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視頻標(biāo)簽：圓

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十四章圓數(shù)學(xué)活動(dòng)-北京市第一O一中學(xué)

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十四章圓數(shù)學(xué)活動(dòng)-北京市第一O一中學(xué)

1.指導(dǎo)思想與理論依據(jù) 
總體設(shè)計(jì)思路包括四個(gè)部分：①?lài)L試?yán)斫鈹?shù)學(xué)教育家波利亞的名言；②嘗試將折紙活動(dòng)貫穿幾何教學(xué)；③從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)角度設(shè)計(jì)本課；④從整體把握的角度設(shè)計(jì)本課： 一. 用波利亞的名言指導(dǎo)折紙教學(xué) 
“拿一個(gè)有意義又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題就好像通過(guò)一道門(mén)戶(hù)，把學(xué)生引入一個(gè)完整的領(lǐng)域.”——波利亞 
其中，有意義是指，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生主動(dòng)地、富有個(gè)性地學(xué)習(xí),不斷提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力（摘自新課標(biāo)）” 
不復(fù)雜是指：敘述簡(jiǎn)潔，容易理解和入手，方法較多，不同層次學(xué)生都有收獲； 
發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面以及引入完整的領(lǐng)域是指：首先折紙有公理保證——是比歐式幾何擴(kuò)大化的公理體系；其次折紙可以解決三次方程問(wèn)題，由于優(yōu)于能解決二次方程問(wèn)題的尺規(guī)作圖，因此能實(shí)現(xiàn)尺規(guī)作圖不可能問(wèn)題. 
 
二. 嘗試把折紙活動(dòng)貫穿整個(gè)幾何教學(xué) 
1. 教材上幾乎在幾何的每一章節(jié)都有折紙、剪紙活動(dòng)：如比較兩條線(xiàn)段大小，折黃金
分割點(diǎn)等，折紙活動(dòng)都是學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)、寓教于樂(lè)的活動(dòng)形式； 2. 此外，我也開(kāi)發(fā)了一些折紙活動(dòng)案例：如用矩形紙片折等腰三角形、折平行四邊形、
折矩形一邊的多種分點(diǎn)、折正方形一邊的三等分點(diǎn)等，其中《折紙中的幾何學(xué)》被選為北京市第六屆數(shù)學(xué)論壇的公開(kāi)課； 
3. 落實(shí)折紙活動(dòng)：因?yàn)檎n堂時(shí)間有限，動(dòng)手活動(dòng)又要發(fā)揮作用，因此可以將折紙活動(dòng)
（如：折線(xiàn)段的中點(diǎn)；動(dòng)手操作折紙7公理）留作作業(yè)，第二節(jié)課展示三分鐘.   
三. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 
1. 歐拉曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)，需要觀察，還需要實(shí)驗(yàn)”. 
2. 《教育規(guī)劃綱要》明確指出，提高人才培養(yǎng)質(zhì)量要著力提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐
能力、創(chuàng)新能力”. 
3. 通過(guò)參加教研員劉忠新老師主持的市級(jí)規(guī)劃課題《基于創(chuàng)新能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教
學(xué)研究》，我進(jìn)一步了解到通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的特點(diǎn)——可以使高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容生動(dòng)化、具體化、可視化，可以讓學(xué)生體驗(yàn)前人研究數(shù)學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程. 
總之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教育教學(xué)的重要組成部分，是教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革工程的重要建設(shè)內(nèi)容.我們教師在教學(xué)中應(yīng)該不遺余力的創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn). 
 
 
                    
             
                    
                            四. 整體把握 
2016年3月，我有幸參加了北京市教育學(xué)院舉辦的“協(xié)同創(chuàng)新”學(xué)校項(xiàng)目，在聽(tīng)講座、上公開(kāi)課過(guò)程中，感受整體把握的樂(lè)趣，整體把握突破初中數(shù)學(xué)教學(xué)的局限性，而從更連貫的觀點(diǎn)看待學(xué)科數(shù)學(xué)和教育數(shù)學(xué)之間的關(guān)系. 
在數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的理解上，有縱向發(fā)展+橫向聯(lián)系的能力，并貫穿于教師的日常教學(xué)中. 整體把握主要包括：數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生的學(xué)習(xí). 
2.教學(xué)背景分析 
我將從學(xué)科背景、教材背景、學(xué)生背景三方面敘述： 
一. 學(xué)科特點(diǎn)： 
折圓形紙片是幾何的內(nèi)容，我覺(jué)得應(yīng)該先理解幾何這門(mén)學(xué)科的本質(zhì)、發(fā)展歷程，以及核心素養(yǎng)等內(nèi)容——事實(shí)上，數(shù)學(xué)家已經(jīng)給我們答案： 
1. 阿蒂亞在《數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性》中概括說(shuō)：在數(shù)學(xué)中，幾何是“視覺(jué)思維”占主導(dǎo)地位，而
代數(shù)則是“有序思維”占主導(dǎo)地位，這種區(qū)分也許可以用另一對(duì)詞刻畫(huà)，即“洞察”對(duì)“嚴(yán)格”，兩者在真正的數(shù)學(xué)研究中起著本質(zhì)的作用.我們的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展這兩種思維模式，過(guò)分強(qiáng)調(diào)一種而損害另一種是錯(cuò)誤的.幾何并不只是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，而且是一種思維方式，他滲入數(shù)學(xué)的所有分支. 
2. 幾何學(xué)的發(fā)展歷程：經(jīng)驗(yàn)幾何、歐式幾何、解析幾何、變換幾何、近現(xiàn)代幾何學(xué).其
中經(jīng)驗(yàn)幾何是人們通過(guò)動(dòng)手操作等手段獲得對(duì)幾何實(shí)物的簡(jiǎn)單描述，每個(gè)人的發(fā)展和學(xué)科的發(fā)展應(yīng)該是自相似的，經(jīng)驗(yàn)幾何與經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)也是許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開(kāi)始，也就是說(shuō)不能改丟掉對(duì)動(dòng)手操作等環(huán)節(jié)，教師也應(yīng)該有這個(gè)意識(shí)，盡可能地創(chuàng)造條件給學(xué)生動(dòng)手活動(dòng). 
3. 核心素養(yǎng)：這次課程改革中提出的六大核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、
數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng).）本節(jié)課主要體現(xiàn)為“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模與直觀想象等”.  
二. 教材背景 
教材上沒(méi)有現(xiàn)成的課，需要老師去整合、去挖掘，提供學(xué)生一個(gè)門(mén)戶(hù)，即動(dòng)手操作，又能聯(lián)系所有的圖形，在學(xué)生已知、未知、想知之間建立聯(lián)系，開(kāi)啟智慧之門(mén). 
 
