視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《樣本的數字特征》江西—王
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江西—王鋒—設計—樣本的數字特征
§ 4.1 樣本的數字特征
設計：王鋒 柴桑區第一中學
1教學內容解析
1.1教材地位分析
本節課是北師大版高中數學必修第一冊第六章第四節第一課時的內容.全章研究的是統計方面的有關知識，而統計的基本步驟就是收集數據、整理數據、分析數據、作出推斷.本章的前兩節內容介紹的是如何收集數據，后兩節內容則涉及整理、分析數據及作出推斷.其中第三節介紹用樣本估計總體的分布，而第四節是用樣本估計總體的數字特征，整個環節設置非常緊密，過程流暢，全面系統地把統計的基礎內容學習完整.而本課時的內容是第四節的核心知識，完成了從初中到高中對數字特征的理解過渡，也為后面進一步學習分層隨機抽樣的均值與方差以及百分位數打下良好的基礎.
1.2教材內容分析
數字特征是認識數據，了解數據非常重要的研究方式.教材將其放在總體分布之后，從不同角度進行數據分析，讓學生體會從形和數兩個不同方向進行數據研究.
教材首先對初中學習過的數字特征進行簡單的回顧，使學生了解本節課的研究重點，并讓相對生疏的知識變得熟悉起來.然后通過例題1讓我們熟悉和鞏固了這些數字特征的計算過程，并且感受籃球運動員樣本數據的重要作用.例題2讓我們進一步感受用樣本的數字特征去估計總體結果的合理性，同時，也讓學生體會奧運會的獨特魅力以及運動員的愛國熱情.例題3則更加突出不同的數字特征在分析數據時所起到的不同作用，于是在不同的標準下，作出的決策往往也是不同的，需要結合實際需要選擇合適的方案.讓同學們深入理解分析樣本的數字特征在解決實際問題中的重要意義.
2教學目標設置
2.1基礎知識與基本技能目標
掌握基本數字特征的概念、意義以及它們各自的特點，能準確地計算出樣本的數字特征.
2.2數學活動經驗目標
能根據實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數據中提取基本的數字特征；建立適當的數學模型，從不同的角度進行邏輯推理，從而作出合理的解釋與決策；認識統計的作用，感受統計在實際問題中的應用價值.
2.3核心素養目標
通過對樣本的數字特征對總體的數字特征進行估計，就等于是從部分推及全體.即基于觀測到的數據信息（很可能是不完整的信息）進行總結歸納，得出一般性的特征.在這一過程中，培養學生邏輯推理的核心素養.而在對數據進行搜集、處理、分析時，需要運用多種不同的數學角度進行計算分析，培養學生的數據分析核心素養.
3學生學情分析
授課對象是高一的學生，在知識上初步掌握了統計的基本思想和基本步驟，已經學習了用樣本的頻率分布估計總體的分布，而且在初中也已經學習了數字特征的基本概念和計算方法.
為了進一步挖掘樣本，從形向數進行過渡，對樣本的數字特征進行分析，體會樣本估計總體的思想，以及統計思維與確定性思維的差異.本節課的教學重點和難點如下：
重點：用樣本數字特征估計總體數字特征，初步掌握樣本估計總體的思想.
難點：多角度認識樣本數字特征，解決簡單的實際問題.
4教學策略分析
本節課在教學過程的設計上，打算先從統計的基本思想和基本步驟入手，分析全章各小節內容之間的關系和作用，讓學生從整體上把握知識的發展和地位.然后對數字特征的基本概念進行簡單的復習，讓學生輕松自然地過渡到本節內容的學習中來.對于教材中的三個經典例題，采取盡量沿用、適當改編的原則，對其中的例題3進行巧妙的加工，在課前組織一次飛鏢選拔賽，將成績較好的三位同學的數據作為素材供課堂分析研究，該成績數據的統計均由學生親自參與，動手記錄，增加了學生的參與感和探究欲望，真正實現了用統計方法分析發生在自己身上的實際問題，從而提高學習效率.
