視頻簡介：
視頻標簽：湖北好課堂,方程的根,函數的零點
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評《方程的根與函數的零點》襄陽
教學設計、課堂實錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評《方程的根與函數的零點》襄陽
3.1.1方程的根與函數的零點
（湖北省襄陽市第四中學 陳輝）
一、教學目標
知識與技能 |
1.結合方程根的幾何意義，理解函數零點的概念；
2.結合零點定義的探究，掌握方程的實根與其相應函數零點之間的等價關系；
3.結合幾類基本初等函數的圖象特征，掌握判斷函數的零點個數和所在區間的方法。 |
過程與方法 |
1.通過化歸與轉化思想的引導，培養學生從已有認知結構出發，尋求解決問題的方法的習慣；
2.通過數形結合思想的滲透，培養學生主動應用數學思想的意識；
3.引導學生深入探究得出判斷函數的零點個數和所在區間的方法。 |
情感、態度與價值觀 |
1.讓學生體驗化歸與轉化、數形結合、函數與方程這三大數學思想在解決數學問題時的意義與價值；
2.培養學生鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣；
3.使學生感受探究式學習中探索發現的樂趣與成就感。 |
二、教學重點與難點
|
教學重點 |
體會函數的零點與方程的根之間的聯系，掌握零點存在的判定條件 |
|
教學難點 |
理解方程的根與函數零點的關系，探究發現零點存在的判定條件. |
三、教學的方法與手段
|
授課類型：新 授 課 |
教學方法：啟發式教學、探究式學習 |
|
教學課件：Powerpoint課件 |
多媒體設備：計算機等 |
四、教學過程
【環節一：創設情境，提出課題】
在初中，我們已經學習了以一元一次方程和一元二次方程為主的代數方程，我們一起通過下列問題回顧它們是如何判定根的存在性的?
問題一:判斷下列方程是否存在實根
1、
2、
3、
（
板書方程3的各類情況）
(設計意圖:一次方程可直接求,二次方程有公式法Δ;實質均為代數法)
思考:方程
是否存在實根?
(設計意圖:引起認知沖突,認識學習新知的必要性) （
板書課題）。
【環節二：設置問題，探究聯系】
思考:方程是否存在實根?
代數法受挫后,重點分析方程3的各類情況與函數圖象的關系
.(尋找數與形的結合點)
（
板書方程3的各類情況所對應的函數圖象,由學生歸納出一般情形并填寫下表）
|
判別式Δ |
Δ> 0 |
Δ= 0 |
Δ< 0 |
方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根 |
兩個不相等的
實數根x1 、x2 |
有兩個相等的
實數根x1 = x2 |
無實數根 |
函數y=ax2 +bx+c
(a>0)的圖象 |
|
|
|
|
函數的圖象與x軸的公共點 |
|
|
|
學生總結出結論：一元二次方程的實數根就是相應二次函數圖象與
x軸公共點的橫坐標．
【環節三：形成概念，感悟思想】
問題二:其它任意方程與對應函數之間也有同樣結論嗎？
(設計意圖:由具體到抽象,由特殊到一般,類比、
歸納、
猜想抽象出概念和等價關系)
1、函數零點的概念：對于函數
，把使
成立的實數
叫做函數
的零點．（
板書概念）
思考:對于零點,你是如何理解的?如何求函數的零點?
(設計意圖:學生主動構建概念并理解實質)
判斷(-1,0),(3,0)是否為函數f(x)=x2-2x-3的零點?
(設計意圖:及時反饋，
鞏固新知)
2、函數與方程的聯系：函數
的零點就是方程實數根，亦即函數
的圖象與
軸交點的橫坐標．
即：
方程有實數根
函數的圖象與軸有交點函數有零點．（
板書等價關系）
【環節四：應用思想，合情猜想】
1、
議一議：方程是否存在實根?如何判斷?
(設計意圖:根據等價關系,應用思想轉化問題)
轉化為函數零點存在性問題后，此處要做兩手準備:
①移項轉化為兩個函數
和
的圖象問題
;②直接考慮函數圖象與
軸的交點狀況．
2、
視學生探究情況選擇下列某一方案：
①直接畫
的圖象,分析特點、大膽猜想; ②類比連續地過河問題，合情猜想．
【環節五：探索定理，解決問題】
定理探究：什么條件下,函數
在(a,b)一定存在零點?
