視頻簡介：
視頻標簽：有心二次曲線,斜率之積為定值
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評錄像視頻（附課件）《有心二次曲線斜率之積為定值的探究》浠水
教學設計、課堂實錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評錄像視頻（附課件）《有心二次曲線斜率之積為定值的探究》浠水
《有心二次曲線斜率之積為定值的探究》教學設計
浠水縣第一中學 葉 丹
一、教學設計
1.教學內容解析
解析幾何是中學數學的主干知識之一,它在高考數學試題中所占的分數比例約是百分之二十。考查要求包含了從“了解”到“靈活運用”的各個層次�？v觀近幾年高考數學大綱卷中的解析幾何試題,具有突出考查主干知識,注重通性通法的同時適度創新的特點,多數題目源于教材又高于教材,基于以上分析，以及小題注重定義性質考查的基礎上，設計了本微專題，以課本例題為原型，探究其性質，旨在提高同學在解決與斜率相關的小題的解題速度。
根據以上分析，本節課的教學重點確定為：
教學重點：有心二次曲線斜率之積為定值的兩個結論
2.學生學情診斷
班級同學基礎較好，且經過了高二新課和剛剛進行的一輪復習的學習，已基本掌握本章節的重要基礎知識和基本方法，但是存在一些問題如：想不到，消不去，算不對等問題，因而本節課從利用課本例題出發回顧解析幾何常用的點差法，設而不求的計算技巧，并歸納總結兩組常見結論。
根據以上分析，本節課的教學難點確定為：
教學難點：兩個結論的應用
3.教學標準設置
（1）通過課本探究，學生能系統掌握用點差法推導兩個結論，能靈活運用兩個結論解決相關問題.
（2）通過情景設置,有效的激發學生的學習興趣, 讓學生從數和形兩個角度感受數學的優美性.通過問題的探究，進一步滲透特殊到一般思想、類比思想、歸納思想 .
（3）培養學生歸納知識、應用知識的能力,培養學生勇于探索、勤于思考的精神.
4.教學策略分析
本節課是一輪復習探究課，教學容量較大，學生參與度高，采用多媒體課件輔助教學，進一步提高課堂效率，調動學生的學習積極性.在教法上面采用著重于學生探究的啟發式教學方法,結合探究進行結論的歸納.
教學流程圖
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二、課堂實錄
（1）創設情景（調考題導入）
（2017武漢市新起點）已知A,B分別為橢圓
的左右頂點，P,Q是橢圓上的不同兩點且關于x軸對稱，設直線AP,BQ的斜率分別為
m,n，若點A到直線 的距離為1，則該橢圓的離心率為
設計意圖：調考題導入，引出課題，使學生對本節課優美性質的探討產生強烈期待。
（2）回歸課本 性質探究
（引例1）課本2-1 41頁 例3設點A,B的坐標分別為(-5，0),(5，0)，直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之積是 ，求點M的軌跡方程.
（引例2）課本2-1 55頁 探究設點A,B的坐標分別為(-5，0),(5，0)，直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之積是 ，求點M的軌跡方程，并由點M的軌跡方程判斷軌跡的性狀。
