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視頻標簽：函數的極值,與導數
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版選修2-2第一章1.3.2函數的極值與導數-新
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高中數學人教A版選修2-2第一章1.3.2函數的極值與導數-新 疆 - 昌吉
課題：1.3.2函數的極值與導數教學設計
〖教材分析〗
本節課是人教A版數學選修2-2教材中導數應用的第二節，通過第一節利用導數判斷函數的單調性的學習，學生已經了解了導數在函數中的初步應用，為了培養學生運用導數的基本思想去分析和解決實際問題的能力，本節課將繼續學習函數的極值與導數的關系，讓學生了解極值點、極值的概念后探索取得極值的條件，并在此基礎上重點學會如何求函數的極值. 是上節內容的延續和深化，也為下節利用導數知識求函數的最值做了鋪墊，在本章起著承上啟下的作用。
〖教學目標〗
1、 理解極大值、極小值的概念，體會極值是函數的局部性質 2、 掌握利用導數求函數極值的方法以及求可導函數的極值的步驟 3、 經歷導函數的零點與原函數的極值點并不等價的探究過程，并總結用導數研究函數極值的方法與注意事項
4、感受導數在研究函數性質中一般性和有效性，會借助導數去分析和思考問題，培養導數應用的意識
5、培養學生的探索精神和嚴謹的科學態度
〖學情分析〗
學生進入高二下，學習緊迫感比高一強烈，理科學生動手動腦能力還是較強的，學生求知欲與表現欲也很強，大部分同學能很好做到課前預習后再聽課，課上積極思考并踴躍發言，但思維水平參差不齊，所以備課上既要考慮到薄弱同學的理解與接受，又要考慮到其他同學的視野的拓展，因此問題的鋪設很關鍵. 學生在學習本節知識時，最容易出錯的地方是將導函數的零點與原函數的極值點當作一回事。
〖教學重難點〗
重點：函數極值點的判斷方法和求解步驟
難點：導函數的零點是函數極值點的必要不充分條件的理解
〖教具教法〗：多媒體課件，問題引導、探究發現式教學
〖課堂模式〗 設計學案，借助多媒體輔助教學，增強課堂教學的生動性與直觀性，打
造高效課堂。
〖教學基本流程〗
1. 復習引入，繼續在高臺跳水問題中提出新的思考并導入新課 2. 給出極值的定義，分析函數極值點處導數的特征
3.從多個角度探究函數極值點與導函數零點的關系，并會用導數方法求函數的極值點 4.歸納用導數求極值點的一般步驟，總結求解過程中的注意事項 5.通過練習，進一步掌握極值的概念和求解方法 6.課堂小結，布置作業
〖教學過程〗 一、復習引入
[師]：通過上節課的學習，導數和函數單調性的關系是什么？ [生答]： 函數在x的定義域內的某個開區間內可導， 若在這個區間上是增函數； 若在這個區間上是減函數.
【設計意圖】回憶函數的單調性與導數的關系，同時也為本節課的學習做好鋪墊.
二、導入新課
[師]：高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系為.
此函數是二次函數，當時，運動員距水面的高度最大. 問：（1）函數在此點處的導數值為多少？ （2）此點附近區域內的圖象有什么特點？ （3）導數的符號有什么變化規律？
[生答]：（1）函數h（t）在此點處的導數值為0； （2）此點左邊是增函數，右邊是減函數； （3）當x從小到大經過此點時，h’（x）的符號先正后負
【設計意圖】用高臺跳水的例子，與上節課形成呼應，引導學生提出和思考新的問題，發展學生的數學應用意識
三、共探新知
〖探究一〗極值的定義
[師]★問題1：對于這一事例是這樣，更為一般的函數，是否也有同樣的性質呢？
〖引導思考1〗如圖1，函數在點的函數值與它附近區域內的點的函數值之間有什么關系？在點處的導數值為多少？它附近區域導數的符號有什么變化規律？
[生]答：函數y=f（x）在a點的函數值比它在點a附近區域內其他點的函數值都小，f’（a）=0，而且在點a附近左側f’（x）<0，在點a附近右側f’（x）>0. 〖引導思考2〗函數在點的函數值與它附近區域內的點的函數值之間有什么關系？在點處的導數值為多少？它附近區域導數的符號有什么變化規律？
[生]答：函數y=f（x）在b點的函數值比它在點b附近區域內其他點的函數值都大，f’（b）=0，而且在點b附近左側f’（x）>0，在點a附近右側f’（x）<0.
