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視頻標簽：湖北好課堂,函數模型,應用實例
所屬欄目：高中數學優(yōu)質課視頻
視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數學優(yōu)質課展評錄像視頻《函數模型的應用實例》湖北省黃岡
教學設計、課堂實錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數學優(yōu)質課展評錄像視頻《函數模型的應用實例》湖北省黃岡
關注理性思維，培養(yǎng)數學素養(yǎng)
人教版必修一 3.2.2 函數模型的應用實例 （教學設計）
湖北省黃岡中學（肖海東）
一、教學設計
1．教學內容解析
“加強數學應用，形成和發(fā)展學生的數學應用意識”是高中數學課程標準的基本理念之一．為了踐行該教學理念，新課標人教A版數學必修1在安排學生系統(tǒng)學習了指數函數、對數函數、冪函數這些基本初等函數之后，特別將《函數的應用》作為獨立的一章，目的在于鞏固函數概念、體現函數價值、強調數學應用．
《函數模型及其應用》是這一章的核心內容，是數學與生活相互銜接的樞紐．而“函數模型的應用實例”是上一節(jié)內容“幾類不同增長的函數模型”的自然延續(xù)，讓學生對數學知識的理解由抽象晦澀的式子走向直觀鮮活的應用．
本部分內容課標要求兩個課時完成，而本節(jié)課選取的是第二課時．本課采用生成性的教育理念，首先由學生自主回顧學過的常見函數模型，讓學生體會函數在生活中的廣泛應用，體會不同函數類型增長的速度差異，再通過一個貼近生活的簡單問題，要求學生在實際情境中從數學的視角發(fā)現問題、提出問題、分析問題、構建模型，借助函數計算器和幾何畫板求解模型，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題．讓學生在利用函數模型解決實際問題的同時，知道如何從形和數兩個角度對不同模型的優(yōu)劣進行評價．這樣的設置既能體現函數的作用，也讓學生經歷了把數學知識應用于生活實際的建模過程，既強化了學生應用數學的意識，也提高了學生應用數學的能力，增強了學生的數學素養(yǎng)．同時，該節(jié)課的內容為學生將來學習必修3的《線性相關關系》和選修部分的《回歸分析》做了很好的鋪墊．
根據以上分析，本節(jié)課的教學重點確定為：
教學重點：體會函數在生活中的廣泛應用，體會不同函數類型增長的速度差異，體驗“從實際到數學，建立數學模型，回到實際檢驗，最終利用所得的函數模型解決實際問題”的全過程．
2．學生學情分析
高一學生通過數學必修１前兩章的學習，已經理解了函數的概念，掌握了一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數等基本初等函數的圖象和性質，能利用函數知識解決簡單的數學應用問題．通過第三章前幾節(jié)課的學習，學生了解了不同類型函數的增長差異，同時他們還初步掌握了函數計算器和幾何畫板的操作方法，能根據給定數據進行指定函數模型的擬合，為本節(jié)課的學習奠定了基礎．
但學生的思維尚處于由直觀感知到抽象分析的過渡階段，數形結合和應用數學的意識不強，也缺乏利用數學模型對實際問題進行分析和評價的經驗．因此，在教學中要培養(yǎng)學生抽象概括、數據處理、語言轉換等數學能力，引導學生建立適當的模型并對模型的優(yōu)劣進行評價與分析．
根據以上分析，本節(jié)課的教學難點確定為：
教學難點：如何根據面臨的實際問題選擇恰當的函數模型，如何從形和數兩個角度對不同模型的優(yōu)劣進行評價．
3．教學目標設置
根據課程標準的要求并結合本節(jié)課的內容和高一學生已具備的知識、能力和心理特點，確定本節(jié)課的教學目標為：
（1）能根據題意提取數據并進行簡單分析，能選擇適當的函數模型解決實際問題；
（2）通過將實際問題轉化為數學問題的過程，掌握數學建模的基本步驟；
（3）經歷建立函數模型解決實際問題的過程，體會數學知識在解決實際問題中的價值和作用，提高綜合運用數學知識和方法解決實際問題的能力；
（4）逐步提升數學建模、數學抽象、數據分析、數學運算、邏輯推理和直觀想象的素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的科學態(tài)度和反思意識，提高學習數學的興趣．
