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視頻簡介：

視頻標(biāo)簽：探究四點(diǎn),共圓的條件

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊第二十四章圓數(shù)學(xué)活動活動2探究四點(diǎn)共圓的條件-河北省優(yōu)課

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊第二十四章圓數(shù)學(xué)活動活動2探究四點(diǎn)共圓的條件-河北省優(yōu)課

活動2  探究四點(diǎn)共圓的條件
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．理解過某個四邊形的四個頂點(diǎn)能作一個圓的條件.
2．通過四點(diǎn)共圓的條件的探究和猜想的證明，體會由特殊到一般、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)．
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：
四點(diǎn)共圓的條件的探究．
教學(xué)過程：
1.創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)問題
引言  在前面的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了經(jīng)過一點(diǎn)A可以作無數(shù)個圓；經(jīng)過兩點(diǎn)A，B可以作無數(shù)個圓，圓心在線段AB的垂直平分線上；經(jīng)過不在同一直線上的三個點(diǎn)A,B,C可以確定一個圓，也就是說過任意一個三角形的三個頂點(diǎn)都能作一個圓。
圖1
A
c1
圖2
B
A
圖3
o
B
C
A

問題1  過任意三點(diǎn)都不在同一直線上的四個點(diǎn)能做一個圓嗎？也就是說過任意一個四邊形的四個頂點(diǎn)能做一個圓嗎？
師生活動：教師提出問題，學(xué)生思考，回答問題。
設(shè)計意圖：從經(jīng)過一點(diǎn)的圓、經(jīng)過兩點(diǎn)的圓、經(jīng)過不在同一直線的三個點(diǎn)的圓、三角形與圓的關(guān)系入手，又經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)可以做一個圓想到經(jīng)過四邊形的四個頂點(diǎn)是否可以作一個圓，從學(xué)生已有的只是經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，獲得探究問題的方向。同時也滲透將探究四點(diǎn)共圓問題轉(zhuǎn)化成三點(diǎn)共圓的問題，為后繼猜想的證明做適當(dāng)?shù)闹皇菧?zhǔn)備。
2.合作探究獲得猜想
師生活動：學(xué)生分成小組，共同探究教師提出的問題（過任意一個四邊形的四個頂點(diǎn)能作一個圓嗎），學(xué)生代表展示小組討論的過程與結(jié)果。教師重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生自主探究的步驟和方法。

教師針對學(xué)生的不同方法、不同的表達(dá)形式給予指導(dǎo)，并引導(dǎo)學(xué)生從特殊的圖形出發(fā)，尋找它們共性的條件。學(xué)生會出現(xiàn)下面幾種常見情況。




                            （1）四（三）條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)的四邊形;
（2）分析一些特殊的四邊形，如平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等（3）過對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點(diǎn)能做一個圓
對于第（1）種情況，師生共同歸納：由圓的定義可以得出此命題成立。
對于第（2）種情況，教師引導(dǎo)學(xué)生動手畫圖，思考、交流。過舉行、等腰梯形和正方形的四個頂點(diǎn)可以做一個圓，過平行四邊形和菱形對的四個頂點(diǎn)不能做一個圓。教師展示學(xué)生的畫圖。
對于第（3）種情況，教師引導(dǎo)學(xué)生從圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)出發(fā)進(jìn)行思考，并進(jìn)一步完成接下來的問題。
圖4
DB
C
A
圖5
D
A
C
B
圖6
B
A
C
D
圖7
B
C
A
D

問題2  四邊形的哪些元素決定了過它的四個頂點(diǎn)可以作一個圓？能再找一個四邊形驗(yàn)證嗎？
師生活動：對于決定過四個頂點(diǎn)可以作一個圓的要素，學(xué)生可能回答對角互補(bǔ)或?qū)蔷€相等，.教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析矩形、等腰梯形、共斜邊的兩個組成的四個頂點(diǎn)組成的四邊形的共同特征（圖3），發(fā)現(xiàn)對角線的不一定相等，但對角互補(bǔ)：從而獲得猜想：這對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點(diǎn)能制一個圓。