三. 學(xué)生背景 
我將從學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和能力儲(chǔ)備兩方面分析，以及學(xué)生對(duì)兩者的已知、未知、想知，以及怎么知之間的內(nèi)容和聯(lián)系： 1. 知識(shí)方面： 
(1) 已知：初三學(xué)生已知三角形、四邊形、其他正多邊形、圓的性質(zhì)、判定；中心對(duì)稱(chēng)、軸
對(duì)稱(chēng)等變換的定義、作圖方法、性質(zhì)等；在代數(shù)章節(jié)中也學(xué)過(guò)了拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)等曲線(xiàn)型，更在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受到橢圓和圓可能有著千絲萬(wàn)縷的模糊認(rèn)識(shí)； (2) 未知： ① 圓是橢圓的特例； ② 橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)都是圓錐曲線(xiàn)，不知道三者是有密切聯(lián)系的； ③ 學(xué)過(guò)的眾多圖形該如何分類(lèi)； 
(3) 怎么知：把握基本原則：特殊到一般、從已知到未知、從易到難等 
① 如何發(fā)現(xiàn)圓和橢圓的關(guān)系？折出圓，之后折橢圓，再觀察橢圓和得到的圓之間的關(guān)系； ② 如何由橢圓想到雙曲線(xiàn)？運(yùn)用“分類(lèi)討論”——將點(diǎn)從圓內(nèi)移到圓外，便可得到雙曲線(xiàn)； ③ 如何想到折出拋物線(xiàn)？能否將背景圖形進(jìn)行分類(lèi)——圓形紙片大膽改為矩形紙片？ ④ 如何想到其他折法？ ⑤ 如何將圖形分類(lèi)？  
 
                    
             
                    
                            2. 從能力上看 
(1) 學(xué)生的優(yōu)勢(shì)：①對(duì)核心素養(yǎng)中的“邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算”等掌握較好，②對(duì)圖形的性質(zhì)、判
定掌握較好； 
(2) 不足：①學(xué)生接觸過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（如剪紙折紙，制作模型等），但動(dòng)手機(jī)會(huì)不多，動(dòng)手能力
不足，②對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的掌握不是很靈活，③對(duì)數(shù)學(xué)思想方法（如分類(lèi)思想等）的體會(huì)還不夠深刻； 
 3.教學(xué)目標(biāo)(含重、難點(diǎn)) 
這個(gè)三維目標(biāo)，分別對(duì)應(yīng)學(xué)會(huì)、會(huì)學(xué)、樂(lè)學(xué)三個(gè)方面.關(guān)注過(guò)程性、學(xué)科本質(zhì)和學(xué)科思想 一. 知識(shí)能力 
1. 學(xué)生折紙得到一些常見(jiàn)圖形，掌握三角形、四邊形、圓等性質(zhì)和判定； 2. 理解圓的多種對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用和美感； 
3. 培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力，了解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和理論證明之間的關(guān)系； 4. 理解分類(lèi)的方法、了解研究的主要原則等； 二. 過(guò)程方法 
對(duì)此，我解讀為兩部分，過(guò)程強(qiáng)調(diào)的是親歷，方法強(qiáng)調(diào)的不僅是學(xué)生掌握具體的技能，而且也包括教師進(jìn)行的學(xué)法指導(dǎo).應(yīng)該是知識(shí)的學(xué)習(xí)，技能的訓(xùn)練，情感的體驗(yàn)，審美的陶冶，它們之間如影隨形，相互交織，融為一體. 
1. 讓學(xué)生在動(dòng)手折紙活動(dòng)中感受圓的對(duì)稱(chēng)之美、各種圖形的判定方法； 2. 在自由發(fā)言、小組討論中，鍛煉表達(dá)與合作等能力； 
3. 教師適當(dāng)進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)：不僅有圖形的分類(lèi)方法，也有折出圖形就是應(yīng)用判定這樣的點(diǎn)
撥，更有對(duì)正確的數(shù)學(xué)觀的指導(dǎo)等. 三. 情感態(tài)度價(jià)值觀——要體現(xiàn)人文性！ 
    最重要的是教師用自己健康的情感、人生態(tài)度與價(jià)值選擇去影響學(xué)生，通過(guò)身體力行的示范活動(dòng)來(lái)，并創(chuàng)造有利于學(xué)習(xí)主體嘗試選擇、參與和體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，讓他們?cè)谶@種嘗試的實(shí)踐行動(dòng)中形成個(gè)性化的情感、態(tài)度與價(jià)值認(rèn)知，形成個(gè)人的情感、態(tài)度與價(jià)值觀. 
1. 經(jīng)歷動(dòng)手折紙的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生既敢于嘗試，又嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度；折紙充滿(mǎn)了探索
與發(fā)現(xiàn)，也有很多困難和考驗(yàn).經(jīng)過(guò)努力，會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，并由此產(chǎn)生強(qiáng)烈的成就感，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心. 
2. 通過(guò)折紙的方式解決幾何數(shù)學(xué)，可以讓學(xué)生掌握各種幾何圖形的特性，領(lǐng)悟幾何圖形中
存在的數(shù)學(xué)美，從而潛移默化地受到美的教育，培養(yǎng)學(xué)生的審美能力. 
3. 折紙是一項(xiàng)細(xì)致的工作，需要按順序地進(jìn)行，折紙能培養(yǎng)學(xué)生按步驟有順序地認(rèn)真做事
的良好習(xí)慣.還可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、注意力、持之以恒、一絲不茍的性格. 
4. 折紙能鍛煉人的綜合協(xié)調(diào)能力，包括手、眼和大腦；提高動(dòng)手操作能力.比如學(xué)習(xí)折紙需
要用眼睛看折疊的過(guò)程，并在看的同時(shí)要思考，理解為什么要這樣折；在折的時(shí)候，你要親自動(dòng)手，其間遇到問(wèn)題，還要仔細(xì)去想剛才別人是怎么疊的.這樣就可以使你開(kāi)動(dòng)腦筋、活躍思維，從而達(dá)到手、眼、腦三位一體的綜合協(xié)調(diào).  
四. 重難點(diǎn)分析： 1. 教學(xué)重點(diǎn)： 
(1) 折圓形紙片得到一些常見(jiàn)的圖形； 
(2) 明確折紙得到圖形之前要聯(lián)想到圖形的判定方法； (3) 逆向思維、分類(lèi)思想的應(yīng)用； 2. 教學(xué)難點(diǎn)： 
(1) 引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題數(shù)學(xué)化，即明確“折紙得到某圖形，就是利用圖形的判定”； (2) 讓學(xué)生逐步理解并應(yīng)用分類(lèi)討論的思想； 
(3) 讓學(xué)生感受研究問(wèn)題的完整序列：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題→提出問(wèn)題→分析問(wèn)題→解決問(wèn)題；以及培
養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力、創(chuàng)新精神的培養(yǎng)；. 教法、學(xué)法、教學(xué)手段 
教法是指授課者運(yùn)用哪些教學(xué)手段，采用什么樣的教學(xué)方法來(lái)完成教學(xué)內(nèi)容的.學(xué)法是指授課教師在教學(xué)過(guò)程中教給學(xué)生學(xué)習(xí)的方法和策略.它的意義可以用教育家葉圣陶先生說(shuō)的話(huà)來(lái)概括“嘗謂教師教各種學(xué)科，其最終目的在達(dá)到不復(fù)需教，而學(xué)生能自為研索，自求解決.” 
簡(jiǎn)言之，教和學(xué)既要適應(yīng)一節(jié)課的內(nèi)容，也要和諧統(tǒng)一，更要達(dá)到“教，是為了不教”——授人以魚(yú)不如授人以漁的效果. (1) 教法 
① 為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐性，教學(xué)中讓學(xué)生獨(dú)立思考、充分操作、自由表達(dá)等； ② 又為了體現(xiàn)“整體把握”，教師采用討論法、演示法、講授法等； (2) 學(xué)法 
① 為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐性，學(xué)生采取探究學(xué)習(xí)法、合作學(xué)習(xí)法等； 
② 當(dāng)學(xué)生思維有障礙時(shí)，教師適時(shí)“啟發(fā)式”問(wèn)題教學(xué)法，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題之處，適當(dāng)點(diǎn)撥； (3) 教學(xué)手段：PPT、幾何畫(huà)板、磁力黑板、板書(shū)、圓形紙片等穿插使用. 
4.教學(xué)過(guò)程與教學(xué)資源設(shè)計(jì)（可附教學(xué)流程圖） 
 