4．教學策略分析
構建主義理論認為，學生是信息加工的主體，是意義的主動構建者，新課程標準理念下的課程應突出學生知識的意義構建，數學教學應該是思維的教學．從這一角度出發(fā)，我采取以下教學策略：
（1）在課堂上采用了問題導學，自主探究，合作交流，對比研討，動態(tài)演示，圖形展示等手段，盡可能展示多樣化的課堂結構，潛移默化的培養(yǎng)學生應用數學的能力．
（2）從學生已有的生活背景和生活經驗出發(fā)，創(chuàng)設學生熟悉的生活情景，將“數學生活化”，即將數學抽象的內容附著在現實的背景中，并將數學教育滲透在學習過程中，從而使學生在思考的過程中感悟到數學應用的價值．
（3）課前教會學生使用函數計算器進行簡單的數據分析和計算，同時教會學生在幾何畫板上繪圖，從感官上分析和檢驗模型．本課要解決的生活實際問題，體現了數學的應用價值．如果不借助于函數計算器和幾何畫板，難以發(fā)現數據背后所隱藏的規(guī)律，也難以完成本題的計算．如果由教師自定解析式并求解的方式處理，將無法得到讓學生信服和滿意的函數模型，也限制了學生的思維發(fā)展．而計算器和幾何畫板可以很好的解決上述問題，給學生的自主探索提供可能，能大大激發(fā)學生的學習興趣和求知的欲望．
教學流程
二、課堂實錄
1.展示模型 數往知來
師：同學們，通過函數的學習，我們知道函數是刻畫客觀世界變化規(guī)律的重要數學模
型．課前我給大家布置了一個任務，讓你們搜集生活中的函數模型，你們搜集得怎么樣了？請大家說說看
生：學生自由上臺展示或直接說出自己所發(fā)現的生活中的函數模型．
【設計意圖】數學是從現實世界中抽象出來的，生活中處處有數學．一個簡單的問題讓學生在接觸實際和了解實際的同時，真正成為課堂的主人，激發(fā)了學生的興趣，較好的活躍了氣氛．當然更重要的是通過學生的模型展示，幫助學生自主的復習和回顧一次函數、二次函數、分段函數模型以及指數型、對數型、冪函數型等生活中的常見函數模型，了解函數模型的廣泛應用，同時也一并復習了函數的三種表示方法．為本節(jié)課后續(xù)模型的探究埋下伏筆．
2.感知模型 意在言外
師：同學們我們來看這樣一個視頻：一個池塘，第一天荷花開放的數量很少，第二天開放的數量是第一天的兩倍，以后的每一天，荷花都會以前一天兩倍的數量開放，慢慢的開，一直到第30天，荷花開滿了整個池塘．那么請問：池塘里的荷花，在第幾天開到了一半？
生：第29天！
師：太厲害了，你們真是太棒了，第29天，這就是著名的荷花定律，也叫作30天定律．那，這是什么型呢？
生：指數型
師：指數型，非常好！其實呀，一個人的思維方式，決定了我們的人生有三種不同的增長方式，我們來看看：
第一種：默默積累，耐心等待的指數增長．就像是池塘里的荷花，剛開始的時候拼命的開，努力的開，但漸漸的你會感到枯燥，甚至厭煩，你可能會在第9天、第19天亦或是第29天放棄，而這個時候往往離成功可能只有一步之遙．所以啊，唯有堅持不懈的努力，我們才能突破臨界點，實現質的飛躍！
第二種：一分耕耘、一分收獲的線性增長．只要肯付出，就會有回報，可能這種回報并沒有我們預期的那么多，但卻是可以源源不絕．
第三種：開局漂亮，后勁不足的對數增長．一開始啊，由于起點高，進步的速度飛快，做什么事情都是遙遙領先，但漸漸的由于受到各種外力的困擾，或者說心態(tài)的影響，導致我們進步的速度逐漸的減慢．
同學們，請問你們想要什么樣的人生增長方式？
生：指數增長！
師：很好，我為你們點贊，咱們一起加油！把這樣的四個等式送給大家！積跬步以至千里，積懈怠以致深淵．只比你努力一點的人，其實這個時候已經甩得你太遠了，加油吧，同學們！
師：同學們，你們想想看，迄今為止我們學過的函數模型有哪些呢？
生：一次函數、二次函數、分段函數、指數型、對數型、冪函數型......
師：很好！迄今為止我們學過的函數模型有以下這么多種（白板展示）．
【設計意圖】通過教師展示荷花定律，生動形象的抽象出指數型函數模型對學生的人生意義，凝練出“會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界”的學科核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學生積極向上、奮發(fā)進取的精神，幫助學生形成必備品格和關鍵能力．同時引導學生梳理所學過的函數模型，幫助學生自主構建知識體系．
3.探究模型 永無止境
環(huán)節(jié)1：啟發(fā)性提問，完善思維.
