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視頻標簽：探究四點,共圓的條件
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版九年級上冊第二十四章圓數學活動活動2探究四點共圓的條件-安徽省優課
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初中數學人教版九年級上冊第二十四章圓數學活動活動2探究四點共圓的條件-安徽省優課
探究四點共圓
2017/5/1 一、 內容和內容解析
本節內容是探究四點共圓的條件。四點共圓是在學生學習了經過一個點的圓、經過兩個點的圓、經過不在同一直線上三個點的圓、三角形與圓的關系、圓內接四邊形后，對經過任意三點都不在同一直線上的四點共圓條件的探究。圓內接四邊形對角互補，相應地，對角互補的四邊形的四個頂點共圓。
在四點共圓條件的探究過程中，通過對特殊的四邊形（矩形、等腰梯形）、有公共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點組成的四邊形等四邊形的探究，發現一般的規律（過對角互補的四邊形的四個頂點能做一個圓），體現了特殊到一般的思想。同時在研究過程中類比將四邊形轉化為三角形來研究，從三點共圓入手探究四點共圓的條件，體現了轉化的思想。另外，學生經歷探究四點共圓的條件這一思想活動的全過程，在“做”的過程和“思考”的過程中有利于數學活動經驗的積累。
二、 學情分析
學生在發現問題的階段可能會受到任意一個三角形的三個頂點做一個圓的影響，去判斷第四個頂點是否在這個圓上，解決這一問題的關鍵是引導學生從特殊的四邊形出發，從特殊到一般的探究問題。通過畫圖、觀察、測量分析矩形、等腰梯形、有公共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點共圓與四邊形的邊長無關，由此聯想圓內接四邊形對角互補，獲得猜想。另外，猜想的證明要用到反證法，學生可能不知如何入手，
而且猜想的證明對學生來說是難點。
三、 教學目標：
（1） 理解過某個四邊形的四個頂點能作一個圓的條件。
（2） 通過四點共圓的條件的探究和猜想的證明，體會由特殊到一般轉化的數學思想，積累數學活動的經驗。 四、 教學重難點：
重點：四點共圓條件的探究。
難點：對角互補的四邊形四個頂點共圓的證明。 五、 教學過程： I、創設情境、引入新課
同學們，我們的家鄉阜陽是有著悠久歷史的地方，如果給我們一天的時間參加阜陽一日游活動，你會選擇哪里呢？那么，今天老師就帶領大家一起參觀阜陽生態園。
問題1：某市公園需要經過A、B、C三個旅游景點建一個圓形快車道，如圖，假如我們把A、B、C三個旅游景點抽象成點，你能設計出這個圓形軌道嗎？
設計意圖：由學生熟知的參觀阜陽生態園入手，讓學生去設計不在同一直線上的三點所在的圓，即能復習前面的三點共圓知識，又能為后面的猜想做鋪墊。
問題2：如果要經過A、B、C、D三個旅游景點建一個圓形快車道，你能設計出這個圓形車道嗎？
為了解決這個問題，本節課我們就來探究四點共圓的條件。
II、合作探究、獲得猜想
探究：（小組1）平行四邊形的四個頂點是否在同一個圓上？ （小組2）矩形的四個頂點是否在同一個圓上？ （小組3）等腰梯形的四個頂點是否在同一個圓上？ （小組4）有公共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點是否在同一個圓上？
教師引導學生畫圖、思考交流過矩形、等腰梯形和有公共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點是做一個圓上；過一般的平行四邊形的四個頂點不一定能做一個圓，教師讓學生展示自己作圖的依據和想法。 師：前面我們已經學過圓的內接四邊形有什么性質？ 生：圓的內接四邊形對角互補。
師：這句話反過來還成立嗎？請同學們拿出自己的量角器動手測量驗證自己的猜想，并與同桌間交流自己的想法。
生：動手測量與同桌交流自己的想法，并得出猜想：“對角互補的四邊形的四個頂點共圓”
師：教師根據學生的作圖情況進行適時的指導。
設計意圖：讓學生經歷從特殊到一般，從學生動手作圖到發現部分四邊形四點共圓再到猜想、動手測量驗證猜想的過程，學生經歷了幾何教學的一般流程，一步一步的向目標靠近。有利于學生從四邊形的邊和角等方面去猜測、探究。有利于學生在解決數學問題的過程中思考、積淀，從而積累數學活動經驗。 III、證明猜想 獲得結論 猜想：經過對角互補的四邊形的四個頂點能作一個圓。 已知：在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°
求證：四邊形ABCD內接于一個圓（即A、B、C、D四點共圓）
證明：（反證法）過A、B、C三點做⊙O，假設D不在⊙O上則點D在圓內或圓外。
若D在圓外，設CD與⊙O交于D′，連接A D′ 根據圓內接四邊形的性質得：∠B+∠C D′A=180° 又∵∠B+∠D=180°，∴∠C D′A=∠D。
這與三角形外角的性質相矛盾，故D不可能在圓外。 類似的可以證明D不可能在圓內。 ∴D在⊙O上，即A、B、C、D四點共圓。 IV、回歸問題
如果要經過A、B、C、D三個旅游景點建一個圓形快車道，你能設計出這個圓形車道嗎？
設計意圖：學生經歷了解決數學問題的過程，讓他們知道數學來源于生活又應用于生活。通過交流讓學生明確一個問題的解決方案；在推測之后要進行驗證，通過證明，讓學生感受思想的嚴謹性，感受思想結論的確定性和證明的必要性，培養學生的推理能力。 V、例題分析
D'
D
O
B
A
C
例1、發現四點共圓
圖1、PA、PB與⊙O相切于A、B兩點
圖2、⊙O中，點C是弧AB的中點過分別作CD垂直OA，CE垂直OB, 垂足分別為D、E
圖3、∠DCE是四邊形ABCD的一個外角，∠DCE=∠A
設計意圖：讓學生用發現的眼光去從多邊形中尋找圓，并感受到圓與多邊形之間的聯系，感受幾何圖形之間并不是孤立的，解決幾何問題的方法也是多樣的。
例2、如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90° （1）A、B、C、D四點能否在同一個一個圓上？
OP
A
B
E
D
O
A
B
C
A
B
CD
E
（2）當∠ABD=70°，則∠CAD是多少度？
設計意圖：考查學生對對角互補的四邊形的四個頂點的應用，以及圓的內接四邊形對角互補情況的掌握。 例3：（八年級教材習題改編）
如圖，四邊形ABCD是一個正方形，點E、F分別在邊AD、CD上，且AE=DF，連接BE、AF
（1） 圖中哪四個點在同一個圓上？
（2） 連接CG、BF.求證：∠FBC=∠FGC
設計意圖：引導學生去用剛學習的四點共圓知識解決八年級已經學過的四邊形問題，體會數學解題的殊途同歸，從新的高度進行反思理解同一個題。同時這兩個例題也這學生感受到數學“轉化”思想的重要性。
五、 歸納反思、總結提升
啟發學生思考：如果你遇到證明多點共圓，可以從以下幾個方面思考： 1、 從圓的定義出發，證明各點都與某一定點的距離相等。 2、 如果證明四點共圓，可以先任選三點做一個圓，再證明另一個
點也在這個圓上。
3、 若能證明四邊形對角互補，或證明其中一個外角等于其鄰補角
的內對角，即可證明這四點共圓。
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