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視頻標(biāo)簽：直線方程,幾種形式

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教B版版必修二2.2.2直線方程的幾種形式（一）

教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：高中數(shù)學(xué)人教B版版必修二2.2.2直線方程的幾種形式（一）

2.2.2直線方程的幾種形式（一）教學(xué)設(shè)計(jì) 
數(shù)學(xué)組郜汝姣 
一、教學(xué)目標(biāo) 
知識(shí)與技能：1、根據(jù)直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式）。2、理解直線與二元一次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 過(guò)程與方法：幫助學(xué)生經(jīng)歷如下過(guò)程——首先用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解，體會(huì)代數(shù)運(yùn)算過(guò)程的幾何含義，這種思想貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終，幫助學(xué)生不斷體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：在教學(xué)中，結(jié)合對(duì)常見(jiàn)曲線的研究，進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題的能力，提高學(xué)生計(jì)算、繪圖的技能、技巧和觀察、概括問(wèn)題的能力，發(fā)展空間想象能力。 
二、學(xué)情分析 
本校是一所重點(diǎn)高中，相對(duì)來(lái)說(shuō)，學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好，本節(jié)課中教師多次采用個(gè)人思考與小組討論相結(jié)合，再由教師協(xié)助學(xué)生歸納總結(jié)的授課方式，再結(jié)合本節(jié)課知識(shí)特點(diǎn)，通過(guò)一題多解激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)幫助學(xué)生建立學(xué)好解析幾何的信心。 
三、重點(diǎn)難點(diǎn) 
重點(diǎn)：點(diǎn)斜式直線方程的推導(dǎo)。 
難點(diǎn)：直線與二元一次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 
四、教學(xué)過(guò)程 
活動(dòng)一 
復(fù)習(xí)引入： 
1、直線方程的概念是什么？ 
如果以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某條直線上，且這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，那么這個(gè)方程叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個(gè)方程的直線。 2、直線傾斜角的定義是什么？ 
X軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角。規(guī)定，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角。 
3、如果點(diǎn)A(𝑥1,𝑦1)，點(diǎn)B（𝑥2,𝑦2）是一條直線上任意兩點(diǎn)，其中𝑥1≠𝑥2，則這條直線的斜率如何計(jì)算？ 
k=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1
 
其中，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°，斜率k=0； 與x軸垂直的直線的傾斜角為90°，斜率k不存在 . 
活動(dòng)二 
探究一： 
已知直線𝑙過(guò)點(diǎn)P0（𝑥0，𝑦0），且斜率為𝑘，設(shè)點(diǎn)P(x，y)為直線𝑙上不同于𝑃0的任意一點(diǎn)，則
 
                    
             