  
  
  
【環(huán)節(jié)一】 問(wèn)題引入 
大家都聽(tīng)說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)吧”，比如《幾何原本》就記載過(guò)的尺規(guī)作圖、傳統(tǒng)的折紙、教學(xué)模型，以及現(xiàn)代的幾何畫(huà)板等都是.它是以動(dòng)手實(shí)踐為主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，但在數(shù)學(xué)中，實(shí)踐還需要理論證明！ 
如人們嘗試，發(fā)現(xiàn)無(wú)法用尺規(guī)作出正十七邊形，便默認(rèn)不行，直到高斯從理論上給出了能用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件，才解決了困擾人類(lèi)兩年多年來(lái)的難題. 
 [設(shè)計(jì)意圖]：通過(guò)圖形和例子等介紹數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，目的一方面是讓學(xué)生直觀的了解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，另一方面是也是通過(guò)例子感受在數(shù)學(xué)中僅有實(shí)驗(yàn)是不夠的，還需要有理論證明；最后也是給學(xué)生傳達(dá)嚴(yán)謹(jǐn)堅(jiān)韌的科學(xué)態(tài)度. 
 
這節(jié)課，我們就通過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，來(lái)感受一下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的樂(lè)趣，以及與證明的關(guān)系，希望由此開(kāi)啟你的智慧之門(mén). 
【環(huán)節(jié)1】 問(wèn)題引入 
【環(huán)節(jié)2】 現(xiàn)場(chǎng)操作 
【環(huán)節(jié)3】 探究操作 
 
【環(huán)節(jié)4】 課堂小結(jié) 
1、 以問(wèn)題引入介紹數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和理論證明的關(guān)系； 2、 拋出本節(jié)課的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，并提出理論證明的要求； 1、 操作，并展示學(xué)生折疊的成果； 2、 歸納圓的對(duì)稱(chēng)性； 
1、 指導(dǎo)學(xué)生將得到的圖形歸類(lèi)，預(yù)測(cè)還能得到的圖形； 2、 探究折出某些圖形的新方法、探究其他曲線(xiàn)型圖形； 1、 從知識(shí)技能、思想方法、學(xué)習(xí)形式、心靈感悟等方面總結(jié)； 2、 布置作業(yè).  
 
                    
             
                    
                            題目：用圓形紙片折紙，看你能折出哪些常見(jiàn)的圖形？ 
 
 
【環(huán)節(jié)二】 現(xiàn)場(chǎng)操作 
給學(xué)生時(shí)間折紙，之后讓學(xué)生自由展示得到的成果，并說(shuō)明得到圖形的理由： 
大部分學(xué)生能得到正方形、正八邊形、正三角形、正六邊形、等腰三角形等常見(jiàn)圖形，教師對(duì)好的方法鼓勵(lì)，同時(shí)對(duì)一些方法予以點(diǎn)評(píng). 
 
