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視頻簡介：

視頻標簽：方程的根,函數的零點

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：高中數學人教A版必修1-3.1.1方程的根與函數的零點

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高中數學人教A版必修1-3.1.1 方程的根與函數的零點

3.1.1   方程的根與函數的零點（教案）
第一課時
教學目標 1、知識與技能
（1）了解函數零點的概念；
（2）理解函數的零點與方程的根的聯系；（3）掌握函數零點存在的判斷方法。 2、過程與方法
（1）通過自主探究，合作交流，經歷“特殊→一般”、 “類比→歸納→應用”的過程，領會函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想；（2）感悟由具體到抽象的研究方法；（3）培養學生的歸納概括能力。 3、情感態度與價值觀（1）體驗探究的樂趣；
（2）認識到萬物的聯系與轉化，培養學生用聯系的觀點看問題；（3）養成嚴密思考的良好學習習慣。
教學重點與難點 1、教學重點
   理解函數的零點與方程的根的聯系，掌握函數零點存在性的判定依據。 2、教學難點
   準確理解概念，探究發現函數零點存在的條件。
教學過程
（一）課前熱身，新課導入
求解下列方程的根：
(1)022x      (2)0322xx       (3)022x      (4)01lgx 思考：如何求解方程06-2lnxx的解？設計意圖：
    讓學生經歷由熟悉到陌生的過程，利用復雜無法求解的方程，造成學生的認知沖突，引發學生的好奇心和求知欲。此時開門見山地提出用函數的思想解決方程根的問題，點明本節課的課題。
2
（二）啟發引導，形成概念
探究：方程與函數的聯系

設計意圖：
以實例說明方程、函數、函數圖象三者的關系，滲透數形結合的思想，為一般的方程與其對應函數的關系作準備。

思考：上述結論對于一般的方程與其對應的函數是否也成立？
(1)022x與22xy  (2)022x與22xy  (3)01lgx與1lgxy
推廣：方程0xf有實數根對應函數xfy的圖象與x軸
          方程0xf不相等實數根的個數對應函數xfy的圖象與x軸
0x是方程0xf的實數根對應函數xfy的圖象與x軸
設計意圖：
結合課前熱身已解決的方程的根的問題，通過觀察相應函數的圖象，將由一元二次方程與相應二次函數得出的結論推廣到一般的方程與其對應函數，再一次體會方程與函數的聯系，為引入“函數零點”的概念打下基礎，體現了由特殊到一般的思想，培養學生的思維能力和歸納能力。

●函數的零點的定義：
對于函數xfy，我們把                       ，叫做函數xfy的        。注：零點不是點，是實數。






3
● 等價關系：方程0xf有實數根
函數xfy的圖象與x軸有交點
                  函數xfy有零點 ●零點的求法：           法和             法
●練習一：
(1)下圖中函數的零點有

(2)函數1242xxxf的零點是
A．0,2,0,6       B．6x或2x       C．-6和2        D．以上都不對 (3)若函數xf是定義域為R的奇函數，且xf在,0上有一個零點，則xf的零點個數為
A．3       B．2       C．1        D．不確定
(4)求函數0
,40
,11
2xxxxxf的零點.

設計意圖：
    鞏固概念，熟悉函數零點的求法，即求相應方程的實數根，或者通過函數圖象尋找圖象與x軸交點的橫坐標，再一次明確函數的零點是一個實數，不是一個點。
（三）自主探究，揭示定理
引例：右圖是某市1月份的某一天從0點到12點的氣溫變
化圖，假設氣溫是連續變化的，請將圖形補充成完整的函數圖象。
思考：這段時間內，是否一定有某一時刻的氣溫為0度？設計意圖：
    通過實際問題直觀演示函數的連續性，激發學生的學習興趣，并由此類比探究函數零點存在性定理。



類比：假設函數xfy在區間ba,上的圖象是連續不斷的一條曲線，請畫出下列三種情況
下經過A、B兩點的可能的函數圖象。

猜想：函數xfy的圖象在區間ba,上連續，如果有              ，那么函數在區間ba,上有零點。設計意圖：
通過小組討論，引導學生尋找零點存在的條件，培養學生的動手實踐能力；將函數的零點轉化到圖象上來，使抽象的問題直觀化，更利于學生理解定理的本質；定理的發現過程體現數形結合的思想和轉化的思想。
●函數零點存在性定理：
      如果函數xfy在區間            上的圖象是            的一條曲線，并且有            ，那么，函數xfy在區間            內有零點。即存在          ，使得            ，這個c也就是方程0xf的       。
（四）例證辨析，熟悉定理
●練習二：判斷下列結論是否正確，若不正確，請畫出相應函數圖象加以說明。
(1)已知函數xfy在區間ba,上圖象是連續的，且0bfaf，則xfy在區間ba,內有且僅有一個零點。                                                        （   ） (2)已知函數xfy在區間ba,上圖象是連續的，且0bfaf，則xfy在區間ba,內沒有零點。                                                                 （   ） (3)已知函數xfy在區間ba,上滿足0bfaf，則xfy在區間ba,內有零點。（   ） (4)已知函數xfy在區間ba,上圖象是連續的，且存在零點，則0bfaf 。   （   ）設計意圖：
    通過正誤辨析題對定理中條件的改變，激發學生思考，加深學生對定理的全面理解，培養學生縝密思考和分析問題的思維品質。



5
（五）應用定理，典例分析
例1  已知函數xf的圖象是連續不斷的一條曲線，且有如下對應值表，則函數在哪些區間內有
零點？

例2  函數62lnxxxf在下列哪個區間有零點
A．10，       B．21，       C．32，       D．43，
●方法小結：利用函數零點存在性定理判斷零點所在區間的步驟
(1)確定函數xfy在ba,上圖象連續； (2)通過計算判斷af、bf的符號；
(3)若0bfaf，則函數xfy在ba,內存在零點。設計意圖：
通過例題分析，學會應用零點存在性定理確定零點存在的區間，并進行方法的小結，使學生更深刻地理解數學思想方法在解題中的地位和作用。
（六）反思小結，提升境界 1、一個概念：函數的零點
2、一個定理：函數零點存在性定理
3、三種思想：函數與方程思想、數形結合思想、轉化與化歸思想
4、三種題型：求函數的零點；確定函數零點所在區間；判斷函數零點的個數

（七）學以致用，鞏固提高
1、課本88P，練習1；92P，A組2；211P，A組1 2、《全優課堂》7573P
3、已知函數xf圖象是連續不斷的一條曲線，且有如下對應值表

那么函數在區間6,1上的零點至少有             個。 4、函數13xxxf在下列哪個區間內有零點
A．01，       B．10，       C．21，       D．32， 5、方程0732xx在下列哪個區間有實根
A．01，       B．10，       C．21，       D．32，

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