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視頻標簽：冪函數(shù)

所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學人教B版版必修一3.3冪函數(shù)-錦州

教學設計、課堂實錄及教案：高中數(shù)學人教B版版必修一3.3 冪函數(shù)-錦州市第一高級中學

冪函數(shù) 
一、教學目標 
1.通過生活實例引出冪函數(shù)的概念,會畫冪函數(shù)的圖象,通過觀察圖象,了解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì) 
2.了解幾個常見的冪函數(shù)的性質(zhì),通過這幾個冪函數(shù)的性質(zhì),總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì),通過畫圖比較,使學生進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想 
3.應用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關簡單問題,培養(yǎng)學生觀察分析歸納能力,了解類比法在研究問題中的作用,培養(yǎng)學生運用具體問題具體分析的方法去分析和解決問題的能力. 二、教學重難點 
1、教學重點:從五個具體的冪函數(shù)中認識冪函數(shù)的概念和性質(zhì). 2、教學難點:冪函數(shù)的性質(zhì). 三、教具：多媒體[來源:Z+xx+k.Com] 四、學法指導：數(shù)形結(jié)合，從特殊到一般 五、教學設計 （一）、導入新課 
1、前面我們已經(jīng)學習過正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等，這類函數(shù)有什么特點呢？ 
2、問題情境 
寫出下列y關于x的函數(shù)解析式 
(1)如果正方形的邊長為x，那么正方形面積y=？ (2)如果正方體的棱長為x，那么正方體體積y=？ 
                            (3)如果正方形場地的面積為x，那么正方形的邊y=？ (4)某人騎車x秒內(nèi)勻速前進1km,騎車速度為y=? 以上問題中的函數(shù)有什么共同特征？ （二）、探索新知 
觀察分析上述函數(shù)的解析式，給這類函數(shù)命名。 
（1）底數(shù)為自變量； （2）指數(shù)為常數(shù)； （3）系數(shù)為1  
               一般地，我們把形如y=xα的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù). 
如y=x2
,y=x2
1
,y=x3等都是冪函數(shù),冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣,都是基本初等函數(shù). 
師生共同辨析這種新函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的異同．應說明：冪函數(shù)的定義來自于實踐，它同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，也是基本初等函數(shù)，同樣也是一種“形式定義”的函數(shù)，引導學生注意辨析． 
（三）、理解應用 
1、下列函數(shù)是冪函數(shù)的是＿＿＿ 
             ②               ③         ④ 
2、若函數(shù)                     是冪函數(shù)，則 a 的值為＿
 
                    
             
                    
                            引導學生觀察圖象，歸納概括冪函數(shù)的的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律．觀察圖象，分組討論，探究冪函數(shù)的性質(zhì)和圖象的變化規(guī)律，并展示各自的結(jié)論進行交流評析，并填表． 
2、觀察圖象,分組討論,探究冪函數(shù)的性質(zhì)和圖象的變化規(guī)律，完成表格 函數(shù)性質(zhì) y=x 
y=x2
 
y=x3
 
y=x2
1 
y=x-1 
定義域      值域      奇偶性      單調(diào)性      特殊點      圖象分布 
 
 
 
 
 
3、總結(jié)上述五個函數(shù)的圖像及性質(zhì) 函數(shù)
性質(zhì) y=x 
y=x2
 
y=x3
 
y=x2
1 
y=x-1 
定義
域 
R 
R R {x|x≥0}[來
源:學&科&網(wǎng)] 
{x|x≠0} 
值域 R 
{y
|y≥0} 
R {y|y≥0} {y|y≠0} 
奇偶
性 
奇 
奇 
奇 
非奇非偶 
奇 
 
                    
             
