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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《雙曲線的標準方程》遼寧—王
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遼寧—王嬌—設計—雙曲線的標準方程
《雙曲線的標準方程》教學設計
一．教學內容解析
內容解析：本節課選自人教B版高中數學選擇性必修一第二章第六節,是雙曲線的第一節課，本節課的重點是雙曲線的定義和方程，難點是雙曲線標準方程的推導。前面已經研究了橢圓的定義，標準方程和幾何性質等內容，學生有了學習橢圓的基礎，再類比橢圓的研究方法，了解雙曲線的定義，幾何圖形和推導出雙曲線的標準方程。我將重點放在如何得到雙曲線的定義和標準方程上，據此設計了一系列問題串，再通過學生的類比遷移，由學生自己抽象出雙曲線的概念，推導出雙曲線的方程。通過這個過程，培養學生的數學抽象能力，數學建模能力，運算能力和邏輯推理能力，培養學生用代數的方法解決幾何問題的能力。
地位作用：圓錐曲線是解析幾何的重要研究內容，雙曲線是繼橢圓之后學習的又一種圓錐曲線，我們將類比橢圓的學習，進行雙曲線的學習。學習雙曲線不僅是對橢圓知識和方法的鞏固、深化和提高。而且為進一步學習拋物線，奠定良好的基礎。雙曲線是一種重要的模型，在日常生產、生活和科學技術上應用廣泛。因此，本節課十分重要，不僅知識上具有承前啟后的作用，而且還具備現實意義。
二．教學目標解析
本章要求:了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用，能用坐標法解決與圓錐曲線相關的簡單幾何問題和實際問題。
本節目標：了解雙曲線的定義和標準方程的推導方法，通過雙曲線方程的得出，培養學生數學抽象的能力，使學生掌握類比等思想方法的運用，通過定位這個實際問題，提高學生發現問題，提出問題、分析問題、解決問題的能力，提高學生數學建模和數學抽象的素養。通過方程的推導，增強學生數學運算的素養，本節課學生親身感受雙曲線及其標準方程的獲得過程，使他們體會數學的嚴謹性，培養學生對待知識的科學態度，培養學生勇于探索和創新的精神，通過畫雙曲線讓學生感知幾何圖形曲線美、簡潔美、對稱美, 培養學習數學的興趣。
三．學生學情分析
學生已經掌握的內容：本節課之前學生已經學習了直線、圓和橢圓，對曲線和方程的思想有一定的理解，對解析幾何用坐標法解決幾何問題有了一定的了解，基本掌握了求軌跡方程的一般方法。
學生不清楚的內容：解析幾何在航海，天文，力學，經濟，軍事生產的發展有著重要的應用，但是學生對圓錐曲線在實際生活中的應用，尤其是雙曲線不是很熟悉，因此通過本節課的學習能讓學生更加深刻的體會到數學對生產生活產生的的強大作用，另外學生的運算能力還需要進一步提升，在雙曲線方程推導過程中可能會出現符號上的疏忽，分辨不清。
將要達到的目標：通過本節課的學習，讓學生加深對解析幾何的研究方法的理解。高二學生有一定的分析問題、解決問題的能力，具備小組交流合作協同學習能力，為我們的小組合作探究提供了有利條件。
| 教學環節 | 主要師生活動 | 設計意圖 | |||
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環節一 復 習 回顧  環節 二 情 境 引 入 |
我們已經學習了橢圓，請大家思考：