四、形成概念
〖引導思考3〗如圖2，圖中、、、、、等點中哪些點與圖1中點有相同的特征？ c、e、g ；哪些點又與圖1中點有相同的特征？ d、f、h .
〖引導思考4〗圖1中的點是函數的最小值點嗎？為什么？ [生]：不是，沒有最小值.
[師]：如果在點附近很小的一個區間內，點a是函數的最小值點嗎? [師生共同思考，形成新的概念]：
圖1中，把點叫做函數的極小值點，叫做函數的極小值；同理，把點叫做函數的極大值點， f(b) 叫做函數的極大值. 注：極小值點、極大值點統稱為 極值點 ，極大值與極小值統稱為 極值 . 極值點是橫坐標，極值是縱坐標.
【設計意圖】用兩個例子使學生經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比的思維過程，理解從特殊到一般的數學思想和歸納的數學方法. 兩種情況分析一種，另一種鼓勵學生用類比的方法自己歸納，通過思考與討論，知道極值刻畫的是函數的局部性質，進一步理解極值點和極值的含義.
五、深化概念
師問題2：上述函數在極點處的導數值有什么特征？ 生答：導數值為0
引導思考5：所有函數的極值點處的導數都是0嗎？ 生答：不一定（舉例y=|x|），注：高中階段一般都是尋求可導函數的極值點
師問題3：導數值為0的點一定是函數的極值點嗎？為什么？ 生答：不一定（舉例y=x3）
對于可導函數，是為極值點的 必要不充分 條件.
【設計意圖】通過層層追問，引導學生從正反方向辨析極值的概念，突破難點，強化重點，同時培養學生的觀察、概括及表達能力，幫助學生進一步了解極值點和極值的含義.
〖探究二〗利用導數判別函數的極大（小）值
師問題4：若函數在處取得極值，如何知道是極大值點還是極小值點？ 〖引導思考6〗極大值點附近區域的左右兩邊圖象有什么特征？附近區域導數的符號有什么變化規律？
師生共同歸納：
一般地，當函數f(x)在點x0處光滑連續不斷時，判別f(x0)是極大（小）值的方法是： 解方程，當時，
（1）如果在x0附近的左側f’（x）>0，右側f’（x）<0，那么f(x0)是極大值； （2）如果在x0附近的左側f’（x）<0，右側f’（x）>0，那么，f(x0)是極小值.
設計意圖：通過教師的點撥，幫助學生構建知識體系，鞏固、完善、深化對知識、規律內涵的認識.
體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性.
六、范例解析
例一： 求函數
3
1()443fxxx
的極值.
點評：求可導函數f (x)的極值的步驟：
⑴ 求導函數f (x)；
⑵ 求方程 f (x)＝0在函數f (x)的定義域內的根； ⑶ 檢查f (x)在方程根左右兩側值的符號，
如果左正右負，那么f (x)在這個根處取得極大值； 如果左負右正，那么f (x)在這個根處取得極小值．
【設計意圖】 通過對典型例題的板演，讓學生明確求極值的方法，突出本節課的重點.培養學生規范的表達能力，形成嚴謹的科學態度.
練習：下面幾種說法中正確的是__________（填寫正確選項序號）
① 點（
282,
3）函數
3
1()443fxxx
的極大值點
② 函數的極大、極小值是唯一確定的 ③ 函數的極大值一定大于它的極小值
④ 函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點
⑤ 函數是連續不斷的光滑曲線，且有兩個極大值點，則在兩個極大值點之間一定有一個極小值點
七、練一練
1、求下列函數的極值
（1）；3
()612fxxx（2）.()lnfxxx
2、若函數
2()1xa
fxx
在1x處取得極值，則a__________.
設計意圖：通過練習，進一步突出重點，使學生從感性認識升華到理性認識.
