視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《變化率問題》寧夏—柏
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寧夏—柏殿龍—設計—變化率問題
《5.1.1變化率問題》教學設計
第一課時 高臺跳水運動員的速度
柏殿龍（寧夏回族自治區石嘴山市第三中學）
一 教學內容解析
-
內容
平均速度的極限，瞬時速度.
-
內容解析
導數是微積分的核心概念之一，是研究函數增減、變化快慢、最值問題的最一般、最有效的工具。教材按照“平均變化率—瞬時變化率—導數的概念—導數的幾何意義”的順序安排，采用“逼近（極限）”的方法，從數形結合的角度定義導數，使導數概念的建立形象、直觀而又容易理解，突出了導數概念的本質.
變化率問題是導數概念建立的核心，生活中最常見的一種變化率是運動速度.速度是學生非常熟悉的物理知識，因此，教科書以高臺跳水運動模型作為貫穿全章的主線問題，有利于學生借助同一個典型的運動模型理解導數的概念。本節的核心是解決“探究”中提出的問題，即“如何描述運動員從起跳到入水的過程中運動員的快慢程度”.從平均速度到瞬時速度，從感性到理性，從特殊到一般，讓學生較為充分地經歷由平均速度過渡到瞬時速度的過程，獲得瞬時速度的一般形式化表示.
從平均速度的極限理解瞬時速度，體會用“運動變化的觀點”研究問題的微積分重要思想，體會極限思想，初步體會其中蘊含的導數的內涵和思想，對于發展學生的數學抽象素養和正確的世界觀有著重要的作用.
基于以上分析，設置本節課的教學重點是：
瞬時速度和極限思想.
二 教學目標設置
1.目標
（1）通過求高臺跳水運動員在具體時刻的瞬時速度，體會求瞬時速度的一般方法；
（2）經歷用平均速度“逼近”瞬時速度的過程，認識瞬時速度的本質是平均速度的極限，初步體會極限思想.
2.目標解析
達成上述目標的標志是：
-
學生能借助計算工具計算運動員的平均速度，并通過觀察平均速度在自變量間隔不斷變小的過程中的變化趨勢，得出瞬時速度；
-
能從平均速度的數值變化直觀感知瞬時速度是平均速度的極限.
三 學生學情分析
1.學生已有的認知基礎
-
學生已在物理中學習了平均速度、瞬時速度、加速度等概念，比較容易理解可以用“平均速度”刻畫物體在一段時間內的速度；
-
由無限循環小數、“割圓術”、“球的表面積和體積”等知識的學習過程中了解極限思想；
-
初步具備用“數學建模”的思想提出問題和解決問題的能力.
2.達成教學目標所需具備的認知基礎
本節內容要求學生用“運動變化的觀點研究問題”，體會“逼近（極限）”的重要思想和方法，對學生數據分析、數學抽象等素養有較高要求.
3.“已有的基礎”和“需要的基礎”之間的差異
-
學生雖具備一定的分析問題解決問題的能力，但用平均速度的極限理
解瞬時速度，并由此體會極限思想，依然存在困難；
-
學生到高中階段已經有了一定的歸納能力，但在歸納的基礎上抽象出
數學概念的能力有所欠缺；
（3）教學中涉及
、
等新的概念和符合，學生如何正確理解這些符合的意義，并準確應用也存在一定障礙.
4.教學難點及其突破策略
難點：在瞬時速度的計算過程中體會極限思想.
突破策略：借助Excel表格、在線畫板、計算器等信息技術手段使學生通過列表觀察平均速度的變化趨勢，感受“逼近”過程，以此降低學生對極限的認知難度.
四 教學策略分析
1.依據《課標》中“強調數學與生活以及其他學科的聯系，提升學生應用數學解決實際問題的能力，同時注重數學文化的滲透”的要求，本節課首先介紹微積分的創立史以及本章的內容，重視知識的形成過程。然后設置情境并提出問題，通過層層遞進的問題，使學生體會研究瞬時速度的必要性的同時思考瞬時速度與平均速度的關系，感受逼近與極限的思想方法；
2.根據學生的思維特點和認知基礎，以教師啟發引導、學生自主探究、小組合作等作為主要教學方式，借助多媒體信息技術讓學生動手計算，在嘗試和探索中質疑、總結、抽象概括、體會思想、形成技能.
3.突出數學思想方法的提煉和滲透，通過將抽象的知識具體化、有序化、開放化，在引導學生主動建構數學知識的同時，保持積極有效的思維活動，培養學生批判性思維、開放性視野，提升數據分析、數學抽象、數學建模能力，以及分析、解決問題的能力、數學語言表達能力.
五 教學過程設計
1.情景引入、激發興趣
教師引言：微積分是如何創立的？又是如何發展的？它在數學史和人類社會的發展中起了什么作用？我們一起來看一下章引言中的這段話.
十七、十八世紀的數學家常把自己的數學活動跟各種不同領域，如物理、化學、力學、技術等的研究活動聯系起來，并由實際需要提出了許多數學問題。科學家們對這些問題的興趣和研究經久不衰。其中，牛頓和萊布尼茨在前人探索的基礎上，各自獨立地創立了微積分.
微積分的發展是數學史上的里程碑。它的創立與自然科學中四類問題的處理直接相關：
-
已知物體運動的路程關于時間的函數，求物體在任意時刻的速度與加速度等；
-
求曲線的切線；
-
求已知函數的最大值與最小值；
4、求長度、面積、體積和重心等.
師：其中“已知物體運動的路程關于時間的函數，求物體在任意時刻的速度與加速度等”和“求曲線的切線”問題是導數產生過程中比較經典的兩個問題，今天這節課就讓我們追隨這些偉大數學家的腳步，也從物體的速度開始研究.