師：同學們，假如你們的人生呈指數型的增長，有一天你成為了華為公司生產部的總監(jiān)，當年元月份有一種新款手機開始投產了，并且前
個月的產量分別為
萬件，
萬件，
萬件，
萬件．作為生產總監(jiān)，你認為第5個月應該生產多少產品？同時也請你預測最近兩年內產量的變化趨勢．
師：同學們，這個問題怎樣用函數模型來解決？請大家相互討論，給出一個大致的方案.
（學生相互討論，找點，畫散點圖并預測函數類型. 討論結束后，請學生回答．）
生：我認為這個問題可以用數學來解決．
師：怎么樣用數學來解決？
生：我們可以建立一個函數模型.首先建立一個平面直角坐標系，將這四個點在這個平面直角坐標系中找到，然后再用平滑的曲線連起來．
師：怎樣的四個點呢？
生：（1, 1）、（2, 1.2）、（3, 1.3）、（4, 1.37），用平滑的曲線把它們連起來，然后我們就可以根據它圖象的變化趨勢，應該可以預估第5個月的產量．
師：如何預估？
生：建立一個函數模型．
師：很好，按照你的方式我已經在幾何畫板中找到了這四個點，并連成了光滑的曲線，那你說說看應該建一個什么樣的模型？
生：二次函數、冪函數型、對數型、指數型好像都有點像（學生有些不太確定）．
師：那同學們，你們覺得是什么型呢？
生：二次函數、冪函數型、對數型、指數型......（學生各種答案都有）
【設計意圖】如果直接拋出一個實際問題讓學生來解決，學生會感到沒有頭緒，不知道該從哪里入手．教師在探究前先搭建臺階，通過啟發(fā)性的提問，引導學生從實際問題中抽象出數學問題，幫助學生找到解決問題的突破點，理清思路，完善思維，也即是要建立一個函數模型來進行預估．培養(yǎng)學生數形結合的能力，對數據的分析處理能力以及用函數解決實際問題的思想意識．
環(huán)節(jié)2：生成性提問，建構新知.
師：到底是哪一種型呢？請同學們根據自己的設想，分組討論，找出你們心中的最優(yōu)模型．
（學生按照自己的設想分組，每組選定一種函數模型.兩人為一小組用待定系數法設出心目中的解析式，通過函數計算器求出解析式，在組內進行首輪PK，挑選出精確度最高的模型．）
【設計意圖】（1）學生有了解決方案之后，在模型的選擇上產生了爭議． 教師通過這種自然生成的提問，激發(fā)了學生的興趣與思維的積極性，給學生嘗試的機會，讓學生主動探究、思考、歸納解決實際問題的基本步驟，在實踐中建構新知．（2）讓學生經歷利用函數擬合解決實際問題的全過程，提高提取數據，分析數據的能力．
環(huán)節(jié)3：創(chuàng)新性合作，解決問題.