師生共同猜想
f(a)f(b)<0的條件后,由學生自主探究條件是否充分、完備
?鼓勵學生暢所欲言,作出、考察各類函數反復驗證,逐步調整
．(給足時間,動手實踐,自主探索,合作交流)
歸納出
零點存在性定理的兩條件
“連續和異號”缺一不可．
零點存在性定理：
如果函數y=
f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有
f(a) ·
f(b)<0，那么，函數y=
f(x)在區間(a,b) 內有零點．即存在c∈(a,b)，使得
f(c)=0，這個c也就是方程
f(x)=0的根．（
板書條件、
結論）
【環節六：學以致用，鞏固新知】
練一練:
（ 1）判斷函數
f(x)=ex-x-3在區間[1,2]上是否存在零點.
（ 2）已知函數
f(x)的圖象是連續不斷的,且有如下對應關系:
|
x |
0 |
1 |
2 |
5 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
f(x) |
-140 |
-19 |
22 |
-95 |
-133 |
-68 |
85 |
350 |
你能找出存在零點的區間嗎？能確定函數零點的個數嗎?
(設計意圖:定理應用,鞏固深化)
【環節七：反思定理，深刻理解】
辨析1：如果函數y=f(x)在區間[a，b]上連續，且f(a)f(b)﹤0，那么函數y=f(x)在(a,b)上是否有唯一零點？
辨析2：如果函數y=f(x)在區間[a，b]上連續， f(a)f(b)﹥0,那么函數y=f(x)在區間(a，b)有無零點？
辨析3：以下命題對否？
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上f(a)f(b)﹤0，那么函數y=f(x)在(a,b)內有零點，即存在c∈ (a,b),使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根
(設計意圖:深度剖析,深刻理解)
【環節八：小結反思，埋下伏筆】
1、
小結與反思: 本節課你在數學知識上和思想方法上分別有何收獲?
作業
：課本P88 1（4）、2（2）（3）
2、
課后探究: 我們已經知道，函數的唯一零點在
（2，3）內，那么該如何進一步求此零點的值呢？
數學家華羅庚關于“數形結合”的經典論述:
數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。
數缺形時少直覺，形少數時難入微。
數形結合百般好，隔離分家萬事非。
切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離!
五、板書設計
一、零點
二、等價關系
|
方程的根與函數的零點
三、零點存在性定理
學生演板區域
|
與二次函數圖象的關系
學生演板區域 |
六、教學反思
教學設想與教學流程：
教學設想與反思：
本節課對“方程的根與函數的零點”的認識和探究，是從初中特殊的一次、二次方程與其相應的函數關系的具體認識出發，逐步過渡到高中一般的超越方程乃至更一般的任意方程與其相應函數關系的抽象研究,其學習平臺或背景是學生已經掌握了函數的概念、函數的性質以及基本初等函數(Ⅰ)等相關知識. “方程的根與函數的零點”一課的主要教學內容有函數的零點的定義和函數零點存在的判定方法(即零點存在性定理)，它不僅為后繼內容比如用二分法求方程的近似解等的學習打下基礎、做好鋪墊,而且從中學數學內容結構來看,本課的內容也可以看作是函數概念的一個子概念，是函數概念外延的一次擴充。給出函數零點概念的目的是把函數與方程聯系起來，用函數的觀點統領中學代數知識，把所有的中學代數問題都統一到函數的思想之下，從這個角度看本節課還應承載建立函數與方程數學思想的任務.而揭示方程與函數之間的本質聯系，正是中學數學重要的思想方法之一——“函數與方程思想”的理論基礎，用函數的觀點研究方程，本質上就是將局部的方程問題放在整體的函數中研究，將靜態的方程結果放在動態的函數過程中研究，這為今后進一步學習函數與不等式等其它知識的聯系奠定了堅實的基礎．它起到了承上啟下、承前啟后的作用，與整章、整冊綜合成一個整體.從研究方法而言，零點概念的形成和零點存在性定理的發現，符合從特殊到一般的認識規律，有利于培養學生的概括歸納能力，也為數形結合思想提供了廣闊的平臺．