                    
                            2 
 
k=
𝑦−𝑦0𝑥−𝑥0
     (𝑥≠ 𝑥0） 
問(wèn)：上式是不是直線𝑙的方程？ 
答：缺少點(diǎn)P0（𝑥0，𝑦0），變形為y−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0），此時(shí)是直線𝑙的方程。(滿足直線方程的概念) 
因?yàn)槭怯芍本�上一點(diǎn)P0（𝑥0，𝑦0）和斜率k所確定的直線方程，我們把這個(gè)方程叫做直線的點(diǎn)斜式方程。 
注：對(duì)點(diǎn)斜式方程y−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0）的深入理解： （1） 這個(gè)方程是由哪兩個(gè)條件確定的？ 
點(diǎn)P0（𝑥0，𝑦0）和斜率k（即一定點(diǎn)和斜率可確定一條直線） 
（2） 當(dāng)直線過(guò)定點(diǎn)P0（𝑥0，𝑦0），且傾斜角為0°時(shí)，直線方程是什么？ 
y=𝑦0（可利用點(diǎn)斜式方程；也可通過(guò)圖象直接得出結(jié)論） （3） 當(dāng)直線過(guò)定點(diǎn)P0（𝑥0，𝑦0），且傾斜角為90°時(shí)，直線的方程是什么？ 
x=𝑥0（斜率k不存在，點(diǎn)斜式方程失效；只能通過(guò)圖象得出結(jié)論） 
例1、 求下列直線的方程： （1） 直線𝑙1：過(guò)點(diǎn)（4，5），斜率為1； （2） 直線𝑙2：過(guò)點(diǎn)（2，1），斜率為-1. 解：（1）∵直線𝑙1過(guò)點(diǎn)（4，5），k=1 由直線的點(diǎn)斜式方程，得y−5=1×(x−4） 整理，得x−y+1=0 
（為了統(tǒng)一答案的形式，如沒(méi)有特別要求，直線方程都化為ax+by+c=0的形式.） 
（2）x+y−3=0 
活動(dòng)三 
探究二： 
問(wèn)：如果一條直線通過(guò)點(diǎn)（0，b），且斜率為k，則直線的方程是什么？ 
答：利用點(diǎn)斜式方程，可得y−b=k(x−0） 整理，得y=kx+b 
這個(gè)方程叫做直線的斜截式方程。其中k為斜率，b叫做直線y=kx+b在y軸上的截距，簡(jiǎn)稱為直線的截距。 問(wèn)：截距是距離嗎？ 
實(shí)質(zhì)：直線在y軸上的截距，就是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，令x=0即可得到。 口答：直線y=−2x+1，y=x−4，y=3x，y=−3在y軸上的截距分別是什么？ 又問(wèn)：以上直線在x軸上的截距呢？（與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)） 例2、 求下列直線的方程： 
（1）直線𝑙3：過(guò)點(diǎn)（0，1），斜率為−1
2； （2）直線𝑙4：在x軸上的截距為5，斜率為−2； （3）直線𝑙5：過(guò)點(diǎn)（−2，1）和點(diǎn)(3，−3）. 
解：（1）直線𝑙3過(guò)點(diǎn)（0，1），表明直線在y軸上的截距為1，又直線斜率為−1
2，由直線的斜截式方程，得y=−1
2𝑥+1 即x+2y−2=0 
 
                    
             
                    
                            3 
 
（2）2x+y−10=0 
（3）法一：先求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程. 直線𝑙5的斜率k=
-3-13-(-2）
=−4
5
，又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（−2，1）， 
由直線的點(diǎn)斜式方程，得y−1=−4
5[𝑥−(−2）] 整理，得𝑙5的方程4x+5y+3=0 
法二：設(shè)直線方程為y=kx+b（待定系數(shù)法） 
代入點(diǎn)（−2，1）和點(diǎn)(3，−3），得 1=−2k+b−3=3𝑘+𝑏，解得 𝑘=−4
5
𝑏=−35 整理，得𝑙5的方程4x+5y+3=0 
活動(dòng)四 
探究三： 
已知兩點(diǎn)A 𝑥1，𝑦1 ，𝐵(𝑥2，𝑦2），且𝑥1≠𝑥2，𝑦1≠𝑦2，求直線AB的方程. 當(dāng)𝑥1≠𝑥2時(shí)，由點(diǎn)斜式方程可得y−𝑦1=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1
(𝑥−𝑥1) 
又當(dāng)𝑦1≠𝑦2時(shí)，方程可寫成𝑦−𝑦1
𝑦
2−𝑦1
=𝑥−𝑥1
𝑥
2−𝑥1
（𝑥1≠𝑥2，𝑦1≠𝑦2） 
這種形式的方程叫做直線的兩點(diǎn)式方程. 
注：由兩點(diǎn)式方程的推導(dǎo)過(guò)程可以看出，當(dāng)直線不存在斜率（𝑥1=𝑥2）或斜率為0（𝑦1=𝑦2）時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程，但把兩點(diǎn)式化為整式形式 y−𝑦1  𝑥2−𝑥1 =(𝑦2−𝑦1)(𝑥−𝑥1)后，就可以用它求出過(guò)平面上任意兩個(gè)已知點(diǎn)的直線方程. 若𝑥1=𝑥2，𝑦1≠𝑦2，則有x−𝑥1=0，即x=𝑥1； 若𝑥1≠𝑥2，𝑦1=𝑦2，則有y−𝑦1=0，即y=𝑦1. 例3、 求下列直線的方程： 
（1）直線𝑙5：過(guò)點(diǎn)（−2，1）和點(diǎn)(3，−3）； （2）直線𝑙6：過(guò)點(diǎn)（−5，7）和點(diǎn)（−3，7）； （3）直線𝑙7：過(guò)點(diǎn)（3，−5）和點(diǎn)(3，8） 解：（1）此題同例2的（3） 法三：利用直線方程的兩點(diǎn)式，𝑦−1
−3−1=𝑥+2
3+2 
整理，得𝑙5的方程4x+5y+3=0 （2）y−7=0 （3）x−3=0 
技巧：根據(jù)給出的確定直線的條件，利用數(shù)形結(jié)合，能直接得到結(jié)果的，直接得結(jié)果； 否則，利用直線方程的幾種形式，選擇恰當(dāng)?shù)男问竭M(jìn)行運(yùn)算。 
活動(dòng)五 
小結(jié)：請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下，確定直線方程需要幾個(gè)獨(dú)立的條件？ 
方程名稱 已知條件 
直線方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 點(diǎn)P0（𝑥0，𝑦0）和斜率k y−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0） 
斜率k存在 斜截式 
截距b和斜率k 
y=kx+b 
斜率k存在 
 