                    
                            單調(diào)
性 
在第Ⅰ
象限單調(diào)遞增 在第Ⅰ
象限單
調(diào)遞增 
在第Ⅰ象限單
調(diào)遞增 
在第Ⅰ象限
單調(diào)遞增 在第Ⅰ象限單調(diào)遞減 
特殊
點 (1,1) 
(1,1) 
(1,1)[來
源:Zxxk.Com] (1,1) 
(1,1) 圖象分布 
第Ⅰ、Ⅲ 象限 
第Ⅰ、Ⅱ 象限 第Ⅰ、Ⅲ 
象限 
第Ⅰ象限 
第Ⅰ、Ⅲ 象限 
（五）、反思提升 1、冪函數(shù)的定義及說明 2、冪函數(shù)的圖像及特點 
（1）、第一象限一定有冪函數(shù)的圖象,第四象限一定沒有冪函數(shù)的圖象,而第二、三象限可能有,也可能沒有圖象,這時可以通過冪函數(shù)和定義域和奇偶性來判斷. 
（2）、冪函數(shù)y=xa的性質(zhì). 
①所有的冪函數(shù)在（0,+∞）都有定義,并且圖象都過點（1,1）； ②當a＞0時,冪函數(shù)的圖象都通過原點,并且在[0,+∞)上是增函數(shù)（從左往右看,函數(shù)圖象逐漸上升）.[來源:Z+xx+k.Com] 
特別地,當a＞1時,x∈（0,1）,y=x2的圖象都在y=x圖象的下方,形狀向下凸,a越大,下凸的程度越大. 
當0＜a＜1時,x∈（0,1）,y=x2的圖象都在y=x的圖象上方,形狀向上凸,a越小,上凸的程度越大.[來源:學科網(wǎng)] 
③當a＜0時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（0,+∞）上是減函數(shù). 
 
                    
             
                    
                            在第一象限內(nèi),當x向原點靠近時,圖象在y軸的右方無限逼近y軸正半軸,當x慢慢地變大時,圖象在x軸上方并無限逼近x軸的正半軸. 
（六）、數(shù)學應用 
  
冪函數(shù)的簡單應用，利用到了冪函數(shù)的單調(diào)性。學生獨立思考，給出解答，共同討論、評析． 
變式訓練：1. 比較下列各組值的大小  
比較大小的題，要綜合考慮函數(shù)的性質(zhì)，特別是單調(diào)性的應用，更善于運用搭橋法進行分組，常數(shù)0和1是常用的參數(shù)。 
例2 .試寫出函數(shù)           的定義域,奇偶性，做出圖像，求出值域，并指出其單調(diào)性.                   
  
能力提升 
 
 此題考察了冪函數(shù)的定義和圖像的性質(zhì)，主要是為了強化學生對于冪函數(shù)的記憶和理解。 
有學生自主探究，得出答案。 
 
例1． 比較下列兩個代數(shù)式值的大小： 
   ⑴       ，           ⑵           ，    
5
.11a5
.1a3
2
22
a3
22
334
4
12.3
2.4



332
2
32
3


235
5
44.1,1.92-
3
與3.8
3
2
)(
xxf 
變式訓練2．若則實數(shù)a的取值范
圍是________． 1．若冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點，
則實數(shù)m的值為________． 
 
                    
             
                    
                             
    
（七）、課堂小結(jié) 
1.通過實例了解冪函數(shù)的概念； 
2. 掌握 冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征，并會根據(jù)奇偶性完成整個函數(shù)的圖象。 
3.能夠利用冪函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的問題.     （八）課后作業(yè) 
1、求函數(shù)22xy的定義域，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 2、利用冪函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個冪的值得大小： （1）4
3
3.2，4
34.2           （2）5
631.0，5
635.0； （3）232
，233
       （4）211.1
，2
19.0
 
3、作出函數(shù)2
3
xy的圖像，根據(jù)圖像 這個函數(shù)有哪些性質(zhì)，并給出證明。 六、教學反思： 
冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型，是學生在系統(tǒng)學習了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本初等函數(shù)。學生已經(jīng)有了學習指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學習經(jīng)歷，冪函數(shù)概念的引入以及圖象和性質(zhì)的研究便水到渠成。因此，學習過程中，引入冪函數(shù)的概念之
 
2．冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(4,2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖
象是(  )   
 
                    
             
                    
                            后，嘗試放手讓學生自己進行合作探究學習。在方法上，我們應注意從特殊到一般進行類比研究冪函數(shù)的性質(zhì)，并注意與指數(shù)函數(shù)進行對比學習。將冪函數(shù)限定為五個具體函數(shù)，通過研究它們來了解冪函數(shù)的性質(zhì)。所以本人建議，逐個畫出五個函數(shù)的圖象，從定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、過定點等方面進行分析、探究，得到各自的性質(zhì)，從而再歸納出冪函數(shù)的基本性質(zhì)。 
除內(nèi)容本身外，掌握研究函數(shù)的一般思想方法也是至關重要的。

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