我們知道，數學的學習過程是學生在原有認知基礎上的主動建構過程，學生是認知的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規律，盡可能地讓學生去經歷知識的形成與發展過程，為了更好地使不同層次的學生形成自己對本課題知識與方法的理解，結合本教材的特點，我試圖通過問題驅動思維，在思考中理解概念，在探究中發現定理，啟發、誘導學生逐步發現和認識方程的根與函數零點的關系, 掌握連續函數在某個區間上存在零點的判定方法, 初步形成用函數觀點處理問題的意識,因此設計了如下的教學過程:
一、
零點概念的建構(分下列三個環節)
（一）創設情境，引出課題
問題一：判斷下列方程是否存在實根
1、
2、
3、
問題一以學生熟悉的一次方程、二次方程為探究的出發點，從代數的角度很容易得出它們實根的存在情況，然后討論了實根存在的三種情況，使學生認識到判斷實根存在性常用的代數方法,即一次方程直接求、二次方程用公式法(
Δ判定).再由學生熟悉的方程推進到一個本身不能用代數法求解或判斷的超越方程ln
x＋2
x－6＝0，造成學生的認知沖突，引發學生的興趣，激發學生的求知欲望，進而引入新課.
（二）設置問題，探究聯系
在回顧了初中所學代數方法判斷方程實根存在性后，給學生設置了如下問題即
問題2：方程
是否存在實根?對于這一問題,我的基本想法是:用問題引發學生的認知沖突，用問題達到驅動思維，調動學生探究的內驅力，進而通過對于二次方程與函數的溫故知新以降低認知起點，從而在方程與函數聯系的探究中自然地生成概念.
（三）形成概念，感悟思想
此處我試圖以教材中的二次方程與二次函數的聯系為主要推手，從學生對特殊具體的二次方程的實根與二次函數圖象和
x軸交點的橫坐標的探究中去研究問題的本質，最后推廣為研究一般抽象的方程與其相應函數的之間的關系，充分體現數學的嚴謹性、從特殊到一般的認知規律，使得零點的概念的得出水到渠成.同時使學生在潛移默化中漸漸領會到“數形結合的思想”及“轉化與化歸的思想”.概念的形成自然、簡捷、清晰，既符合學生的認知規律，也符合學生思維的“最近發展區”.
二、零點存在性定理的探究
(分下列兩個環節)
（四）應用思想，合理猜想
此處我試圖誘導學生應用函數零點的概念所得到的基本思想(即三種等價關系)合理地進行歸納猜想、檢驗調整、再猜想、再檢驗．此處我做了以下兩點考慮: 1、學生探究過程中盡量讓學生發現問題、解決問題．學生可能會將方程移項轉化為
，進而研究函數
和
的圖象交點問題．對這一思路，教師應給予充分的肯定，同時可以引導學生分析交點附近兩個函數圖象高低的變化，以及對應的函數值大小的變化，引出相應的介值定理或轉化為零點存在性定理等等的猜想．2、學生也可能會直接提出畫出函數
的圖象，此時教師可利用計算機或計算器作圖展示，進而引發學生的思考:在零點附近的兩側有異號的函數值，從而猜出零點存在性定理的部分條件(函數值變號)
當然,此處的自主探究學生可能還會出現目標不明確或偏離的狀況，教師與學生、學生與學生可以采取多種形式充分交流，相互啟發，合作探究．比如:我在還準備了一個板塊，即由生活中渡河問題的實例類比函數圖象的相應問題以啟發部分學生的思維．當然,在實際課堂中,大多學生的思考是畫出函數
的圖象．
（五）探索定理，解決問題
問題3：如何從數的角度刻畫函數 “
在區間(2，3)內由
x軸下方‘穿過’
x軸到達
x 軸的上方？” 即在零點附近圖象上形的變化？
這里我試圖引導學生從“形的直觀”上升到“數的精確”。“由
x軸下方‘穿過’