5教學過程
本章概述
首先本章的主要內容是統計，統計是一門用科學的方法收集、整理、分析數據，提取有用的信息，作出推斷和決策的學科.主要分四個步驟：①收集數據；②整理數據；③分析數據；④作出推斷.本章共分為4節，涉及10個方面的知識.第1節講獲取數據的途徑，分為直接獲取和間接獲取，根據獲取范圍的不同，我們把調查方法分為普查和抽查，調查對象的全體叫做總體，所抽取的一部分叫做樣本；第2節講怎樣獲取樣本，抽樣方法分為簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣；抽完樣本后，我們的目的是用樣本估計總體.第3節講用樣本估計總體的分布，具體來講是繪制頻率分布直方圖或頻率折線圖來反應其分布情況；第4節則是用樣本的數字特征來估計總體的數字特征.其中前兩節主要解決如何收集數據的問題，后兩節則主要解決如何整理數據、分析數據、作出推斷的問題.通過本章概述，讓同學們整體把握學習目標，了解教材的設計意圖，讓知識結構更加完整、流暢.
5.1復習回顧
上節課我們學習了用樣本來估計總體的分布情況，除了分布情況，我們一般還會關注數據的哪些信息呢？比如在了解班級考試成績的情況時，我們一般比較關心哪些信息？通常最關心的是平均分、最高分、最低分等，類似于平均數、極差、中位數、眾數、方差、標準差這些概念統稱為數據的數字特征.
【設計意圖】 引導學生從形的角度過渡到數的角度來分析數據，即從分布情況過渡到數字特征，順其自然地引出本節課的主題.
在初中，我們已經學習過了這些數字特征的概念，下面我們先一起回顧一下他們的定義.
【師】平均數怎么算？
【生】平均數是把所有的數據加起來，再除以數據的個數,
【師】平均數反映數據的平均水平，但是如果有個別數據特別大或特別小時，用中位數會更合理。那什么是中位數呢？
【生】中位數是把數據按照從小到大的順序排列后，排在最中間的那個數,
【師】如果數據個數為偶數個，中間就有兩個數啊，那中位數怎么算?
【生】取中間兩個數的平均值.
【師】什么是眾數？
【生】眾數是出現次數最多的數.
【師】要是有幾個不同的數出現次數都是最多的怎么辦?
【生】那它們都是眾數，眾數可以有好幾個.
【師】極差呢？
【生】極差是最大值與最小值的差.
【師】方差呢？
【生】方差是把每一個數減去平均數，括號的平方再相加，再除以數據的個數.
【師】標準差呢？
【生】標準差是方差的算數平方根.
【師】下面三個都是反映數據的離散程度，極差最簡單，但是它沒有充分利用所有數據。方差和標準差都能反映數據偏離平均數的離散程度，方差越大，離散程度越大；標準差也是。但是方差的單位是原始數據單位的平方，而標準差與原始數據單位相同.
【設計意圖】 通過設問的方式讓學生回顧初中學習過的數字特征的概念，一方面熟悉核心知識，為整節課的學習打下基礎；一方面讓同學們積極思考，提高課堂關注度；還有一方面是讓同學們回答一些自己掌握的知識，建立必要的自信.
5.2例題講解
例1 某賽季籃球運動員甲每場比賽的得分(單位：分)情況如下表所示.
|
比賽場次 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
得分 |
12 |
24 |
31 |
15 |
36 |
25 |
50 |
35 |
31 |
44 |
39 |
41 |
36 |
求在該賽季中，這名運動員得分情況的平均數、中位數、眾數、極差、方差、標準差.
【師】要計算數據的數字特征，首先需要干什么？
【生】先要整理數據，將數據按照從小到大的順序進行排列.
請同學上臺排列數據，同學們根據排列好之后的數據，計算出他們的數字特征.其中，方差和標準差只要求列式，有計算器的同學可以試著算一算.
【師】你從這些數據特征中估計，這名籃球運動員是誰呢？
【生】學生自由發揮，講出道理即可.
從這個樣本來分析，據我所知，NBA賽場職業生涯場均達到30分以上的只有兩位大神，一位是張伯倫，另一位是邁克爾喬丹.當然如果只看單賽季，那么場均達到30分以上的，有科比，詹姆斯，庫里，哈登等少數幾位球星，但是NBA一個賽季有80多場比賽，只打13場的沒有.我特意就這個問題咨詢了教材編委，她告訴我這是CBA某球員的真實數據，不過不是本土球員，是某外援的單賽季得分情況.因為本土球員沒有場均30分以上的.
【設計意圖】通過例題鞏固數字特征的概念和基本運算，初步了解數字特征的意義，并體會籃球運動員樣本數據的重要作用.