（引例3）課本2-1 80頁 A組第10題 已知 兩個頂點A,B的坐標分別為(-5，0),(5，0)，且AC,BC所在直線的斜率之積等于 ，試探求頂點C的軌跡。
（改編）已知兩個定點A,B的坐標分別為 ，且AC,BC所在直線的斜率之積等于 ，試探求動點C的軌跡。
設計意圖：以課本題為載體，讓學生重視課本，為后面的結論引路。
（3）合作探究 得出結論
（探究1）橢圓 的長軸頂點與橢圓上除這兩個頂點外的任一點連線斜率之積是否為定值？
（探究2）設 A、B是橢圓 上關于原點對稱的兩點，點P是該橢圓上不同于A，B的任一點，直線PA，PB的斜率分別為 ，則 是否為定值？并給予證明．
（探究3）若探究二中的橢圓改為雙曲線 和圓呢？
讓學生自主探究推導，然后合作交流，再用幾何畫板演示。
設計意圖：讓學生在互動交流探討中，強化點差法的運用，得出結論，再在“幾何畫板”的實踐中得到證實，體會知識的探索過程，提高學習的熱情
結論1：若 A、B是橢圓上 關于原點對稱的兩點，點P是該橢圓上不同于A，B的任一點，直線PA，PB的斜率分別為 ，則
若 A、B是雙曲線上 關于原點對稱的兩點，點P是該雙曲線上不同于A，B的任一點，直線PA，PB的斜率分別為 ，則
（4）類比結論 拓展思維
（探究4）已知AB是圓O的弦，點P是弦AB的中點，直線OP，AB的斜率分別為 ， 則 ，那如果是橢圓和雙曲線是否也有 為定值呢？
結論2：若AB是不過橢圓 中心的弦，點P是弦AB的中點，直線OP，AB的斜率分別為 ，則
若AB是不過雙曲線 中心的弦，點P是弦AB的中點，直線OP，AB的斜率分別為 ，則
設計意圖：培養學生的知識遷移類比能力，將前面學習過的性質當作結論2作系統性的歸類，讓學生通過類比歸納鞏固性質
（5）例題示范 直擊高考
例1（2017武漢市新起點）已知A,B分別為橢圓
的左右頂點，P,Q是橢圓上的不同兩點且關于x軸對稱，設直線AP,BQ的斜率分別為
m,n，若點A到直線 的距離為1，則該橢圓的離心率為
A. B. C. D.
設計意圖：運用結論1迅速找到切入點，達到迅速解題的目的，前后呼應。
例2(2013北京，理19)(本小題共14分)已知A，B，C是橢圓W： 上的
三個點，O是坐標原點．
(1)當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
(2)當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．
設計意圖：應用結論2快速尋找思路，進一步熟悉應用結論的先決條件，同時T通過投影學生解題過程強調解答題應用時要寫出過程的推導。
（6）提升訓練 鞏固性質
1.（2016宜昌調考）已知直線 與雙曲線C: 交于A,B兩點，且AB中點M的橫坐標為 ，過M且與直線 垂直的直線 過雙曲線C的右焦點，則雙曲線的離心率為
2.（2016武漢調考）已知橢圓 ，點 為其長軸 的6等分點，分別過這五點作斜率為 的一組平行線，交橢圓 于點 ,則這10條直線 , 的斜率的乘積為 ．
本練習請學生講解
設計意圖：檢測學生對結論的掌握情況，并通過師生角色互換，交流解題思路，進一步幫助同學們靈活運用兩個結論。
（7）反思小結 內化性質
本節課學到了哪些？由學生完成，教師補充．
（1）. 有心二次曲線中一類斜率之積為定值的性質.
（2）. 利用點差法證明與中點和對稱點的問題
（3）. 從特殊到一般，探究—類比—證明解決問題的思考方法.
設計意圖：學生在談收獲的同時，加深了對結論的辨析及結論的形成規律，從而形成了自覺內化的意識．
（8）課后拓展 激發興趣
已知直線L為圓C的切線，切點為P，且直線L與直線CP的斜率分別為 ， 則 。猜想：直線L為橢圓 的切線，切點為P，且直線L與直線OP的斜率分別為 ，則 是否為定值？
直線L為雙曲線 的切線，切點為P，且直線L與直線OP的斜率分別為 ，則 是否為定值？
設計意圖：通過思考題，進一步內化學生的認知結構，激發學生由圓探討圓錐曲線的相關性質；培養學生的動手實踐、合作探究能力，讓學生進一步體會數學的科學價值和應用價值，增強學生學習數學的興趣．
三、板書設計
教師板書 學生講解
四、教學反思：
通過本節課的教學實踐，對《新課程標準》“倡導積極主動、用于探索的學習方式”有了更進一步的認識，教師充當導游的身份，在教學過程中由課本題為導火線精心創設了一個簡潔，有趣的探索數學的環境，讓學生動態地串知成鏈，同時充分體現了學生的主體地位，發揮了活動課寓教于樂的優勢，極大的激發了學生類比圓研究有心二次曲線的興趣，為后續探討起到較好的的鋪墊。
可取之處：一是教學設計新穎，以調考題導入引入課題，并通過課本題提煉結論將整個課堂串接起來，體現了高考題來源于課本的特點，讓學生重視課本；二是本節課采用講練結合完成教學目標，在不斷生成問題和解決問題的過程中引導學生完成知識結構體系的建構；三是突出學生為主體，展示學生的解題過程，要求規范書寫，學生講解鞏固練習，通過師生角色互換增強學生的自信心.
改進之處：由于時間關系，在這堂課中只完成了知識結構體系中的兩個結論，第3個結論得下次課完成，沒有時間去梳理結論的易混點、易錯點（如焦點在 軸的），若時間充裕，可考慮布置一定數量的小題讓學生在解題的過程中加以區分．
五、教學點評：
本節課既較好地兼顧了認識結構的形成和結論要點的梳理，又突出體現了學生如何靈活運用結論解題的能力提升，突破了難點，兩者有機匹配，相得益彰．高效地完成了教學任務的同時，體現了如下特色：
1．悉心把握教材脈絡，巧妙創設探究形成結論
教師在對教材內容深層次的理解的基礎上，對教材進行“二次加工”，選用學生熟知的練習題切入，學生仿佛不是在學數學，而是在研究數學．通過本節課的學習，既增強了學生學習數學的興趣，領悟到學習數學的價值，又培養了學生創新意識，體現了學以致用，發展了學生的數學應用意識．
2．積極倡導探究教學，動態實現知識體系的有效構建
本節課中充分體了教師的主導性、學生的主體性．整個課堂教學活動有條不紊，凡是學生自己能解決的事情，教師都沒有包辦代替，堅決讓學生自己做，學生在自主、合作、探究學習的過程中，不僅完成了本節課的教學標準，而且嘗到了學習數學的樂趣，處處感受到成功的喜悅和數學文化的魅力．
3．有效滲透數學思想，恰當體現信息技術的有機融合
本節課從問題的引入、重點的突出、難點的突破，都恰時恰當地利用多媒體課件展示，課堂中黑板、多媒體、幾何畫板交互使用，顯示了教師現代信息技術的純熟地操作能力；重點內容的板書，既留給了學生充分思考與探索的時間，又讓留在黑板上的一副靜態的知識結構圖演變成動態知識網絡圖，培養了學生的分析概括能力，滲透了特殊到一般，類比歸納的數學思想．
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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