x軸到達
x 軸的上方”是得到的一個直觀形象，這個直觀形象要精確的刻畫，必須輔之于數的準確，引導學生得出條件：
f (
a)
f (
b) < 0．
問題4：有條件“
f (
a)
f (
b) < 0”就能保證“函數在(
a，
b)內有零點”嗎？
在學生得出條件：
f (
a)
f (
b) < 0后進一步提出問題4讓學生分組思考、討論，這一問題由于學生經常接觸的是基本初等函數等連續曲線，想到不連續的圖象有一定難度，因此，需給予學生充分的時間動手實踐、自主探索、合作交流，教師也應結合學生思考情況適當點撥或設置更精細的問題以驅動學生思維．
三、零點存在性定理的應用與鞏固(分下列兩個環節)
（六）學以致用，鞏固新知
對于定理探究完畢后,我設計了兩個練習,分別以函數的解析法和列表法呈現出來,試圖讓學生由形的定性認識再回到數的定量計算,加深對定理的理解和鞏固,并使學生意識到由數到形與由形到數的結合與辯證統一．
（七）反思定理，深刻理解
另外,學生對定理的理解常常不夠深入,這就要求教師引導學生體驗各種成立與不成立的情況，從正面、反面、側面等不同的角度審視定理的條件與適用范圍．基于這個想法,我又設計了3個辨析題,從定理的條件、結論深度剖析,以加深學生對定理的全面理解．
四、小結與升華
（八）小結反思，提高認識
我初步設計讓學生自己談體會、講收獲,給了兩個指向性比較明確的問題:分別從知識和思想方法上進行總結提升．并要求學生課后探究:“我們已經知道，函數
的唯一零點在(2，3)內，那么該如何進一步求此零點的值呢？”，既引起學生進一步探究的欲望，以為下一節課作了鋪墊、埋下伏筆．
最后，我用偉大數學家華羅庚先生關于“數形結合思想”的經典論述對本節課的核心思想方法進行總結，使學生在回味中感受數學文化和數學大師的魅力．
教學得失：
成功之處：
1、 較合理地創設了教學情境，引發學生認知沖突，激發學生求知熱情.
比如:通過判斷初中所學一次、二次方程是否存在實根自然過渡到高中的超越方程實根的判斷,既符合學生的知識儲備又符合學習的基本需求,既符合基礎性原則又具備挑戰性。
2、 巧妙降低教學起點，較好地突出教學重點，分散教學難點.
比如:通過若干問題的巧妙設計,層層遞進,引發學生的積極思考與探索交流。整個教學設計符合學生的認知規律（比如：從簡單到復雜，從特殊到一般，從具體到抽象等等），采用合情推理與演繹推理雙重推進，既符合學生的思維特點又滲透了數學思想方法.
3、 較好地引導、組織學生的探究式學習，在師生、生生互動中不斷探究、領悟.
比如:通過問題串和教師的引導使學生在活動與交流中體驗知識的形成過程,在探究與
研討中感悟數學思想方法的實質精髓.
4、 有機地利用各種教學手段，使教學預設在探究中較自然地生成.
比如:將傳統的教學手段板書與現代的多媒體輔助教學互相結合,互為補充,提高了課堂效率和學習效果.
不足之處：
1、 個別地方表達不嚴謹、不規范，并且有部分口誤.
2、 問題的設置還不盡合理，可以將問題設計得更加“精致化”.
比如:有些地方略顯突兀.有些又因開放性不足而缺乏挑戰性。可以通過分層設問、層層推進，反復圍繞“由數到形” 、“由形到數” 以及“數形結合思想”方面多做文章.
3、 有的地方對于學生主動學習、自覺思考、合作交流等深入探究的氛圍營造稍顯呆板，學生的深度思維仍不太活躍.
4、 受制于時限，教師仍舊放得不夠，可以鼓勵學生以多樣化、多元化的形式討論交流、思辨、探究.
5、 可以更為合理地應用、發揮多媒體的優勢,更好地促進學生發現問題、解決問題.
比如:在探究零點存在性定理條件時,可以充分運用多媒體手段反復展示函數圖象上的動點由一側經過到達另一側的過程,有助于強化學生的思維方向,推動學生的思維進程.
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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