2.探究新知、揭示概念
問題1：在一次高臺跳水運動中，某運動員在跳水過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系:
預設問題：
-
如何描述運動員從起跳到入水的過程中運動的快慢程度呢？
預設答案：直覺告訴我們，運動員從起跳到入水的過程中，在上升階段運動得越來越慢，在下降階段運動得越來越快；
-
能不能用我們已經學過的知識解釋剛才的“直覺”？
預設答案：我們可以把整個運動時間段分成許多小段，用運動員在每段時間內的平均速度
近似地描述他的運動狀態；
追問：同學們可以自己算幾組平均速度來證實一下“直覺告訴我們，運動員從起跳到入水的過程中，在上升階段運動得越來越慢，在下降階段運動得越來越快”這個過程嗎？得到下表：
（3）如何計算運動員在
這段時間內的平均速度呢？
預設答案：當時間從
變化到
時,運動員的平均速度為：
追問：從這些數據中你有什么發現？
預設答案：學生從數據中逐漸感悟：1、從幾組平均速度可知，前一階段速度慢，后一階段速度快，前一階段向上運動，后一階段向下運動，即“運動員從起跳到入水的過程中，在上升階段運動得越來越慢，在下降階段運動得越來越快”；2、計算時時間間隔越小越好；3、平均速度并不能準確描述運動員的運動狀態.
師生活動：鼓勵學生思考并各抒己見，老師可以舉出特例，“計算運動員在
這段時間里的平均速度”結合函數
的圖像,可知,當時間在
時其速度為0，,但實際情況是運動員仍然運動,并非靜止,也能說明用平均速度不能準確反應運動員在這段時間里的運動狀態.
探究：瞬時速度
問題2：瞬時速度與平均速度有什么關系？
（1）你能利用這種關系求運動員在t=1s時的瞬時速度嗎？
師生活動：教師鼓勵學生大膽假設，提出自己的想法，師生一起討論操作的可行性。
預設：
①從1的右側取值，[1,2]、[1,1.5]、[1,1.1]...
②從1的左側取值，[-1,1]、[-0.5,1]、[-0.9,1]...
③從1的兩側取值，[0,2]、[0.5,1.5]、[0.1,1.1]...
這時學生和老師在討論中達成共識：
①區間長度應該越小越好，
②從計算的角度看，從1的左側或右側取值比從兩側取值計算量小，便于分析和發現規律；
（2）在達成共識的基礎上以
的右側取值為例，繼續鼓勵學生進一步縮
小時間間隔，老師利用信息技術演示計算得到結果，觀察當時間間隔不斷縮小時，平均速度有什么變化趨勢.
追問：這樣夠精確了嗎？
（3）時間間隔
還可以更小嗎？能用數學的方法解決這一問題嗎？
師生活動：教師啟發學生認識到，通過前面計算的平均速度的值，盡管我們發現“隨著時間間隔的不斷變小，平均速度越來越接近于常數-5”，但這種計算是有限的，不能斷定平均速度是否永遠具有這種特征。因此需要從理性的角度加以“說明”.
預設：時間間隔的縮小是一個無窮無盡的過程，有限的幾次計算，不能得到最終的解決辦法.學生提出解決問題的最終方案——用“1+x”代替
附近接近于
的數，“x”就可以取無窮小.
師：教材上把我們剛才說的這個“x”一般寫作“
”，表示時間的增量，
我們用
表示
附近的時刻，
可以在
之前，也可以在
之后，
表示
大于零時
附近的時刻，
表示
小于零時
附近的時刻，但
。
生：計算
這段時間的平均速度，
=
.
師：現在我們要怎樣分析才能得到我們想要的結果呢？
生：可以發現，當
無限趨近于0時，
也無限趨近于0，所以
無限趨近于-5.
（4）我們剛才從
右側逐漸縮小時間間隔，并用
表示時間的增量得到平均速度的變化趨勢，當從
左側逐漸縮小時間間隔，能否得出同樣的結論呢？
生1：從
左側取值.
生2：
這段時間的平均速度
，可以發現，當
無限趨近于0時，
也無限趨近于0，所以
無限趨近于-5，這與前面得到的結論一致。
（5）你能寫出運動員1秒時瞬時速度的表達式嗎？
師：數學中，我們把-5叫做“當
無限趨近于0時，
的極限”，記為
.
3.分析歸納、抽象概況
問題3：我們已經計算出
時的瞬時速度，那么對于某一時刻
，你能否計算出對應的瞬時速度？
師生活動：學生思考計算，上傳自己的解答，教師通過信息技術平臺展示學生的解答過程并點評其中的問題，強調瞬時速度的極限表示，教師給出規范解答：
在
（或
）這段時間里的平均速度
，
令
，則
，
即
，
所以運動員在某一時刻
的瞬時速度為
設計意圖：將求某一具體時刻瞬時速度的方法推廣到一般情形，一方面使學生體會從特殊到一般的數學思想方法，從算法角度體會求瞬時速度的過程，提升數學運算素養；另一方面為概括瞬時變化率的概念作鋪墊.
4.歸納理解、布置作業
課堂小結：教師引導學生回顧本節課的學習內容，并思考下列問題：
師：如果某人運動的位移與時間的函數關系滿足
，你能用數學的方法求他在任意時刻
的瞬時速度嗎？
生：第一步，計算在
（或
）這段時間里的平均速度
并化簡；
第二步，觀察當
時，平均速度
化簡后的式子趨近的確定的值，即觀察
的值，即為瞬時速度
.
師：用思維導圖的形式總結這節課：
設計意圖：總結本節課的學習內容和思想方法，為抽象概括導數的概念奠定
基礎，進一步強化學生數學建模的意識，增強學生提出問題、解決問題的能力。
課后作業：教科書習題5.1第1，3，8題.
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