在這個定義中，請找出你認為的關鍵詞？ 2.橢圓的標準方程是什么，你還記得哪些推導方法 3.我們還研究了橢圓的哪些內容？ 橢圓的定義--橢圓的方程--橢圓的幾何性質--橢圓的應用 我們可以用同樣的思路來研究其他的圓錐曲線。今天我來學習什么內容呢？請看這樣一個問題： 首先請看這樣一個問題： 如圖所示，某中心  接到其正西、正東、正北方向三個觀測點 的報告： 兩個觀測點同時聽到了一聲巨響， 觀測點聽到的時間比 觀測點晚4 s，已知各觀測點到該中心的距離都是1020 m.假定當時聲音傳播速度為340 m/s，發出巨響的位置為點P，且  均在同一平面內.你能確定該巨響發生的點的位置嗎？ 請大家思考:點P滿足的條件是什么？ 答：因為在A與C處同時聽到響聲，說明|PA|=|PC|；因為觀測點B比觀測點A晚4秒，說明P距離B更遠，而且|PB|-|PA|=4×340=1360 1.滿足|PA|=|PC|的點P的軌跡是什么呢 P在AC的垂直平分線上 2.滿足|PB|-|PA|=4×340=1360的點P是否存在？它的軌跡是什么呢？ 類比橢圓的學習，你能想到什么辦法解決這個問題？ 預案：橢圓課后題中有用兩個同心圓的交點畫橢圓的方法，猜想應該有學生能回答，可以通過畫圓的交點，用描點法畫出曲線來，即可以畫幾個滿足條件的點，再用平滑的曲線將其連接起來；也可能有同學想求出滿足條件的點的軌跡方程，再通過方程來研究軌跡；若學生沒有反應，教師適當提示。 下面我們通過一個實驗加以說明： |
本節課的學習基本都是類比橢圓的研究方法，因此復習顯得尤為重要。首先通過復習回顧橢圓概念，強調橢圓定義中不變的量，以便下一步和雙曲線的定義做對比，總結橢圓學習的思路，提示學生可以按照同樣的方法來研究其他的圓錐曲線問題。從學生認知的最近發展區入手，激發學生的求知欲。 情境引入我選擇了教材中的例子，如何利用雙曲線確定點的位置，既能使學生深刻地體會到數學在生產生活中的強大作用，又訓練了學生從實際問題中抽象出數學模型的能力，體現數學建模的核心素養  ，使學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。將問題拋給學生：你想怎么解決這個問題？設計的出發點就是學生如何學，教師在教學中起到的是啟發引導的作用，體現學習的主體是學生。 |
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環節三 學習新知 |
這是上節課我們用來畫橢圓的繩子，將一個線圈套在這根繩子上，設線圈所在位置為P，兩個定點設為F1，F２，拉直繩子，請大家觀察，在線圈運動的過程中，哪些量改變，哪些量保持不變？我們發現，線圈到繩子左端和右端距離之差為定值。將筆放在線圈處，隨著線圈的運動，請觀察我們畫出的是什么樣的曲線。 由于繩長的限制，我們畫出的曲線只是其中的一部分。 請大家動手實驗。 請思考：若將繩子的兩端調換位置，P點滿足的條件是什么？ 答：|PF2 |-|PF1| =定值 我們又將得到什么樣的曲線呢？ 請一名同學到黑板上演示。 現在，我們得到了兩條對稱的曲線，我們將其合起來叫做雙曲線，每一條叫做雙曲線的一支。 師：雙曲線上的點滿足什么幾何條件呢？ 答：||PF2 |-|PF1|| =定值 現在，類比橢圓的定義，你一定可以抽象出雙曲線的定義了： 哪位同學可以回答一下 雙曲線定義 定義： F1，F2是平面內的兩個定點，a是一個正常數，且2a＜|F1F2|，則平面上滿足| |PF1|-|PF2 | |=2a的動點P的軌跡稱為雙曲線。 類比橢圓，其中兩個定點F1，F2稱為雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離|F1F2|稱為雙曲線的焦距. 焦距我們通常用2c表示。 教師強調，定義中的|PF1|-|PF2 |如果不加絕對值符號，還能表示雙曲線嗎？ 答：表示其中的一支。 下面我們用幾何畫板驗證一下，是否雙曲線上的點都滿足到兩個定點的距離之差為定值。 雙曲線的應用非常廣泛，我們經常看到一些建筑物的外觀有雙曲線的形狀，有一些彗星的軌道就是雙曲線，在GPS和北斗等導航系統發明前，很多船只會采用雙曲線定位系統。 師：以上，我們通過圖像可以看到，滿足雙曲線定義的點有無數個，這是從形的角度得到的直觀感受，那么，怎樣給出嚴謹的證明呢？ 答：從數的角度出發，如果求出雙曲線滿足的方程，可以通過考察方程的根的個數，判斷滿足條件的點有多少個。 首先，我們回憶一下求點的軌跡方程的步驟： （1）設點（沒建系的先建系） （2）列式并用坐標表示 （3）化簡并檢驗 在推導橢圓的標準方程時，我們是如何建系的？