八、小結提升
[師問生答，師生共同回憶]
1、口答：極值點是如何定義的？如何求極大、極小值點？
2、可導函數的極值點一定是導函數的_______？反之也成立嗎？
3、你還可以通過其他方法判斷導函數的零點是否為極（大、小）值點嗎？（這一問是否太難了？）
答：對導函數在零點處進行二次求導，若大于0，則是極小值；若小于0，則是極大值.(此條件不是充要的)
（帶著此問題預習下一課時）極值與最值有關系嗎？
板書設計：
課題：函數的極值與導數
課后反思：
本節課內容介紹極值的概念，學會求函數的極值，課時1課時.因為是初次接觸極值概念，所以本節課重在極值概念的理解滲透，以及函數的極值點與導函數零點并不等價關系的探析，因此并沒有涉及各種類型函數極值的求解以及過多強調極值的應用，這些內容將安排在最值概念講解完后再深入學習。
我們目前研究的基本都是可導函數的極值，因此求極值時第一步先求導函數的零點，再辨別此零點是否是原函數的極值點，或是極大極小值點.導函數的零點只是它成為極值點的必要條件，還必須具備“穿過x軸”這一特征，所以必須從零點的左右附近進行考量，這也是本節課的重點及難點所在。
對于這個課題，最糾結的是本課如何引入？本設計選用開門見山式的復習導入，目的是為了直指問題核心，同時又能跟上節課“用導數研究函數的單調性”緊密結合，一氣呵成. 前面的問題1到引導思考4的安排尊重了教材的呈現方式，問題2與3的安排把教材的思考提前了，目的在于不打斷思路，對概念進行正反辨析，加強概念深層次的理解，同時也引出對極大、極小值具體判斷的深入——由圖象特征再到導數規律.之后用例一鞏固新知，并歸納求極值的一般步驟.例二、例三的安排是對本節課難點的突破，引導學生進一步理解為何導函數零點只是原函數的極值點的必要條件，并在導函數的圖象上得到判別極值點的另一方法——二次求導.此方法在教材上沒有出現，理解起來也有一定的難度。
§1.3.2《函數的極值與導數》學案
2017年4月17日
學習目標
1.理解極大值、極小值的概念；
2.能夠運用導數知識來求函數的極值； 3.掌握求可導函數的極值的步驟. 重點:利用導數知識求函數的極值
難點:對極值概念的理解及求可導函數的極值的步驟 學習過程
【課前準備】
1、設函數)(xfy在某個區間(a,b)，若0)('xf)(xf在
(a,b)上為_____函數；若0)('xf時，)(xf在(a,b)上
為_____函數.
2、函數3
)(xxf的單調區間為___ ，畫出簡圖.
3、函數)(xf =2x3-6x2+7的單調增區間為_____單調減區間為_____ 畫出)(xf的草圖.
【新課導學】觀察圖形，思考以下問題:
(1)函數)(xfy在x= 0、2點的函數值與它們附近的函數值相比較有什么關系?
(2)函數)(xfy在x= 0、2點的導數值是多少?
(3)在x= 0、2點兩側：)(xfy導數值的符號有什么規律？
極值的定義（誦讀、畫出關鍵詞并嘗試用自己的話描述極值的意思）
如果對于x=a附近的所有點都有f(x)<f(a), ,在x=a附近
的左側 ，右側 ，就稱 f(a)是函數f(x)的一個極大值. 叫極大值點；
如果對于b附近的所有點都有f(x)>f(b), ,在x=b附近的左側 ，右側 ，就稱 f(b)是函數f(x)的一個極小值.
吉木薩爾縣一中高二數學（理科）選修2-2 學案編寫：蒲莉 學案審訂：高二數學備課組
第 2 頁 共 3 頁
叫極小值點；
極大值與極小值統稱為極值, 極大值點與極小值點統稱為極值點。 極值反映函數在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數的局部性質。
【探究任務一】
1、下圖是函數)(xfy的圖象，則極大值點是 ，極小值點是 .
（第1題） （第2題）
2、上圖是導函數)(xfy的圖象，函數y=f(x)的極大值點是_ _,極小值點是 .
小結：在原函數圖象上怎么找極值點？在導函數圖象上怎么找極值點？
提示：若x0是)(xf的極值點，則在x0兩側)(xfy的單調性 ,)(xf值的符號
【典型例題】 例題1：求函數443
1)(3
xxxf的極值. 小結 求函數)(xfy極值的解題步驟
【鞏固練習】
（2） f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
(3)f(x)＝ln x
x
.