例2 在1996年美國亞特蘭大奧運會上，中國香港帆板運動員李麗珊，以驚人的耐力和斗志，勇奪金牌，實現了中國香港體育史上奧運金牌零的突破.這枚金牌能在比賽過程中預測出來嗎？
在帆板比賽中，成績以低分為優勝.比賽共11場，并以最佳的9場成績計算最終的名次.此次比賽前7場比賽結束后，排名前5位的選手積分如下表所示：
|
排名 |
運動員 |
比賽場次 |
總分 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
1 |
李麗珊(中國香港) |
3 |
2 |
2 |
2 |
4 |
2 |
7 |
|
|
|
|
22 |
|
2 |
簡度(新西蘭) |
2 |
3 |
6 |
1 |
10 |
5 |
5 |
|
|
|
|
32 |
|
3 |
賀根(挪威) |
7 |
8 |
4 |
4 |
3 |
1 |
8 |
|
|
|
|
35 |
|
4 |
威爾遜(英國) |
5 |
5 |
14 |
5 |
5 |
6 |
4 |
|
|
|
|
44 |
|
5 |
李科(中國) |
4 |
13 |
5 |
9 |
2 |
7 |
6 |
|
|
|
|
46 |
根據前7場的比賽結果，能否預測誰將獲得最后的勝利？
1996年美國亞特蘭大奧運會，當年我看了很多比賽的直播，印象最深的就是中國女足，從小組賽到決賽，每場比賽直播我都看了，女足姑娘們打出了非常漂亮的足球，最終獲得了那屆比賽的亞軍，決賽1-2惜敗給了東道主美國隊。在那屆奧運會上，中國香港運動員李麗珊獲得了帆板比賽的冠軍.這是她比賽時的一些照片，帆板比賽是看誰得分低，誰獲勝的，第一名就得1分，第二名就得2分，第10名就得10分…….奧運會的帆板比賽要進行11場，以其中成績最好的9場計算最終的名次.
【師】根據前7場比賽的結果，能預測誰將獲得最后的冠軍嗎？
【生】我覺得應該是李麗珊，我對比了這5名運動員前7場比賽積分的平均數和標準差，判斷出來的.
【師】請用數據說明理由.
【生】因為帆板比賽是誰分低，誰獲勝，這7場比賽李麗珊的平均得分是最低的，說明她的成績優異；而且她的得分標準差也是最低的，說明她發揮最穩定.
雖然此時還有4場比賽沒有進行，但是可以假定每位運動員在各自的11場比賽中發揮的水平大致相同，因此可以把前7場比賽的成績作為總體的一組樣本，并由此估計每位運動員最后比賽的成績.所以，我們有足夠的理由相信李麗珊在后面的4場比賽中會繼續保持優異而穩定的成績，獲得最后的冠軍.事實也驗證了這一預測，李麗珊最終以優異的成績，成為了中國香港首位奧運金牌得主.但是在頒獎的時候，當時升的還是英國的國旗，奏的是英國的國歌.香港哪年回歸的？1997年，所以回歸之前都是奏英國國歌，在1998年，李麗珊參加曼谷亞運會，再次奪得金牌，這一次，升的是香港的區旗，奏的是中國的國歌，在接受采訪時，她表示格外的激動，終于能夠聽著中國的國歌站在領獎臺上.
【設計意圖】讓學生了解平均數和方差的實際意義，強化樣本估計總體以及實際問題中合理選取樣本的意識，同時滲透愛國主義教育，增強民族自豪感！
5.3活動展示
5.3.1課前準備
組織同學們開展飛鏢選拔賽活動，每人投擲10次，記錄每次投擲的環數，選取總分最高的三名同學的成績數據作為例題素材，制作成表格.
【設計意圖】讓全體學生通過課前活動，都參與到例題素材的數據采集當中，一方面更能吸引學生積極地投入到數據的收集、整理、分析等活動之中，另一方面也使學生體會到統計在日常生活中的廣泛應用.
5.3.2情境分析
例3 三名同學投擲飛鏢，10次投擲成績(單位：環)如下表所示.
|
|
姓名 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1 |
李紫盈 |
6 |
7 |
7 |
8 |
6 |
8 |
7 |
8 |
9 |
7 |
|
2 |
王桂芳 |
7 |
6 |
7 |
8 |
9 |
8 |
10 |
5 |
8 |
6 |
|
3 |
向磊 |
5 |
8 |
2 |
10 |
8 |
4 |
9 |
10 |
6 |
10 |
現要從這3名同學中選拔一人參加比賽，根據他們的投擲成績，如何進行選拔？
【預設情境】教師巧設問題情境，調動課堂氣氛，讓同學們分組合作，為三位同學提供數據幫助，由三位同學進行理由闡述.
