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視頻標簽：一次函數,數學活動
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版初中數學八年級下冊第19章一次函數—數學活動- 吉林
教學設計、課堂實錄及教案：人教版初中數學八年級下冊第19章一次函數—數學活動- 吉林省 - 白山
第十九章 一次函數——數學活動
【課程資源】人教版義務教育課程標準實驗教科書 數學八年級（下）第十九章數學活動 【課時數】 1 【課型】實驗探究課 【教學目標】
(1)會根據兩個變量的部分對應值建立函數模型．
(2)會用一次函數模型描述和研究實際問題中的運動變化規律，并對未來的情況作出估計。
(3)經歷根據兩個變量的部分對應數據建立函數模型的過程，體會函數建型過程中的歸納思想、數形結合思想；初步體會函數模擬思想． 【教學重難點】根據實際問題情境探索建立函數模型的思路 【教學方法】實習法，課堂討論法
【教學準備】實驗記錄表，量筒，體積相同的玻璃球，刻度尺。 【課前準備】記錄滴水的水龍頭每5分鐘的滴水量。 【教學過程】 一、導入課題
在數學領域中，我們通過研究函數及其性質更深入地認識了現實世界中許多運動變化規律。在本章我們學習了一次函數及其圖象和性質，并利用它研究了一些數學問題和實際問題。今天，我們將通過數學活動繼續感受用函數模型描述和解決實際問題
【設計意圖】從函數的作用及意義引出課題，開門見山，使學生明確本節課的研究問題及對象。 二、數學活動
活動1：受《烏鴉喝水》故事的啟發，利用量筒和體積相同的小球進行模擬實驗，研究量筒中水面高度與小球個數之間的變化規律。 活動步驟：
1. 測量量筒的高度為 cm，量筒中水面的高度為 cm； 2. 將放入量筒中小球的數量與量筒中水面的高度填入下表： 小球數量(個) 水面高度(cm)
3. 觀察實驗數據，思考每放入一個小球水面的高度是否均勻上升？ 如果均勻上升，那么放入一個小球后量筒中水面升高 cm。
4. 試寫出y關于x的函數解析式 ； 5. 建立直角坐標系，以橫軸表示小球數量x（個），以縱軸表示量筒中水面高度y（cm）,描出以上實驗所得數據為坐標的各點，并觀察它們的分布規律； 6. 估計放入多少個小球會有水溢出？請再用實驗驗證你的結論。
師生活動：各小組開展實驗，測量相關數據，并對所測數據進行觀察分析。對于數據不是均勻上升的，教師引導其采用畫散點圖的方法，觀察點的分布情況，如果數據少不明顯，再多測量幾組對應數據，在坐標系中多畫出幾個散點，就可以觀察出點的分布情況，從而判斷出函數類型。確定關系式后，學生估計有水溢出時小球的數量，再通過實驗來驗證估計。
【設計意圖】通過小組合作實驗搜集數據的過程，激發學生興趣，培養學生動手能力。無論從問題的數量關系，還是畫散點圖確定一次函數后用待定系數法確定解析式的過程，都可以讓學生體會函數建模的過程。通過解決最后一個問題，使學生體會利用函數還可以對未來進行預測，并且實踐驗證后體會結果是真實有效的。
活動2：一個水龍頭漏水，有人認為漏這一點水沒有什么大不了，你也這樣認為嗎？
(一)課前準備，收集數據
問題1：在滴水的水龍頭下放置一個能顯示水量的容器，每5min記錄一次容器中的水量，并填寫下表： 時間t/min 0 5 10 15 20 25 30 水量W/ml
問題 2：建立直角坐標系，以橫軸表示時間 t，以縱軸表示水量w，,描出以上實驗所得數據為坐標的各點，并觀察它們的分布規律； (二) 展示數據，引導思考
請各組展示收集的數據，說說解決問題的基本思路．
師生活動：各小組展示其數據收集結果，介紹解決問題的大致思路，如果學生沒有思路，教師采用追問形式加以引導．
追問1：通過測量，得到了漏水時間和漏水量的某些對應值，這些對應值只是變量之間的部分對應值，要知道其余對應值，我們需要做什么？又如何估算出一天的漏水量呢？
追問2：以前我們解決的實際問題可以通過問題中的數量關系求函數式，或者條件中明確告訴我們y是x的一次函數，我們可以用待定系數法求函數式。但上面問題，有沒有告訴我們數量關系？有沒有告訴我們w是t的一次函數？
追問3：當規律從表格上看不明顯時，我們需要將表格轉換為圖象，在坐標平面內畫出這些對應值表示的點，可能會看得更清楚，大家試一試！