                            圖8
D
B
A
C
圖9
D
B
A
C

設(shè)計意圖：讓學(xué)生學(xué)會利用特征去對問題進(jìn)行研究，從特殊到特殊，最后到一般情形，一步一步的先研究的目標(biāo)靠近，在學(xué)生動手畫四邊形的四個頂點(diǎn)能共園，有的卻不行，引導(dǎo)學(xué)生從四邊形的邊和角等方面去猜測、探究。有利于學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)的過程中思考、積淀，從而積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)。
3.證明猜想，獲得結(jié)論

問題3  如何證明“過對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點(diǎn)能做一個圓”？
師生活動：教師展示問題，師生共同寫出已知、求證。         已知：在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°。           求證：過點(diǎn)A，B，C，D 可做一個圓。
   學(xué)生分組討論證明思路，學(xué)生思考并嘗試回答.學(xué)生可能聯(lián)想到過三點(diǎn)作圓的問題，因此需要找到一點(diǎn)O，滿足OA=OB=OC=OD。
教師追問1：如何找到這個點(diǎn)？
師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考將四邊形的問題可以轉(zhuǎn)化成三角形來研究，四點(diǎn)共圓的問題可以考慮能否轉(zhuǎn)化成三點(diǎn)共圓的問題。不在同一條直線上的三點(diǎn)是共圓的，我們可以作出過三點(diǎn)的圓，第四點(diǎn)不能確定是否共圓，但其中的三點(diǎn)是可以保證共圓的，再考慮余下的點(diǎn)是否在過三點(diǎn)的圓上。
教師追問2：假設(shè)過三點(diǎn)的圓已經(jīng)作出（過三點(diǎn)A，B,C做出圓O），如何證明第四點(diǎn)（點(diǎn)D）在這個圓上？
師生活動：學(xué)生嘗試證明點(diǎn)D與圓心O的距離等于半徑。但這種方法目前存在困難。
教師追問3：假設(shè)點(diǎn)D不在過三點(diǎn)A，B,，C的圓上，會出現(xiàn)哪些情況？你能對它們進(jìn)行證明嗎？

師生活動：師生共同分析點(diǎn)D在圓外的情況，利用元內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)進(jìn)行證明。證明：如圖4：假如過A,B,C,D十點(diǎn)不能做一個圓。過A,B,C三點(diǎn)作圓，若點(diǎn)D在圓外，設(shè)AD與元相交于點(diǎn)E，連接CE，則∠B+∠AEC=180°。而知己∠B+∠D=180°，所以∠AEC=∠D。而∠AEC是△CED的外角，∠AEC>∠D。出現(xiàn)矛盾，故假設(shè)不成立。因此點(diǎn)D在過A,B,C三點(diǎn)的圓上。
圖10
E
D
A
B
C
圖11
D
A
B
C
E

教師追問4：如圖5，對于點(diǎn)D在圓內(nèi)情況，你能自己完成證明嗎？
設(shè)計意圖：在學(xué)生動手活動中，通過交流，讓學(xué)生明確一個問題的解決方案;在推測之后要進(jìn)驗(yàn)證，通過證明，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，感受到數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性和證明的必要性，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。
4.歸納反思，總結(jié)提升
教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并回答以下問題；（1）本節(jié)課你學(xué)到了什么知識?學(xué)到的知識能解決什么問題？
（2）回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，你是怎么得到上述知識的？你還有什么收獲？
設(shè)計意圖：通過小結(jié)使學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)到的知識、技能、研究方法，并關(guān)注不同層次的學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的理解和掌握，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識和運(yùn)用，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和對數(shù)學(xué)的積極情感。
五、目標(biāo)檢測設(shè)計
1.如圖，∠DCE是四邊形ABCD的一個外角，如果∠DCE=∠A, 那么同時過點(diǎn)A，B，C，D______(填“能”或“不能”)作一個圓。
設(shè)計意圖：考察學(xué)生能否由四邊形的對角互補(bǔ)判定該四邊形的四個頂點(diǎn)共圓。
E
A
第1題
B
D
C
第2題
B
C
A
D

2.如圖，經(jīng)過四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)可以作一個圓，若∠A=120°，則∠C的度數(shù)為




                            ______。
設(shè)計意圖：考察學(xué)生對圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的掌握情況。
3.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=16°，則∠ABD的度數(shù)為______。
設(shè)計意圖：考察學(xué)生對對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓的應(yīng)用。

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