每組派出兩名代表上臺共同展示本組的最優(yōu)模型，采取一人說模型一人展模型的創(chuàng)新性合作方法，與其它組的模型進行二輪PK，教師點評，二輪PK后獲勝的模型就是本節(jié)課的最優(yōu)模型，最后師生共同得出本節(jié)課的最優(yōu)模型，用它們來解釋實際問題．
【設計意圖】讓學生真正成為課堂的主人，共同參與模型的評判，通過選擇不同的函數模型來解決這個具體的問題并從形和數兩個角度對不同模型的優(yōu)劣進行評價，提高學生分析數據的能力，讓學生感受到應用問題的現實意義，激發(fā)學生的探索精神和學習熱情．
4.反思建模 明辨篤行
師生共同回顧本節(jié)課的學習過程，歸納數學建模的過程與方法．
師：通過今天的學習，大家想想看，運用函數模型解決實際問題的一般步驟是什么？
（師生通過一問一答的方式共同歸納出運用函數模型解決實際問題的一般步驟）
【設計意圖】通過本課的實例引導學生總結出建立函數模型解決實際問題的思維流程，總結一般方法，體會數學來源于生活，應用于生活，加深對數學應用問題的理解，培養(yǎng)學生的反思意識和科學態(tài)度．
5.學以致用 知行合一
課后作業(yè)：
請你利用本節(jié)課所學的知識和方法，建立適當的模型解決你生活中的某一問題，并寫一篇小論文．
【設計意圖】通過開放式的作業(yè)，打開學生的視野，引領學生自己去發(fā)現、提出新的問題并研究，在研究中讓學生再次經歷學數學、用數學的過程，鞏固所學，提高數學的實踐能力．
（課后作業(yè)在課堂上沒來得及布置，由教師課下布置學生完成）
三、課后反思
在現實生活中，有很多現象涉及到兩個變量之間的關系，又因為現實問題的復雜性，變量的變化規(guī)律往往受多種因素的影響，因此，實際問題多數需要建立擬合函數模型來近似處理．所以，本節(jié)課的內容對于剛進入高中階段學習的高一同學來說，是認識數學的應用價值的絕佳載體．
為了讓學生更好的認識數學問題來源于實踐，同時提升學生應用數學的能力，本節(jié)課讓學生自主回顧學過的常見函數模型，體會函數在生活中的廣泛應用，生動形象的抽象出指數型函數模型對學生的人生意義，幫助學生形成必備的品格和關鍵能力．再通過一個貼近生活的簡單問題，要求學生在實際情境中從數學的視角發(fā)現問題、提出問題，分析問題、構建模型，借助函數計算器和幾何畫板求解模型，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題．激發(fā)了學生學習的興趣和主動性．我認為本節(jié)課做得較好的有以下幾點：
（1）源于生活的新穎設計
通過設置源于生活的模型展示、模型感知和模型探究環(huán)節(jié)，引起學生有意的注意，激發(fā)學習的熱情，從而產生學習動機，使學生感悟到數學與生活的聯系以及基本數學知識學習的必要性．在學生已有知識范疇內創(chuàng)設問題情境，立意新穎，讓學生自然而然的去探求和解決實際問題，潛移默化的幫助學生梳理舊知、構建新知，使學生的認知能力和知識的掌握相伴而行．
（2）先進靈活的教學手段
由于數據計算復雜，不好處理，因此本節(jié)課充分利用技術的優(yōu)勢，運用函數計算器和幾何畫板完成函數的擬合，讓學生對函數模型作深入的探究和分析，最大限度的發(fā)揮學生的主觀能動性．在小組討論環(huán)節(jié)中，學生通過函數計算器算出各種函數模型的解析式，先在組內PK，找到組內的最優(yōu)模型，在展示環(huán)節(jié)中，兩人一組上臺展示，一人說一人在幾何畫板上操作．既有數據的計算又有圖形的展示，讓模型的選擇更有說服力．
（3）自然生成的探究活動
問題有了解決方案之后，學生在模型的選擇上產生了爭議． 這讓每個學生都想選擇一個自己認為相符的函數模型算算看，但是解析式的選擇和計算還是要花一些時間的，于是有相同想法的學生必然會自動合為一組，相互合作，共同完成問題的探究．這種自然生成的探究活動更能激發(fā)學生的學習熱情，發(fā)揮學生的主觀能動性和團結協(xié)作的意識，使學生的思維穿梭于問題之間，讓學生從數學的角度觀察問題、思考問題，從數據計算中，從形象直觀中生成解決問題的智慧，既符合學生思維水平又不失思考價值．
（4）愉快自然的課堂情境
整個課堂教學過程中，教師教態(tài)得體，親和力強，在問題的預設和引導中突出學生的主體地位，給予學生足夠的空間自由發(fā)揮；而學生積極配合，廣泛參與，主動探究，整個教學如行云流水，樸實，自然，和諧，從而較好的完成了教學目標．
當然，教學就是一門有遺憾的學問，雖然設計有了意料中的收獲，但仍有多處遺憾：
（1）在問題的探究和學生的展示中都是模型的PK，PASS掉的模型就直接舍棄掉了，其實還可以在原模型的基礎上不斷的進行改進，使其精確度更高、更貼近現實，由于時間的關系，這一點在本課中并沒有涉及到．
（2）由于計算工具有限，只有函數計算器，對于太多數據的函數模型的擬合，計算起來會有一些困難，為了順利的推進整堂課，問題中的數據可能設置得相對簡單了一點．
參考文獻： 北京師范大學附屬實驗中學 劉 丹《函數的應用》教學設計
深圳外國語學校 朱紅光《3.2.2函數模型應用實例》教學設計
視頻來源：優(yōu)質課網 www.jixiangsibao.com