其中，重點(diǎn)分析正三角形、矩形、菱形的方法. 一. 【正三角形】 
1 第一步，分析如何得到正三角形； 
因?yàn)橐�用圓形紙片折紙，因此要回顧圓和正三角形之間的關(guān)系 ①問(wèn)題一：三角形的內(nèi)角是圓中的什么角？——圓周角； 
②問(wèn)題二：圓周角多少度？如何構(gòu)造？——學(xué)生自然會(huì)想到120°，之后利用圓的軸對(duì)稱(chēng)性，轉(zhuǎn)化為構(gòu)造60°，再轉(zhuǎn)化為構(gòu)造直角邊和斜邊的比為1:2的直角三角形，再轉(zhuǎn)化為構(gòu)造半徑的一半； 
2 第二步，給學(xué)生時(shí)間現(xiàn)場(chǎng)操作，并現(xiàn)場(chǎng)折紙得到正六邊形. 3 提問(wèn)學(xué)生用到圓的什么性質(zhì)：軸對(duì)稱(chēng)性！ 
 
 [設(shè)計(jì)意圖]：這個(gè)過(guò)程是先讓學(xué)生自由表達(dá)、展示得到的圖形，再帶領(lǐng)學(xué)生逆向分析，最后讓學(xué)生動(dòng)手操作，目的是回應(yīng)開(kāi)篇提到的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和理論證明之間的關(guān)系，一定要思考，要有理論保證，并且給學(xué)生滲透逆向思維的用處. 
二. 【矩形】對(duì)于矩形，可以分展示→分析→操作→總結(jié)四個(gè)步驟： 1. 展示：現(xiàn)場(chǎng)展示學(xué)生折紙的過(guò)程和結(jié)果； 
方法一：如圖，學(xué)生利用圓的軸對(duì)稱(chēng)性得到矩形，將A與O重合，得到折痕EF，同理得到折痕CD，順次連結(jié)E，C，D，F(xiàn)，便得到矩形. 
教師及時(shí)贊揚(yáng)學(xué)生的想法和操作能力，之后提問(wèn)還有其他折法嗎？之后帶領(lǐng)學(xué)生分析矩形的定義和判定. 
2. 分析：現(xiàn)場(chǎng)帶領(lǐng)學(xué)生分析折紙得到矩形的依據(jù)，引學(xué)生，他們將問(wèn)題數(shù)學(xué)化： 
定義和判定定理是我們構(gòu)造圖形的依據(jù)！ 
矩形的定義：含有一個(gè)直角的平行四邊形是矩形； 矩形的判定定理：對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形； 
ML
A
OB
T
S
R
Q
M
L
AO
B
A
B
C
D
A
B
C
MLC
D
PA
OB
P
N
MLC
D
A
OB
 
                    
             
                    
                            矩形的判定定理：含有三個(gè)直角的四邊形是矩形； 
[設(shè)計(jì)意圖]：學(xué)生的難點(diǎn)是不能利用圖形的判定方法得到圖形，或者無(wú)法建立之間的聯(lián)系——無(wú)論是折紙也好，還是尺規(guī)作圖也好，還是證明題目也好，得到一個(gè)圖形，都要利用定義和判定，讓學(xué)生再次明確數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有時(shí)候還需要扎實(shí)的理論基礎(chǔ)作為保證；為接下來(lái)折紙得到菱形、梯形、圓等做好鋪墊. 3. 操作： 
方法二：如圖，任意折出兩條直徑，順次連結(jié)直徑的端點(diǎn)，便可得到矩形. 4. 總結(jié)： 
教師詢(xún)問(wèn)學(xué)生，兩種方法分別利用了圓的什么性質(zhì)？ 學(xué)生（預(yù)設(shè)）軸對(duì)稱(chēng)性、中心對(duì)稱(chēng)性； 
   
三. 【菱形】類(lèi)比矩形，研究菱形，可以按照分析→操作→總結(jié)三個(gè)步驟進(jìn)行： 1. 分析： 
(1) 先分析菱形的定義和判定，只是讓學(xué)生分析，在折紙當(dāng)中，哪種方法最容易實(shí)現(xiàn)？
理由？——折紙活動(dòng)容易得到直角，所以選擇“對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形”這個(gè)判定. 
菱形的定義：鄰邊相等的平行四邊形是菱形； 
菱形的判定1：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形； 菱形的判定2：四條邊相等的四邊形是菱形； (2) 分析能否在原有圖形基礎(chǔ)上得到菱形？ 2. 操作：兩次對(duì)折圓形紙片得到互相垂直的兩條直徑以及圓心O，再將圓形紙片折起使得A
與O重合，B與O重合，折痕與半徑OA，OB的交點(diǎn)分別為V，W，順次連接，則得到菱形. 
 
3. 總結(jié)：①多種方法要優(yōu)選！②在正方形基礎(chǔ)上得到菱形，用到什么數(shù)學(xué)思想？——轉(zhuǎn)化！ 
【環(huán)節(jié)三】 探究操作 
按照歸類(lèi)圖形→折某些直線(xiàn)型圖形→折曲線(xiàn)型圖形→某些圖形的其他方法四個(gè)步驟進(jìn)行. 
一. 指導(dǎo)學(xué)生將得到的圖形歸類(lèi)，預(yù)測(cè)還能得到的圖形、以及其他方法； 
第一步，帶領(lǐng)學(xué)生分析：已有→想有→如何有 
(1) 已有：通過(guò)觀察黑板上的圖形發(fā)現(xiàn)已有：正方形、正八邊形、正三角形、正
六邊形、矩形、菱形、三角形等； (2) 想有：其他更為豐富的圖形； 
(3) 如何有：教師點(diǎn)撥學(xué)法——雜亂無(wú)章，原因是之前沒(méi)有條理，因此我們可以將所得的圖形歸類(lèi)，來(lái)推測(cè)還有哪些圖形沒(méi)有得到： 
[設(shè)計(jì)意圖]①學(xué)法指導(dǎo)應(yīng)該是教師占主導(dǎo)地位的，學(xué)生的思維有局限處，正是我們出手點(diǎn)撥之時(shí)！但是仍然是點(diǎn)到為止；②對(duì)于分類(lèi)討論的思想的理解和應(yīng)用，一直以來(lái)都是學(xué)生的難點(diǎn)，我們應(yīng)該抓住任何一個(gè)教育的契機(jī)，讓學(xué)生體會(huì)，學(xué)習(xí)。 
第二步，分類(lèi)： 
 