追問4：看圖形，請判斷，y與t之間最可能是什么函數？
追問5： 知道了這個函數最可能是一次函數，而且知道了多組對應值，用什
么方法求函數解析式？
【設計意圖】以某一組得到的數據為樣本，思考解決問題的方法，是為了大家可以在同一問題平臺上進行交流．以問題串的形式引導學生思考，可以降低問題難度，學生在教師的逐步引導下，慢慢找到解決問題的途徑和方法，培養學生數學思維。
(三) 解決問題，相互交流
問題3：試寫出w關于t的函數解析式，并由它估算這種漏水狀態下一天的漏水量。1000個這樣的水龍頭的漏水量又是多少？1000個這樣的水龍頭一個月的漏水量又是多少？
1．學生分組求函數解析式，解決問題． 2．展示成果，相互交流．
(1)分組匯報估計值，展示研究過程． (2)引導質疑．
活動結論：各小組通過努力，解決了問題，發現滴水之漏，隨著時間累積，數量的增多，浪費巨大。而水資源缺乏是一個全球性問題，因此，我們每個人都應該建立節水意識，從我做做起，從我的家族做起，從點滴做起！
【設計意圖】學生通過計算得到函數解析式，從而對未來的結果進行預測，發現滴水之漏，隨著時間累積，數量的增多，浪費巨大，從而號召學生樹立節水意識，使學生在經歷函數建模，解決問題的同時，形成正確的價值觀，充分體現這個活動的現實意義。
問題4：剛才交流過程中，各小組得到的函數解析式不盡相同，結果也不盡相同，為什么？
師生活動：引導學生分析原因：(1)收集到的數據不同；(2)函數解析式不符合實際情況(收集到的數據不滿足函數關系)；(3)計算錯誤(包括時間和漏水量單位換
算錯誤)．
【設計意圖】引導學生反思解決問題的過程，分析自己解決問題過程的合理性，提出檢驗函數解析式是否符合實際情況(使數據滿足函數關系)的問題． 追問：怎樣檢驗得到的函數解析式是否符合實際意義？
師生活動：用收集到的數據進行檢驗，看看平面直角坐標系中的這些散點是否緊密地分布在得到的直線附近．
【設計意圖】讓學生初步體會到檢驗、修正函數模型的必要性． 三、 回顧總結，初步體會
問題： 回顧這兩個數學活動，我們經歷了哪些步驟？
師生活動：教師引導學生總結：收集數據——畫散點圖——選擇函數——求函數式(待定系數)——得到結論——檢驗．
教師：從函數觀點看所研究的問題，實際上我們經歷了判斷函數類型，求函數解析式，求函數值，基于函數關系的變化規律進行分析的過程。
【設計意圖】總結經歷，積累經驗，初步體會函數建模的過程各函數模擬的思想． 四、課堂延伸
請獨立解決下面問題，并與同伴交流你的結論．
(1)根據下表數據，在平面直角坐標系中畫出世界人口增長曲線圖； (2)選擇一個近似于人口增長曲線的一次函數，寫出它的函數解析式； (3)按照這樣的增長趨勢，估計2 020年的世界人口總數．
年份/年 1 960 1 974 1 987 1 999 2 010 人口數/億
30
40
50
60
69
師生活動：教師給學生提供適當的平面直角坐標系，引導學生畫出散點圖，嘗試經過不同的兩點畫直線，觀察哪條直線擬合較好，選擇適當的兩點求出函數解析式．
【設計意圖】遷移應用，體會函數擬合過程，通過畫圖選擇合理的直線描述變化規律和變化趨勢． 五、課堂小結，深化提高
本課我們學習了解決一類新的問題，請帶著下面問題總結經驗： (1)這一類新的問題有什么特點？ (2)解決這尖問題經歷哪些步驟？
(3)從這類新問題的解決過程中，你對應用函數解決問題有哪些體會？你認為建立函數模型在解決實際問題時有什么作用？
【設計意圖】問題(1)引導學生回顧函數模擬問題的特點：一開始，不知道是什么函數，也沒有告知數量關系，需要自己根據數據收集進行判斷．
問題(2)引導學生回顧利用函數模擬解決問題的步驟和方法：數據收集(列對應值表)——畫散點圖——判斷函數類型——求函數解析式——得到結論——檢驗． 問題(3)引導學生體會通過建立函數模型，能由部分把握整體，由現在追溯過去，．．．．．．．．．．．．．．．．并預測未來．．．．．．． 六、布置作業
【課后實踐】請統計你的身高增長情況，并試著用近似的函數來表示.你能給自己提出合理的營養和鍛煉方案嗎？
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