【師】我覺得最后一輪向磊同學表現最好，就派向磊代表我們班比賽吧，可以嗎？
【生】不行.
【師】同學們認為你不行，向磊你用數據說話，看看能不能說服同學們？
【向】我有3次投中了10環，從眾數來看，我的眾數是10環，王桂芳是8環，李紫盈是7環，顯然我是最高的；再看看中位數，我的中位數是8環，王桂芳是7.5環，李紫盈是7環，還是我最高，所以選我最好.
【師】向磊同學用眾數和中位數進行了對比，認為選他最好，你們同意嗎？
【王】我不同意，我認為應該選我.對比我們三個人的平均成績，向磊是7.2環，李紫盈是7.3環，我是7.4環，我的平均成績是最高的，所以應該選我.
【師】李紫盈和向磊，你們服嗎？
【李】我不服，我認為應該選我.我們三個人的平均成績差別不大，而從穩定性來看，無論是極差，還是方差和標準差，都是我最低，所以應該選我.
【師】王桂芳和向磊，你們服嗎？
【王】我不服，除了穩定性，從眾數、中位數、平均數來看，李紫盈沒有一項比我好，明顯我的實力更高，要想拿冠軍，肯定需要拼一拼，我是最合適的人選.
【師】你們還有意見嗎？
【李】綜合平均成績和穩定性來看，我去比賽可以確保前三名，拿到獎牌，他倆發揮不穩定，萬一失誤，很可能連獎牌都拿不到，這樣風險太大，所以應該選我.
【師】向磊還有意見嗎？
【向】雖然我的成績最不穩定，但是我的潛力巨大，這個成績中，我有一次只投了2環，那一鏢實在是發揮失常，正式比賽時，我肯定不會犯這種錯誤.我算了一下，如果除去最低分，我的平均成績是最高的，其實我是最有實力沖擊冠軍的，要比就拿冠軍，其它名次沒有意義.
三位同學站在不同的角度分析了自己的優勢，其實都有道理。所以，不同的標準沒有對于錯的問題，也不存在所謂唯一解的問題，而是根據需要來選擇“好”的決策，至于決策的好壞，是根據提出的標準而定的.
【設計意圖】通過自主探究與協作交流，學生會不斷地比較自己的理解與他人理解的差異，不斷地糾正自己的認識，逐步構建完整的知識體系，加深對知識的深入理解.讓學生通過生活實例感悟樣本數據的功能，從不同角度分析問題推理得出不同結論，統計中沒有嚴格的對于錯，只有優與劣，突破教學難點.
5.4課堂小結
今天我們學習了樣本的數字特征，學會了從數字的角度去估計總體。其中，例題1讓我們熟悉和鞏固了這些數字特征的計算.并且感受到了籃球運動員樣本數據的重要作用.例題2讓我們知道可以通過樣本的數字特征去估計總體的結果，只要抽樣的方法合理，那么樣本可以很好的反映總體的信息.于此同時，也讓我們感受到了奧運會的獨特魅力以及運動員的愛國熱情.例題3讓我們進一步感知到數字特征在實際問題中的作用，并且在不同的標準下，作出的決策往往也是不一樣的，并沒有所謂的“標準答案”.
5.6課后作業
教材P
169練習
報訊：“1997年-2008年，鐵路執行兒童票的身高限制為1.1 m~1.4 m.此次是鐵道部第二次修改兒童票的限高標.2008年12月21日，鐵道部規定兒童票身高限制調整為1.2 m~1.5 m，將兒童票上、下限都提高了10 cm.這意味著12月21日新規實行后，身高1.2 m以下的兒童可免票，身高1.2 m~1.5 m的兒童可購買半票.”閱讀以上材料，請你說說兒童票限高標準的提高可能與什么有關，并借助互聯網查閱相關原因.
6板書設計
7教學反思
本節課用生活中的實例引導學生感受統計在實際問題中的應用價值，增強基于數據表達現實問題的意識，養成通過數據思考問題、指導決策的習慣.正如數學教育家波利亞所說：“學習任何知識的最佳途徑即是由自己去發現，因為這種發現理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系.”
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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