【問(wèn)題1】教師提問(wèn)學(xué)生，分類(lèi)之后，你能發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題？ 生（預(yù)設(shè)）：沒(méi)有折出來(lái)的圖形，直線(xiàn)型的有平行四邊形、梯形、正五邊形、正九邊形；曲線(xiàn)型圖形有圓、橢圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)； 
【問(wèn)題2】你們的感覺(jué)很敏銳，對(duì)于沒(méi)有折出來(lái)的圖形，你研究的順序是什么？ 生（預(yù)設(shè)）：先折平行四邊形、梯形；再?lài)L試折曲線(xiàn)型； 
【教師總結(jié)】你們的感覺(jué)又是對(duì)的，這是按照由易到難的順序進(jìn)行的；接下來(lái)，我們就來(lái)分析如何折紙得到平行四邊形，最后折紙得到；以上就是我們研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的完整序列：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題→提出問(wèn)題→分析問(wèn)題→解決問(wèn)題： 
 [設(shè)計(jì)意圖]①傳達(dá)分類(lèi)討論思想的應(yīng)用和具體方法；②培養(yǎng)學(xué)生建立歸類(lèi)、有序思維的習(xí)慣；③呈現(xiàn)給學(xué)生完整的研究問(wèn)題的程序：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題→提出問(wèn)題→分析問(wèn)題→解決問(wèn)題；其中，我們教師要做的不是完全放手，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)問(wèn)題就是需要智慧，更需要方法，我們教師就要點(diǎn)撥方法，而且是點(diǎn)到為止，讓學(xué)生自己品嘗到發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的快樂(lè)，而且能掌握一些可行的方法，進(jìn)而能在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，培養(yǎng)創(chuàng)新能力. 
二. 探究沒(méi)有折出來(lái)的直線(xiàn)型圖形 
(1) 平行四邊形 
類(lèi)比菱形的折紙過(guò)程，可以按照分析→優(yōu)選→操作→總結(jié)的順序進(jìn)行： 第一步，分析——平行四邊形的判定： 
第二步，優(yōu)選——選出一個(gè)折紙最簡(jiǎn)單的判定是什么？ 第三步，操作——獨(dú)立操作，之后展示交流； 
第四步，總結(jié)——在矩形基礎(chǔ)上得到平行四邊形，用到什么思想方法？轉(zhuǎn)化.  [設(shè)計(jì)意圖] 
① 仍然是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和理論證明之間的關(guān)系——一定要有理論保證， ② 再次明確折紙得到圖形，就是利用圖形的判定，而且首先要明確判定， ③ 教師還要對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)法的指導(dǎo)——即多種方法要優(yōu)選，選出最簡(jiǎn)單的折法 
④ 其他的方法，待學(xué)生課下繼續(xù)探究，而不是都展示出來(lái)，仍然是希望通過(guò)這節(jié)課，
開(kāi)啟學(xué)生的智慧之門(mén)。 
⑤ 最后，再一次進(jìn)行思想方法的滲透，教師補(bǔ)充提問(wèn)：為了得到平行四邊形，我們借
助于矩形，利用矩形邊、角、對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)，這其中用到了什么數(shù)學(xué)思想方法呢？——轉(zhuǎn)化！化難為易，化已知為未知. 對(duì)此，只給學(xué)生展示課程剛開(kāi)始時(shí)候的尺規(guī)作圖作正五邊形的圖形，課堂上不講授，留作作業(yè)，鼓勵(lì)學(xué)生自己查資料，了解更多的折法，后動(dòng)手折紙，目的是開(kāi)啟學(xué)生的智慧之門(mén).  
三. 探究曲線(xiàn)型圖形 
圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn) (1) 折圓 
首先，指導(dǎo)學(xué)生分析得到圓的方法——就是判定，根據(jù)圓的定義，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓，問(wèn)題為定點(diǎn)在哪？定長(zhǎng)又是多少？ 
[設(shè)計(jì)意圖]：再一次回到圖形的判定上，讓學(xué)生再次感受數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和理論證明之間的關(guān)系，一定要有理論證明，而且兩者之間是相輔相成的； 
經(jīng)過(guò)分析圓的定義，定點(diǎn)容易找，但是定長(zhǎng)如何找？發(fā)現(xiàn)圓的半徑是個(gè)定長(zhǎng)，如何得到新的定長(zhǎng)？由于折紙活動(dòng)容易得到線(xiàn)段的中點(diǎn)、角的平分線(xiàn)；因此只要折出線(xiàn)段的中點(diǎn)就能找到定點(diǎn)，之后折出更多的折痕，即可. 
之后引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)理：每一條折痕都是圓的弦，且弦心距是半徑的一半，即垂足到圓心的距離是定值，再畫(huà)與每一條折痕相切的曲線(xiàn)，本質(zhì)上是畫(huà)出眾多的“垂足”，利用圓的定義“圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”，得到圓. 
 
(2) 橢圓： 
按照：分析→操作→聯(lián)系的順序進(jìn)行： 第一、分析： 
【問(wèn)題1】你感覺(jué)橢圓和那個(gè)圖形關(guān)系比較密切？ 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：圓； 
【教師鼓勵(lì)】感覺(jué)完全正確，尤其幾何這門(mén)學(xué)科非常需要明銳的感覺(jué)——數(shù)學(xué)家阿蒂亞在《數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性》中指出，幾何這門(mén)學(xué)科是視覺(jué)占主導(dǎo)地位的。 
【問(wèn)題2】你知道怎么分析得到橢圓了嗎？ 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：先回顧得到新圓的過(guò)程，再發(fā)散思維吧； 【問(wèn)題3】得到新圓的操作關(guān)鍵步驟是什么？ 
學(xué)生（預(yù)設(shè)）第一步、選了一個(gè)點(diǎn)——這個(gè)點(diǎn)是圓心，第二步、去折紙； 
RS
DA
O
B
C
PFGED
C
B
M
A
O
O
O
 
                    
             
