁=2，x₂=－2
下面分兩種情況討論：…

3、求極值的步驟：
(1)求導；
(2)求極值點；
(3)討論單調性；
(4)列表；
(5)求出極值.

設計意圖：老師板書，給學生留下的印象深刻，幫助學生構建清晰的知識體系。

教學反思:
    本節的教學內容是導數的極值,有了上節課導數的單調性作鋪墊,借助函數圖形的直觀性探索歸納出導數的極值定義,利用定義求函數的極值.教學反饋中主要是書寫格式存在著問題,為了統一要求,主張用列表的方式表示,剛開始學生都不愿接受這種格式,但隨著幾道例題與練習題的展示,學生體會到列表方式的簡便,同時能夠快速判斷導數的正負.我要求學生盡量把導數因式分解,在解答過程中學生還暴露出對復雜函數的求導的準確率比較低以及不求函數的定義域.本節課的難點是函數在某點取得極值的必要條件與充分條件,為了說明這一點,多舉幾個例題是很有必要的.極值的過程板書仍不規范,看樣子這些方面還要不斷加強訓練.
導數是研究函數單調性,極值和最值最佳的重要工具,得出的一般結論具有科學方法論價值,廣泛運用在討論函數圖象的變化趨勢及證明不等式等方面.導數是中學數學的新增內容,是高等數學的基礎內容,它在中學數學教材中的出現,使中學數學與大學數學之間又多了一個無可爭辯的銜接點.
    我們常說：“現代的文盲不是不識字的人，而是沒有掌握學習方法的人”，因而在學習中要特別重視學法的學習總結。轉變學習方式，倡導主動參與、樂于探究、勤于動手，培養搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力 ，從而順利完成學習目標,最終實現我們上大學的理想 。
作業設計
1.
$C:\Users\admin\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.IE5\F19FXVLS\G4.TIF$
函數f(x)的定義域為R，導函數f′(x)的圖象如圖，則函數f(x)(　　)
A．無極大值點，有四個極小值點
B．有三個極大值點，兩個極小值點
C．有兩個極大值點，兩個極小值點
D．有四個極大值點，無極小值點
2．已知函數f(x)，x∈R，且在x＝1處，f(x)存在極小值，則(　　)
A．當x∈(－∞，1)時，f′(x)>0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0
B．當x∈(－∞，1)時，f′(x)>0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0
C．當x∈(－∞，1)時，f′(x)<0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0
D．當x∈(－∞，1)時，f′(x)<0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0
3．函數f(x)＝x＋在x>0時有(　　)
A．極小值B．極大值C．既有極大值又有極小值D．極值不存在
4．函數f(x)的定義域為(a，b)，導函數f′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區間(a，b)內有極小值點(　　)
$C:\Users\admin\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.IE5\F19FXVLS\G5.TIF$
A．1個        B．2個        C．3個        D．4個
5．函數f(x)＝x³－3bx＋3b在(0,1)內有且只有一個極小值，則(　　)
A．0<b<1        B．b<1 C．b>0          D．b<
6．已知f(x)＝x³＋ax²＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為(　　)
A．－1<a<2              B．－3<a<2
C．a<－1或a>2          D．a<－3或a>6
7．函數f(x)＝ax³＋bx在x＝1處有極值－2，則a、b的值分別為________、________.
8．函數f(x)＝x³－3a²x＋a(a>0)的極大值為正數，極小值為負數，則a的取值范圍是________．
9求下列函數的極值．f(x)＝x³－12x；
$C:\Users\admin\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.IE5\F19FXVLS\左括.TIF$ 能力提升 $C:\Users\admin\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.IE5\F19FXVLS\右括.TIF$
10．已知函數f(x)＝xe^－^x(x∈R)，求函數f(x)的單調區間和極值．

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