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視頻標簽：函數與方程思想

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：高中數學人教B版版必修一函數與方程思想-大連市信息高中

教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教B版版必修一函數與方程思想-大連市信息高中

函數與方程思想 
一、學情分析： 
學生基本掌握了有關函數與方程的一些基礎知識，如基本初等函數的圖像、定義域、值域（最值）、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、圖像變換等。系統地學習了如一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數以及定義在正整數集或子集上的特殊函數（如數列）等的圖像與性質。并在學習函數知識的同時，對方程也有一定的體會。但是部分學生對函數與方程思想的認知、感悟、應用還是零散的、片段式，不能從學科整體角度和思維方面去把握。雖然教師在教學中也有一些滲透，但仍顯生疏，需要一個專題訓練。 二、教學目標 1、知識與技能 
理解函數與方程思想含義及蘊涵的一般解題思路，恰當的構造函數、設方程，能有意識的應用函數與方程思想解題。 2、過程與方法 
通過典例分析，使學生感悟和反思函數與方程思想，打通知識間的內在聯系，提高思維的深刻性與思變性。 
3、情感態度和價值觀 
通過復習整理，使學生對函數與方程思想有一個全面的認知，體驗數學的理性美。通過交流、合作、討論獲取成功體驗，感受數學思想的應用價值，激發學生的學習興趣，培養學生養成認真傾聽他人發言的習慣和勇于克服困難的意志。 三、教學重點與難點 重點：構造函數把所要研究的問題轉化為相應的函數模型，借助有關初等函數的圖像性質，解有關求值、解（證）方程（等式）或不等式。以及利用方程或方程組的觀點觀察處理有關參數的取值范圍等問題。感受函數與方程思想，提高函數與方程思想的應用能力。 難點：函數與方程思想的理解和應用。 四、教學流程 教學環節 教師活動 
學生活動 設計意圖 環節一： 知考綱 
一、函數與方程思想概述 
函數的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系，建立函數關系，運用函數的知識，使問題得到解決。 
和函數有必然聯系的是方程，方程的思想就是通過研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的的解題思路和策略。  
二、函數與方程思想的常見問題 
1、函數和方程是密切相關的，對于函數xfy，當0y時，就轉化為方程0xf。也可以把函數式xfy看做二元方 
 
回憶學習過的函數與方程思想的含義、運用函數與方程思想解決的常見數學問題 
   
通過復習，讓學生在利用對函數與方程思想解決高考問題的方向上有初步的了解   
程0xfy； 
2、函數與不等式也可以相互轉化，對于函數xfy，當0y時，就轉化為不等式0xf，借助于函數圖象與性質解決有關問題。而研究函數的性質，也離不開解不等式；  
3、數列的通項或前n項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點處理數列問題十分重要； 
4、函數n
xxf1，*
Nn與二項式定理是密切相關的。
利用這個函數用賦值法和比較系數法可以解決很多二項式定理的問題；  
 
環節二： 明方向 
一、從函數、方程、不等式之間的聯系入手研究函數與方程思想的應用 
1、若函數2fxxxa為偶函數，則實數a          
2、函數2cosxxxf在區間4,0上的零點個數為（   ） 
.A7        .B6          .C5          .D4 3、已知函數x
aexxxfln（e為自然對數的底數）有兩個
極值點，則實數a的取值范圍是（  ） 

eA1,0.   eB,0.   

ee
C,1.   eD,. 
4、已知函數x
e
xf，若關于x的不等式
022axfxf在1,0上有解，則實數a的取值范圍為   
          
 
  
小組合作交流、討論，
展示，點評 
 
    
       
學生對運用函數與方程思想解決問題的高考要求有一個加深的認識    
環節三： 悟方法 
1、 通過函數式構建方程求參數值； 
2、 求函數的零點，可以解方程0xf也可以畫函數
yfx的圖像，找其與x軸的交點。或轉化為兩個函數
圖像找交點； 
3、 分離參數、構造函數求最值，是解決不等式成立或恒成立求
討論交流  
師生共同總結，理解內
化 
用一題通一片，有助于數學理解、把握問題本質，便于學生遷移、運用 
 
                    
             
                    
                            參數取值范圍的問題的首選方法。  
環節四： 通類型 
二、函數與方程思想在與各知識點的結合中的應用  
1、設等差數列na的前n項和為nS，已知100S，1525S，則nnS的最小值為     2、若Rxx
axaxaax2014
201422102014
12， 
則2014
3210
201432aaaaa          
 
交流、白板展示 
鞏固解決有關運用函數與方程思想解決數學問題求解思路，再次明確函數與方程思想的應用 板書設計 
 
函數與方程思想 
       
 
 
小結 
函數與方程思想簡單的說就是學會用函數和變量來思考，學會轉化已知和未知的關系。一般情況下凡是涉及未知數問題，都可能用到函數與方程思想。 
由于函數在高中數學中舉足輕重的地位，因此，函數與方程思想一直是高考考查的重點，通過這節課不可能把所有函數與方程思想的應用都講到，只能起到一個拋磚引玉的作用。所以同學們在復習備考的過程中要結合這節課所講的內容，自己去探究、去總結，爭取早日做到站在數學思想的高度去解決問題。  
  
 
作業 
1、已知3
42a，5
24b，3
125c則（   ） 
cabA.   cbaB.   acbC.   bacD. 
  
2、函數1log25.0xxfx
的零點個數為（   ） 
.A1        .B2          .C3          .D4 
  
 
 
3、已知函數xfy和xgy在2,2上的圖象如下圖所
示，給出下列四個命題。其中正確的命題的個數為（  ） ①方程0xgf有且僅有6個根；②方程0xfg有且僅有3個根；③方程0xff有且僅有5個根；④方程0xgg有且僅有4個根。
 .A1   .B2   .C3   .D4 
  
4、設,nnST分別是等差數列,nnab的前n項和，若
*21nnSnnNTn，則 56ab（   ） 5.
13A   9.19
B   11.23C   9.23D  
5、若關于x的方程2
210xkx的兩根12,xx滿足
12102xx，則k的取值范圍是（   ） 
3.,04A   3.,04B   3.0,4C   3.0,4D
 6、4
1xxa的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為32 ，
則a            
7、已知函數lnfxxxa，2
12
gxxax
，其中0a。 ⑴若曲線yfx在點
1,1f處的切線與曲線ygx也相切，求a的值； ⑵ 證明：1x時，1
2
fxgx恒成立。

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