                    
             
                    
                            4 
 
兩點(diǎn)式 
兩點(diǎn)A 𝑥1，𝑦1 ，𝐵(𝑥2，𝑦2） 
𝑦−𝑦1𝑦2−𝑦1=𝑥−𝑥1
𝑥2−𝑥1
 
𝑥1≠𝑥2，𝑦1≠𝑦2 
說(shuō)明：點(diǎn)斜式是直線方程最基本的形式。其他確定直線的條件都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式來(lái)處理。 判斷以下說(shuō)法是否正確： 
（1） 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（𝑥0，𝑦0）的直線都可以用方程y−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0）來(lái)表示（錯(cuò)） （2） 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，b）的直線都可以用方程y=kx+b來(lái)表示（錯(cuò)） 
（3） 經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同點(diǎn)A 𝑥1，𝑦1 ，𝐵(𝑥2，𝑦2）的直線都可以用方程 y−𝑦1  𝑥2−
𝑥1 =(𝑦2−𝑦1)(𝑥−𝑥1)來(lái)表示（對(duì)） 
活動(dòng)六 
關(guān)于解題方法的幾點(diǎn)思考： 1、通過(guò)學(xué)習(xí)，體會(huì)用坐標(biāo)法研究幾何的優(yōu)點(diǎn)：解析幾何的思想方法，就是代數(shù)和幾何聯(lián)姻，用代數(shù)方法研究幾何，把對(duì)幾何圖形的研究代數(shù)化。這一章實(shí)質(zhì)上就是代數(shù)在幾何中的應(yīng)用。解決問(wèn)題的基本思路都是：在坐標(biāo)系中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，把圖形的特征性質(zhì)轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示。設(shè)未知數(shù)列方程或方程組解幾何問(wèn)題。 
2、數(shù)形結(jié)合的思想：我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”．?dāng)?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透． 
數(shù)形結(jié)合的基本思想，就是在研究問(wèn)題的過(guò)程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考察，斟酌問(wèn)題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案． 
活動(dòng)七 
練習(xí)： 
1、教材79頁(yè)練習(xí)A第3題； 2、（教材79頁(yè)練習(xí)B第1題）在直線方程y−1=k(x+1)中，k取遍所有實(shí)數(shù)，可得無(wú)數(shù)條直線，這無(wú)數(shù)條直線都過(guò)哪一點(diǎn)？ 
3、引申：直線𝑙：y=kx−2k+3所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)為 
4、經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）的所有直線，如何用方程表示？（通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)的直線系） 
y−3=k x−2 或x=2 
活動(dòng)八 
思考： 
已知直線𝑙在x軸上的截距是a，在y軸上的截距是b，且a≠0，b≠0 . 求證直線𝑙的方程可寫為 𝑥
𝑎
+𝑦
𝑏=1 . （這種形式的直線方程，叫做直線的截距式方程） 
活動(dòng)九 
作業(yè)： 
《課后訓(xùn)練卷》

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