視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《探究函數y=ax+b_x的圖像與性質》海南—葉
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海南—葉穗—設計—探究函數y=ax+b_x的圖像與性質
探究函數的圖象與性質教學設計
人教A版高中數學必修第一冊
海南中學 葉穗
一、教學內容解析
（一）內容
函數的圖象、性質與變形。
（二）內容解析
內容的本質：對勾函數是由正比例函數和反比例函數通過加法運算得到的新函數，是生活中常見的一類函數模型，因其結構的獨特性，與兩類構成它的函數之間有著密切的聯系，能夠與基本不等式相結合解決實際問題，彌補基本不等式在取等時的不足，可研究的性質較為豐富，可變形的空間較大，能夠輔助研究的模型種類較多，既可以從函數圖象的角度研究性質，也可通過結構與性質的分析研究函數圖象。
從函數結構上分析，當
時，函數圖象均呈“對勾形狀”，因其結構相似，此類函數的分析研究思路一致；從變化趨勢上分析，對勾函數的變化趨勢可以通過對正比例函數與反比例函數的疊加分析推測，利用基本不等式取等條件時，取得的特殊點處，剛好也是兩個基本初等函數的交點處等同橫坐標；從圖象位置上分析，對勾函數因其始終位于兩個基本初等函數的上方，也可利用圖象輔助觀察出兩條漸近線，從而獲取繪制對勾函數圖象的關鍵要素，其中漸近線也可以涉及到極限分析的范疇；從函數變形上分析，部分分式函數可通過常數分離化為對勾函數，運用對勾函數的圖象與性質可研究此類分式函數模型，建立函數結構變形與函數性質之間的橋梁。
蘊含的數學思想和方法：總結歸納研究函數的一般路徑，用一般思想方法引領學生探究，發展學生的一般觀念，是培養學生數學核心素養的有效措施，在回顧和強化研究函數的一般路徑，形成系統的研究思路，依據“事實—概念—性質—結構—應用”這一明線路徑，選取性質與結構為主線，引導學生自主探究函數
的圖象與性質，蘊含著類比、化歸等思想方法，培養了學生直觀想象、邏輯推理和數學抽象等核心素養；在探究正比例函數和反比例函數對對勾函數圖象影響的過程中，學生經歷直觀觀察、性質剖析，從變化趨勢和位置關系，挖掘研究結構，滲透數形結合等思想方法，培養了學生直觀想象、邏輯推理等核心素養；在對于分式函數變形以及開放式變形探究活動中，給學生自由想象的空間，增強學生邏輯推理能力，提升學生思維的靈活性，培養了邏輯推理等核心素養。
知識的上下位關系：對勾函數是一類重要的數學模型，教材雖未作過多介紹，僅有內容編排在人教A版高中數學必修第一冊第三章《函數概念與性質》中探究與發現一欄，是《普通高中數學課程標準（2017年版）》要求的“數學建模活動與數學探究活動”的一部分，基于冪函數的學習基礎，帶著研究函數路徑的三個問題，從研究對勾函數的結構入手分析對勾函數的圖象與性質，重在讓學生經歷探究、發現的過程與方法、形成探究的路徑和意識，積累探究問題的經驗，為后續的基本初等函數的研究作鋪墊。
（三）教學重點
對勾函數
的圖象與性質，對勾函數結構變形與分析。
二、教學目標設置
（一）課時目標
（1）探究函數
的圖象與性質；
（2）探究函數
和函數
對函數圖象的影響；
（3）探究函數
的圖象與性質；
（4）探究函數
的結構與變形。
（二）目標解析
達成以上目標的標志是：
-
學生能通過信息技術繪制函數的圖象，通過直觀感知、操作確認，抽象、歸納出該函數的性質，能用代數證明這些性質。
-
學生能通過繪圖直觀感知，結合函數和函數的圖象變化趨勢和位置關系，對對勾函數的變化趨勢影響進行分析，揭示兩類函數與對勾函數之間的內在聯系。
-
學生借助Geogbra軟件自主選擇參數
，繪制的函數圖象，發現并歸納總結該函數的圖象特征與函數性質，深化研究函數的一般思路。
-
能在函數的基礎上進行結構變形，挖掘不同參數下的函數圖象的不同，猜測函數的圖象并利用信息技術繪制驗證其猜想，獲取利用結構研究函數圖象與性質的一般方法。
三、學生學情分析
（一）學情分析
函數
對于學生而言并不陌生，在此之前，學生已掌握了函數的概念與性質，初步積累了研究基本初等函數的基本路徑，能夠總結簡單的函數性質，利用基本不等式研究其特殊點，通過觀察也能發現兩條漸近線。但學生對研究函數的一般思路與方法還缺乏清晰的認知，沒有完全形成研究函數的一般觀念，不能從量與量之間的關系和結構思考問題，還停留在研究定義域、值域等性質中，不能深刻挖掘函數
與函數
、函數
的聯系，給自主探究過程帶來了困難。
基于學生深入研究函數
的圖象、結構與性質，學生自然會對
的取值對函數
圖象的影響產生好奇，自主探究函數
的圖象與性質可完成度較高，但要注意部分學生將兩類函數的研究思路割裂開來，忽視函數
和函數