你還有哪些建系方法？ 接下來，請建立合適的平面直角坐標系，推導出雙曲線的方程，也可以參照教材131頁橢圓方程的推導方法。 學生獨立思考，完成推導，由于有橢圓的基礎，學生可以求出雙曲線的方程來。 類比橢圓的建系方法，大部分同學還是會選取以兩個定點所在直線和線段垂直平分線作為坐標軸，線段中點為坐標原點建立直角坐標系，也不排除少部分同學選取其他坐標軸，學生可能直接得到焦點分別在x軸和y軸的雙曲線方程。我們以這種建系方法為例，進行推導： 例如，以  所在直線為x軸，其中垂線為y軸建系，如圖： 設雙曲線的焦距為2c，則F1（-c，0）F2（c，0）設P（x，y）,則由：  可得： 整理過程由同學演示，化簡方法很多，可以適當啟發，得到化簡結果。 教材上的方法為分子有理化法：     與②的右邊同時取正或取負，所以①+②并整理得：  兩邊平方，整理可得：  因為  ，所以令 ,且 ，則可得：  檢驗：上述過程顯然可逆，所以所求雙曲線的方程就是：  注意幾點說明： １.注意檢驗：由推導過程可知，雙曲線上任意一點的坐標都滿足方程  ，同時，以方程的解為坐標的點到雙曲線的兩個焦點  的距離之差的絕對值為2a,即以方程的解為坐標的點都在雙曲線上。由曲線與方程的關系可知，該方程就是雙曲線的方程。２.最后的步驟特別強調在方程的形式上可以仿照橢圓的標準方程的處理方式：由雙曲線定義  ， 即 ,設 ，代入上式 ，將式子進一步簡化,使其簡潔、對稱，得到方程： 學生派代表（或組長）上前展示得到的方程和證明 及時對學生進行表揚，給出正面評價 還有誰得到的不同形式的方程？ 請大家看黑板（打開GGB網頁），跟橢圓一樣，如果我們隨意建立一個坐標系，將會得到雙曲線的一個方程，在我們得到的方程中，焦點分別在ｘ軸和ｙ軸上的方程形式最簡單，稱為標準方程。 最后，經檢驗：上述過程顯然可逆，所以所求雙曲線的方程就是：  因為滿足這個方程的解有無數個，這就證明了滿足條件||PA|-|PB||=定值的點有無數個。 總結：在我們得到的方程中，最簡單的是哪個？焦點分別在ｘ軸和ｙ軸上的方程形式最簡單，稱為標準方程。 以后若不加以聲明，我們總認為雙曲線有對應的ａ，ｃ值和ｂ值。 |
通過實驗，學生能夠發現運動中保持不變的量，訓練學生抽取數學要素的能力。 通過學生動手實驗的過程，既可以培養學生的動手能力，又可以讓學生體驗知識發生發展的過程，激發學生學習數學的興趣。 培養學生的抽象能力，這一環節通過作圖，使學生體會雙曲線定義的獲得過程，培養學生觀察、分析和抽象能力。 定義的抽象過程中很可能不是一帆風順，學生容易忽略和出錯的地方（1）漏掉 “絕對值”三個字（2）忽略對2a范圍的討論。 如果同學有表達不完善不準確的地方教師和同學們一起修正，最后得到完整的、準確的雙曲線的定義。此處是本節課的第一個重點，采用分組研究的方法引起學生學習的興趣，讓學生自己歸納雙曲線的定義，隨著結論的慢慢浮出水面，讓學生獲得認同和肯定，同時訓練了學生與他人合作學習的方法，訓練學生的邏輯推理能力和抽象概括的能力。 焦點和焦距的定義類似與橢圓中的定義，學生有了橢圓的基礎，能夠很容易得出。這一環節是本節課的難點，但前面經歷了橢圓標準方程的建立過程，學生不會感到太困難，因此本環節放手讓學生去嘗試，有困難可以互相討論，教師巡視并發現學生出現的問題。 用數學軟件演示，更加準確，直觀的顯示反應出幾何關系 此時學生對雙曲線的形狀有了比較深刻的印象，給出定義之后，介紹雙曲線在生產生活的應用，使學生更加深刻意識到數學對生產生活的強大作用，激發學生們的學習興趣。 引出求雙曲線的方程，更加嚴謹的證明，體現數學的嚴謹性 讓學生體會知識的系統性，圓、橢圓、雙曲線、拋物線都是圓錐曲線，研究方法類似，給大家充足的時間討論，紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。讓學生經歷得到雙曲線方程發生發展的過程。 待同學們完成，請組長在講臺處展示本組的方法，過程。通過投影技術，學生展示學習成果，既是對學習過程的檢驗與評價，也是展示自我，培養學生語言表達能力的機會。 