                    
                            【問(wèn)題4】你覺(jué)得這兩個(gè)步驟哪個(gè)更能發(fā)散思維？怎么發(fā)散思維？ 學(xué)生（預(yù)設(shè)）第一個(gè)！嘗試取圓內(nèi)不同于圓心的任意一個(gè)點(diǎn)； 【教師鼓勵(lì)】有時(shí)候，找到關(guān)鍵，才能水到渠成！ 第二、操作 
在圓內(nèi)找到不同于圓心的任意一點(diǎn)，仍然去折紙，使得圓周經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)，得到很多折痕，再畫(huà)一條光滑的曲線(xiàn)，與這些折痕都相切，便得到橢圓。 
第三、聯(lián)系 
【問(wèn)題5】動(dòng)手折紙得到了橢圓，你能說(shuō)說(shuō)它和圓的聯(lián)系嗎？ 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：圓是特殊的橢圓。 [設(shè)計(jì)意圖]： 
(1) 培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，只有從已知向未知探索，才有思維的提升，能力的進(jìn)步，更能
落實(shí)核心素養(yǎng)中的直觀想象等等； 
(2) 將學(xué)生未知、隱隱約約知道的橢圓和圓的聯(lián)系，通過(guò)這個(gè)折紙活動(dòng)充分感受并表達(dá)出來(lái)； (3) 為進(jìn)一步讓學(xué)生感受分類(lèi)思想的應(yīng)用，為接下來(lái)進(jìn)一步將點(diǎn)的位置分類(lèi)，而產(chǎn)生雙曲線(xiàn)
做好鋪墊； 
(3) 折雙曲線(xiàn) 
按照：分析→操作→聯(lián)系的順序進(jìn)行： 
【問(wèn)題1】回顧得到橢圓的過(guò)程，你還想進(jìn)行哪些操作？ 學(xué)生（預(yù)設(shè)）這個(gè)點(diǎn)選在圓外！ 
【教師鼓勵(lì)】大家利用了分類(lèi)的思想，進(jìn)而提升了思維能力和洞察能力； 【教師引導(dǎo)】時(shí)間關(guān)系，我們通過(guò)幾何畫(huà)板演示一下； 【問(wèn)題2】請(qǐng)你猜測(cè)這條曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)還是拋物線(xiàn)？ 
無(wú)論學(xué)生回答什么，教師都讓學(xué)生課下查閱資料，了解橢圓和雙曲線(xiàn)還是拋物線(xiàn)關(guān)系密切？密切的關(guān)系是什么？  
 
(4) 拋物線(xiàn)：對(duì)于初中階段常見(jiàn)的拋物線(xiàn)，則可以利用矩形紙片折紙，近似得到，
仍然利用軸對(duì)稱(chēng)和高中拋物線(xiàn)的定義. 
 
 
四. 探究折出某些圖形的新方法 
【問(wèn)題】教師提問(wèn)學(xué)生：請(qǐng)大家思考，對(duì)于有些已經(jīng)達(dá)到的圖形是否還有其他方法？ 
(1) 正六邊形 
我們按照尺規(guī)作圖的步驟可以得到正五邊形，這給我們一個(gè)很好的思路； 
【問(wèn)題】參考尺規(guī)作圖的方法可以得到正多邊形，你能得到常見(jiàn)的正多邊形嗎？ 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：會(huì)想到正六邊形的尺規(guī)作圖方法，如圖，以B為圓心以O(shè)B為半徑作圓與圓O相交于C，D，同理得到E，F(xiàn)，順次連接可證明得到正六邊形. 
N
M
O
F
P
N
M
O
F
P
NM
F
P
NM
F
P
 
                    
             
                    
                            【問(wèn)題】正六邊形的尺規(guī)作圖方法中“相等的半徑”能給你一些啟示么？ 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：利用兩個(gè)等圓的紙片得到正六邊形，如圖. 
 
(2) 圓 
【問(wèn)題】對(duì)于圓，我們利用圓的定義——到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形叫做圓，還有其他方法類(lèi)似得到圓嗎？ 
學(xué)生預(yù)設(shè)：絕大部分人會(huì)默不作聲； 
【問(wèn)題】請(qǐng)大家回憶一下折矩形、菱形、平行四邊形的過(guò)程是什么？ 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：先分析定義和判定定理，之后選擇最容易操作的，之后折圖形； 教師贊揚(yáng)同學(xué)們有良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)； 
【問(wèn)題】那我們回憶學(xué)過(guò)的圓有哪些判定？ 
學(xué)生預(yù)設(shè)：絕大多數(shù)人默不作聲，少數(shù)人會(huì)發(fā)現(xiàn)圓沒(méi)有別的判定； 教師引導(dǎo)：那么，我們先來(lái)梳理一下與圓有關(guān)的內(nèi)容： 