【探究任務二】 思考： 1.當導數0)('0xf時，0x是否一定為y=)(xf 的極值點？
2.由第1問可知0)('0xf是0x為y=)(xf的極值點的________________條件？ 3.思考：0x需要滿足哪些條件才能成為y=)(xf的極值點呢？
【典型例題】 例
3()fxx有極值點嗎？
的值分別為
，求極值時有在函數baxbaxxxf,21)(.23
;27)( ）1（3
xxxf
吉木薩爾縣一中高二數學（理科）選修2-2 學案編寫：蒲莉 學案審訂：高二數學備課組
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【課堂小結】 本節課你學到了什么？有怎樣的收獲？
【課后作業 】必做題：課本32頁第4題、第5題思考題：1函數的極是函數的最值嗎？它們有何聯系？（預習下一節）
【課堂訓練】
1.函數y=f(x)的導數y′與函數值和極值之間的關系 為 ( )
A.導數y′由負變正,則函數y由減變為增,且有極大值 B.導數y′由負變正,則函數y由增變為減,且有極大值 C.導數y′由正變負,則函數y由增變為減,且有極小值 D.導數y′由正變負,則函數y由增變為減,且有極大值
2.函數f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有極大值，又有極小值，則a的取值范圍為
3.若函數
322
()2fxxcxcx在2x處有極大值，求常數c的值
4. 函數)(xf的定義域為開區間),(ba，導函數)(xf在),(ba內的圖象如
圖所示， 則函數)(xf在開區間),(ba內有極小值點（ ）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5、求函數f(x)=3x-x3的極值
6、思考：已知函數f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1處取得極值, 求函數f（x）的解析式及單調區間。
7、已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有極大值和極小值，求實數a的范圍。
§1.3.2《函數的極值與導數》學案
2017年4月17日
學習目標
1.理解極大值、極小值的概念；
2.能夠運用導數知識來求函數的極值；
3.掌握求可導函數的極值的步驟.
重點:利用導數知識求函數的極值
難點:對極值概念的理解及求可導函數的極值的步驟
學習過程
【課前準備】
1、設函數
在某個區間(a,b)，若
在(a,b)上為_____函數；若
時，在(a,b)上為_____函數.
2、函數
的單調區間為___ ，畫出簡圖.
3、函數
=2x3-6x2+7的單調增區間為_____單調減區間為_____ 畫出的草圖.
【新課導學】觀察圖形，思考以下問題:
(1)函數在x= 0、2點的函數值與它們附近的函數值相比較有什么關系?
(2)函數在x= 0、2點的導數值是多少?
(3)在x= 0、2點兩側：導數值的符號有什么規律？
極值的定義（誦讀、畫出關鍵詞并嘗試用自己的話描述極值的意思）
如果對于x=a附近的所有點都有f(x)<f(a), ,在x=a附近的左側 ，右側 ，就稱 f(a)是函數f(x)的一個極大值. 叫極大值點；
如果對于b附近的所有點都有f(x)>f(b), ,在x=b附近的左側 ，右側 ，就稱 f(b)是函數f(x)的一個極小值. 叫極小值點；
極大值與極小值統稱為極值, 極大值點與極小值點統稱為極值點。
極值反映函數在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數的局部性質。
【探究任務一】
1、下圖是函數
的圖象，則極大值點是 ，極小值點是 .
（第1題） （第2題）
2、上圖是導函數
的圖象，函數y=f(x)的極大值點是_ _,極小值點是 .
小結：在原函數圖象上怎么找極值點？在導函數圖象上怎么找極值點？
提示：若x0是的極值點，則在x0兩側的單調性 ,
值的符號
【典型例題】
例題1：求函數
的極值. 小結 求函數極值的解題步驟
【鞏固練習】
（2） f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
(3)f(x)＝.
【探究任務二】 思考：
1.當導數
時，
是否一定為y= 的極值點？
2.由第1問可知是為y=的極值點的________________條件？
3.思考：
需要滿足哪些條件才能成為y=的極值點呢？
【典型例題】 例
【課堂小結】 本節課你學到了什么？有怎樣的收獲？
【課后作業 】必做題：課本32頁第4題、第5題思考題：1函數的極是函數的最值嗎？它們有何聯系？（預習下一節）
【課堂訓練】
1.函數y=f(x)的導數y′與函數值和極值之間的關系
為 ( )
A.導數y′由負變正,則函數y由減變為增,且有極大值
B.導數y′由負變正,則函數y由增變為減,且有極大值
C.導數y′由正變負,則函數y由增變為減,且有極小值
D.導數y′由正變負,則函數y由增變為減,且有極大值
2.函數f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有極大值，又有極小值，則a的取值范圍為
3.若函數
在
處有極大值，求常數c的值
4. 函數的定義域為開區間
，導函數在內的圖象如圖所示， 則函數在開區間內有極小值點（ ）A．
個 B．
個 C．
個 D．
個
5、求函數f(x)=3x-x3的極值
6、思考：已知函數f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1處取得極值,
求函數f（x）的解析式及單調區間。
7、已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有極大值和極小值，求實數a的范圍。
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