預案：類比橢圓的建系方法，大部分同學還是會選取以兩個定點所在直線和線段垂直平分線作為坐標軸，線段中點為坐標原點建立直角坐標系，也不排除少部分同學選取其他坐標軸，學生可能直接得到焦點分別在x軸和y軸的雙曲線方程。 此處為本節課的第二個重點內容，設計理念還是從學生如何學出發，繼續采用學生自主探究的方式，讓學生體會知識的發生發展過程，同時加強對學生的運算能力的培養，讓學生經歷標準方程的獲得過程，體會用代數方法解決幾何問題。 通過訓練學生自主學習的能力，讓學生感受知識發生發展的過程，在這個過程中感受數學的魅力，培養對數學的興趣。我在平時的每一堂課的學習中，都注重滲透數學的學習方法，思維方式，培養學生的數學素質。 通過GGB軟件，讓學生直觀的感受到隨著建系方法的不同，得到的方程也都是不一樣的，從而使雙曲線的標準方程的得出更加的有說服力。 同時在教學中使用計算機手段，有助于提高學生學習數學的積極性，可以豐富學生的視聽感受，也可以化抽象事物為具體的、可感的、形象的事物，讓課堂富有吸引力，提高教與學的效果，改變傳統的教學模式。 |
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環節四 課 堂 練 習 |
課堂練習：求適合下列條件的曲線方程： 兩個焦點的坐標分別是  ，且雙曲線上的點與兩焦點距離之差的絕對值等于8；解： 由已知得  ,所以  因為焦點在x軸上，所以所求方程為  |
通過一道典型習題，對本節課的內容加以鞏固。 |
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環節五 解 決 課 前 問 題 |
現在，你能解決課前的問題了嗎 鼓勵學生得出答案 如圖，以  為原點， 所在直線為 軸、 軸建立平面直角坐標系，動點 既在直線 上，又在以 為焦點的雙曲線的左支上，點是它們的交點.對于雙曲線，由條件可得
  其方程為：  又因為 在直線上，聯立可解得 所以，點 在中心的西北方向的 處 |
學習了本節課的知識后，就可以解決課前提出的問題，本題的實際背景是在雙曲線導航系統原理的基礎上進行了簡化，讓學生體會到數學的強大作用，獲得一定的成就感，體驗成功的快樂 | |||
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環節六 課 堂 小 結 |
本節課你有哪些收獲？可以從知識技能，思想方法等各方面談一談 預案： 1.知識內容 雙曲線定義； 雙曲線有兩種標準方程， 求軌跡方程的步驟 2.思想方法： 類比遷移 我們用列出了雙曲線的方程，就是用代數方法研究幾何問題，對雙曲線進行定量分析，體現了數形結合的思想方法 我們在學習雙曲線的時候采用了類比遷移的思想，雙曲線的定義，方程的推導，解題的應用都類比的橢圓的知識。 數學建模 我們將生活中的定位問題用數學知識去解決，抽象出數學模型，體會數學建模的思維過程，也能深刻的體會到數學來源于生活，改變生活，體會到數學的強大作用，激發了對數學的濃厚興趣等。 |
培養學生良好的學習習慣，學會總結，反思，體會數學的強大作用，數學來源于生活，改變生活，可以解決實際問題，激發了對數學的濃厚興趣等，培養學生的表達能力，幫助學生樹立自信心。 |
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環節七 課 后 作 業 |
1.課本第141頁練習A第1、2題 2.思考當2a不小于2c時，動點P的軌跡是什么 3.類比研究橢圓幾何性質的方法，探究雙曲線的幾何性質 |
通過適當的課后練習，幫助學生更好的理解本節課所學內容；針對學有余力的同學，留下思考的問題，當2a不小于2c時，動點P的軌跡是什么，對定義的理解會更加深刻；最后通過類比橢圓的研究方法，進行知識由橢圓到雙曲線的的遷移，引導學生積極主動的學習，培養對學習濃厚的興趣 |
展示圖像
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