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
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
圓的定義圓的概念圓的弧、弦(直徑)、有關(guān)的角、弓形等圓的軸對(duì)稱(chēng)性：垂徑定理及推論圓的性質(zhì)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性：圓心角定理圓周角定理及推論圓點(diǎn)與圓
直線(xiàn)與圓圓與其他圖形圓與圓正多邊形與圓橢圓與圓與圓有關(guān)的計(jì)算 【問(wèn)題】通過(guò)上述梳理，你能發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題？ 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：圓沒(méi)有其他判定； 
【問(wèn)題】若想得到圓就需要利用圓與其他圖形的關(guān)系，并且只能近似得到，用哪個(gè)呢？ 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：正多邊形與圓； 
【問(wèn)題】在上幾節(jié)課中，我們了解到當(dāng)正多邊形的邊越來(lái)越多時(shí)，正多邊形就越來(lái)越接近圓——這正是劉徽割圓術(shù)的思想；因此為了得到圓，我們可以在圓中折出一個(gè)什么？ 
學(xué)生（預(yù)設(shè)）：正多邊形； 
提問(wèn)有思路的學(xué)生來(lái)回答：不斷的將圓對(duì)折，對(duì)折，再對(duì)折，得到扇形，再將從扇形中折出一個(gè)等腰三角形，打開(kāi)，得到一個(gè)正多邊形，對(duì)折4次，得到正十六邊形，如圖；如果你用更薄的紙，也最多能折12次（這是吉尼斯世界紀(jì)錄，因?yàn)橹笖?shù)的增長(zhǎng)是非常可怕的，對(duì)折12次之后總共的厚度為原來(lái)的2的12次方=4096，一張普通紙厚度0.065mm，12次之后得到266mm），實(shí)踐得不到圓，只能依靠我們的思維來(lái)證明！ 
【問(wèn)題】想象一下，你的圓形紙片是平面的一部分，沒(méi)有厚度，因此你便能折無(wú)限多次，此時(shí)，你的正多邊形和圓有什么關(guān)系？ 
學(xué)生（預(yù)設(shè)）：無(wú)限接近于圓； 【問(wèn)題】你用到了什么思想？ 學(xué)生（預(yù)設(shè)）：極限思想.  
[設(shè)計(jì)意圖] 
① 通常利用定義、判定來(lái)作為依據(jù)得到圖形是這節(jié)課學(xué)生經(jīng)歷的、并且能夠理解的部分，再一次重復(fù)這個(gè)過(guò)程，有利于學(xué)生真正理解和形成方法； 
② 讓學(xué)生再次經(jīng)歷一個(gè)完整的研究問(wèn)題的過(guò)程：即經(jīng)過(guò)梳理圓的內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)圓只有定義，而沒(méi)有其他的判定，怎么辦呢？—這就需要找到與圓非常接近的圖形——正多邊形，再一次帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題→提出問(wèn)題→分析問(wèn)題→解決問(wèn)題；教師指明方向，學(xué)生一步步推理，正是“享受思維活動(dòng)帶來(lái)的快樂(lè)”的具體體現(xiàn)，也應(yīng)是我們教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中從始至終、不遺余力進(jìn)行的. 
③ 此外，在折紙課程中，教師也應(yīng)該介紹折紙的一些基本事實(shí)、基本原理，不僅開(kāi)闊學(xué)生眼界，而且明確基本規(guī)則.  
【環(huán)節(jié)四】 課堂小結(jié) 
如何總結(jié)一節(jié)課的收獲呢？通常從以下幾方面歸納： 1. 知識(shí)技能：      
① 從整體上看，圓有哪些性質(zhì)：軸對(duì)稱(chēng)性、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性、中心對(duì)稱(chēng)性； ② 具體體現(xiàn)：垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理 ③ 圓和其他圖形的關(guān)系 
U
O
M
NO
MNO
M
NO
MNO
M
NO
M
NO
M
 
                    
             
                    
                             點(diǎn)和圓：研究位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的等價(jià)關(guān)系  直線(xiàn)和圓  圓和圓 
 正多邊形和圓  橢圓和圓 
④ 特殊三角形、四邊形的定義、性質(zhì)、判定是我們得到具體圖形的依據(jù). 2. 思想方法：是數(shù)學(xué)的靈魂與精髓；   
 在得到一些圖形之后，我們自然想到將圖形歸類(lèi)，用到什么思想？——分類(lèi)討論  借助矩形得到平四，借助正方形得到菱形，這是什么思想——轉(zhuǎn)化.  在圓中折紙得到圓用到了什么思想——極限思想. 3. 學(xué)習(xí)形式 
大家感覺(jué)很有趣很過(guò)癮吧，因?yàn)槭沁M(jìn)行了折紙這種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，那么你能敘述數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)？ 
 直觀，操作性強(qiáng)，有趣， 
 和理論證明的關(guān)系呢？相輔相成，但需要理論證明. 4. 心靈感受 
先讓學(xué)生說(shuō)，之后教師再表達(dá)自己的感受： 
事實(shí)上，數(shù)學(xué)并不高冷，它很溫情；一方面前人智慧的光芒在照耀我們學(xué)習(xí)之路，另一方面我們也該有一些自然情懷、人文思考.比如折圓形紙片過(guò)程中能出現(xiàn)直線(xiàn)型也能出現(xiàn)曲線(xiàn)型，曲與直相互伴隨，我們借助圓定義多邊形的諸多概念，相反又用多邊形研究圓周率，這說(shuō)明兩者是相互轉(zhuǎn)化； 
 
        
 
另外圓是流動(dòng)的，多邊形是穩(wěn)固的，又讓我想到中國(guó)古人“天圓地方”的說(shuō)法，它不僅僅指圖形（如天壇圖），而是說(shuō)為人處世的態(tài)度，外在要靈活而寬廣，要內(nèi)心穩(wěn)定而強(qiáng)大，某飲料的包裝上 “心靜如水，志剛?cè)缗?rdquo;（如圖）也揭示同樣的道理. 
O
 
                    
             
                    
                             
 
5. 迷惑、探究、查閱之處： 
 
6. 布置作業(yè)： 
(1) 將平面圖形分類(lèi)，用多種方法折圓形紙片得到常見(jiàn)的封閉圖形； 
(2) 寫(xiě)一寫(xiě)你這節(jié)課的感受、迷惑、繼續(xù)探究的成果、查閱到的資料內(nèi)容等； 
 
[設(shè)計(jì)意圖] 
① 帶領(lǐng)學(xué)生梳理一節(jié)課的收獲，也是一種具體而有效的學(xué)法指導(dǎo)，而不能籠統(tǒng)的問(wèn)學(xué)生“你學(xué)到了什么？”，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)收獲認(rèn)識(shí)是不系統(tǒng)的，甚至是模糊的，所以教師應(yīng)該時(shí)刻有意識(shí)給學(xué)生滲透分類(lèi)討論的意識(shí)，點(diǎn)撥學(xué)生分類(lèi)的方法，總結(jié)時(shí)尤為重要； ② 為什么要讓學(xué)生總結(jié)“心靈感受”呢？第一，最為重要的是讓學(xué)生從人文思考的角度、表達(dá)感受到的數(shù)學(xué)美感（動(dòng)靜之美，方圓對(duì)比之美等）、數(shù)學(xué)神奇（之曲相伴，互化；圖形之間的蘊(yùn)含、轉(zhuǎn)化等）；第二，教師傳達(dá)正確的數(shù)學(xué)觀的機(jī)會(huì)、跟學(xué)生親密交流的機(jī)會(huì)，排除對(duì)數(shù)學(xué)恐懼心理的機(jī)會(huì)；第三，讓學(xué)生自我表達(dá)和展示的機(jī)會(huì)； 
③ 為什么要聯(lián)系劉徽、高斯？也就是為什么要滲透數(shù)學(xué)史？以及以什么樣的姿態(tài)滲透數(shù)學(xué)史——第一，用大師們的故事激勵(lì)學(xué)生們前行，第二，更重要的是，讓學(xué)生感受到真實(shí)的歷史中，人類(lèi)遇到過(guò)什么問(wèn)題，如何解決的，付出了哪些努力……并思考哪些內(nèi)容和方法是有價(jià)值的，了解了這些，相信學(xué)生會(huì)慢慢感受到數(shù)學(xué)波瀾壯闊的宏大與美！更能感受到穿越時(shí)空的那種與大師們的對(duì)話(huà)，懷著這樣一種崇拜、親切的情感再回頭學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)，可能會(huì)有一種別樣的結(jié)果. 
④ 課后的探索、查閱環(huán)節(jié)會(huì)將本節(jié)課的內(nèi)容向更廣闊的空間延續(xù)：一方面，學(xué)生可依照一定的體系，甚至僅憑自己的興趣獲取不同層面的感受——可能是結(jié)論在發(fā)現(xiàn)的興奮，可能是問(wèn)題再解決的愉悅，還可能是新思想的萌動(dòng)和心悸等等；另一方面，也期望像數(shù)學(xué)教育家波利亞所說(shuō)的那樣“一個(gè)不難但有趣的問(wèn)題會(huì)開(kāi)啟學(xué)習(xí)之門(mén).” 
5.學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)設(shè)計(jì) 
一、 課堂上后半段學(xué)生的學(xué)習(xí)情況 
1. 由于學(xué)生存在的難點(diǎn)（學(xué)生背景分析），因此課堂前半段學(xué)生還沒(méi)有很好的融入課堂，或者說(shuō)反映不是很熱烈，甚至還處于一種發(fā)蒙的狀態(tài)——①不知道折紙得到圖形就是利用圖形的判定，②不知道如何分類(lèi)，③不知道如何預(yù)測(cè)新的圖形，④不知道如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題„„ 2. 但是經(jīng)過(guò)課中兩個(gè)做法①分析圖形的判定，優(yōu)選方法，之后再折矩形、菱形，②“梳理封閉圖形”的環(huán)節(jié)之后，更多的同學(xué)開(kāi)始有思路，有方法，有創(chuàng)新了，如：①平行四邊形、圓的折法比較順暢，②較為順利的進(jìn)行圓這一章內(nèi)容的梳理，③從圓到橢圓，在稍微提示下，有同學(xué)就能想到，④對(duì)點(diǎn)的位置的分類(lèi)也比較明確； 二、 課后作業(yè)的檢查 
由于學(xué)生認(rèn)知水平、理解力、學(xué)習(xí)力等能力的不同，學(xué)習(xí)效果也是千差萬(wàn)別的，我不奢望學(xué)生在課堂上都能聽(tīng)懂，那也是癡心妄想。但通過(guò)課后的思考、沉淀，相信更多的同學(xué)能力理解本節(jié)課的特色與要求； 
 
                    
             
                    
                            6.教學(xué)設(shè)計(jì)特色說(shuō)明與教學(xué)反思 
一、 教學(xué)設(shè)計(jì)特色說(shuō)明 
1. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——思行結(jié)合：①整體介紹數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特色、形式，②讓學(xué)生幾乎一節(jié)課都在
手、腦、眼三者統(tǒng)一運(yùn)作； 
2. 整體把握——橫向聯(lián)系，縱向發(fā)展：①橫向方面，通過(guò)圓形紙片折紙，串起了平面內(nèi)常
見(jiàn)的直線(xiàn)型、曲線(xiàn)型圖形；②縱向方面，聯(lián)系了小學(xué)折紙活動(dòng)，以及滲透了高中圓錐曲線(xiàn)的內(nèi)容，其中圓、橢圓、雙曲線(xiàn)的在折紙中的關(guān)聯(lián)還是比較巧妙和具有數(shù)學(xué)奇異美的； 
3. 數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生整體研究問(wèn)題的能力：不止一次讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題→提出問(wèn)題→分析問(wèn)題→解決問(wèn)題的過(guò)程，實(shí)實(shí)在在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的思維水平； 4. 針對(duì)學(xué)生的薄弱之處，不斷強(qiáng)化，又給出具體的方法指導(dǎo)：比如對(duì)于分類(lèi)思想的滲透，
多次指導(dǎo)分類(lèi)的方法：第一次分類(lèi)出現(xiàn)在梳理封閉圖形，第二次出現(xiàn)在圓的內(nèi)容的梳理上，第三次出現(xiàn)在點(diǎn)的分類(lèi)，圓內(nèi)和圓外；第四次出現(xiàn)在最后的課堂小結(jié)上„„ 
5. 滲透數(shù)學(xué)史、人文思考、數(shù)學(xué)美學(xué)教育：教師將自己的所學(xué)、所感，以較為自然的方式
呈現(xiàn)給學(xué)生，同時(shí)也接收到了學(xué)生的感受，看到了學(xué)生的進(jìn)步——可以說(shuō)是一次受教育者和教育者共同提高的過(guò)程。 二、 教學(xué)反思 
“我聽(tīng)見(jiàn)了就忘記了，我看見(jiàn)了就記住了，我做過(guò)了就理解了.”——華盛頓兒童博物館 （一）. 受到鼓勵(lì)，繼續(xù)保持 
1. 將要繼續(xù)踐行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在初中教學(xué)中的應(yīng)用； 
2. 繼續(xù)理解和學(xué)習(xí)整體把握中學(xué)數(shù)學(xué)課程的理念和做法； 3. 繼續(xù)整合教材，開(kāi)發(fā)這類(lèi)課程； （二）. 不足 
1. 對(duì)學(xué)生的了解還應(yīng)該更深入細(xì)致； 2. 有口頭語(yǔ)、應(yīng)該再精煉語(yǔ)言；

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