的結構分析，不能最大限度地發揮“形”與“數”相結合的研究思路；利用ggb軟件繪制并觀察函數
的圖象，學生自然能發現圖象與對勾函數圖象類似，進而從運算角度研究這兩個函數之間的關系，將未知的函數轉化為已知的函數，但學生的邏輯推理論證的能力不足，完成程度還有待提升。
基于以上診斷，解決以上問題的關鍵在于引導學生動手操作，直觀觀察圖象，發現、歸納和總結性質，積累研究函數的經驗，提升挖掘結構分析能力，體會數學研究過程的完整性。
（二）教學難點
研究函數路徑的回顧，函數
的變形分析。
四、教學策略分析
（一）教學支持條件分析
使用Microsoft Office PowerPoint、希沃白板，運用Geogbra多媒體技術動態演示，直觀呈現，能幫助學生更好的分析問題、解決問題。
（二）教學材料組織分析
合理利用教材探究與發現一欄切入課題，銜接研究函數的基本路徑回顧，引導學生體會研究過程中應加入更多靈活的思考，從更為宏觀的角度掌握一般的數學研究方法，挖掘函數的圖象與性質之間的聯系，提供研究函數結構的基本思路，選取適應的幾類函數供學生驗證深入，引導學生自主構造函數，觀察圖象驗證猜想，將函數研究路徑進一步推廣升華。
（三）教學方法分析
本節課主要為探究性課堂，學生基礎整體較為良好，能夠研究對勾函數的圖象與基本性質，課堂以學生為主體，重心落在讓學生自主探究，從函數圖象、性質與結構等多個方面深入研究對勾函數，大膽放手讓學生成為課堂“小老師”，教師作輔助者、引導者、補充者等角色。
（四）問題串設計分析
本節課主要設計兩個關鍵問題和四個探究活動，關鍵問題分別為總結歸納研究函數的基本路徑，以及從對勾函數的結構發現函數
和函數
對對勾函數變化趨勢的影響，關鍵問題中有多個小追問逐步引導；四個探究遵循研究函數
的圖象與性質，過渡到研究參數
對函數
圖象的影響，再從結構與代數中發現函數
的圖象與對勾函數圖象之間的聯系，最后一個探究則要求學生自主設計一個新函數，猜想其函數圖象，利用信息技術繪制圖象，并談談你的發現。
（五）學習反饋分析
課后提供有研究意義的思考題給學生多次探究驗證，獲取系統的研究函數手段，形成宏觀研究數學的一般思路。
五、教學過程
（一）創設情境，引出課題
引導語：近期海南爆發疫情，海口人民的朋友圈都被這個“貼貼”刷屏了，小明是一名初升高的學生，疫情期間，他居家自學高一數學，當他翻到必修第一冊92頁，其探究與發現一欄要求研究一個新的函數。
師：小明問到，除了基本的性質外，還可以怎么系統地研究這個函數？今天請各位同學充當小明的老師，來一起為小明答疑解惑。為解決小明的疑惑，我們需要深入思考研究函數的一般路徑與方法。
【問題1】給你一個新函數，你將如何研究？請總結歸納下研究函數的基本路徑。
生:回答較為單一，但基本都能關注到圖像和性質這兩個關鍵要素。
師（引導完善）：研究函數，通常最先接觸的是函數在生活中的案例體現，這些我們稱為事實，經由事實我們抽象出了函數的概念，進而研究函數的圖象與性質，而在運算和變形的過程中，又研究了函數的結構，最后才是函數的應用。根據之前研究基本初等函數所積累的經驗，我們可以明確為研究函數的基本路徑為“事實—概念—性質(關系)—結構(聯系)—應用”，因此，圖象、定義域、單調性這些性質僅僅只是研究函數路徑中的一環。
師生活動：有趣且緊跟時事的引入，有效吸引學生的注意力，通過提問啟發思考，引導學生回顧和完善研究函數的路徑，從而獲得研究函數的一般方法和路徑。
設計意圖：引言提供了小明的知識儲備背景，表明了小明在自學情況下，已經研究過了基本初等函數，為后續的研究路徑回歸奠定了基礎，學生對于研究函數的路徑回顧大多數較為單一，在他們的認知里，研究函數僅局限于研究其圖象與性質，但研究其結構的過程中，能夠挖掘更多的發現，學生也將會在后續的研究中體會到，路徑不是一條明確定死的路線，研究過程中應加入更多靈活的思考，從更為宏觀的角度掌握一般的數學研究方法。課堂中，要求學生自我定位為幫助小明研究函數的“小老師”，而不局限于回答問題的“學生”，學生定位的不同會影響學生思考的深度。
（二）明確任務，合作探究
探究1：本節課我們將以函數為例展開研究，利用信息技術（Geogbra軟件）繪制的圖象，觀察函數圖象的形狀特征，并研究該函數的基本性質。
師：課前老師已經要求同學們完成這項任務，我們請一位小組來分享下研究的結果。
生：（小組分享并羅列研究出來的性質）。
師（追問1）：觀察該函數的圖象，形狀如何？
生：函數圖象整體呈兩個“對勾”的形狀。（學生若回答其他形狀也可加以鼓勵和引導）
師（追問2）：特殊點和漸近線是如何獲得的呢？
生：（學生基本能回答利用基本不等式研究函數的特殊點，但漸近線他們目前沒有能力證明，只能通過利用信息技術繪圖觀察或者簡單利用極限原理推理得出來）
師（鼓勵引導）：這個函數稱為對勾函數，又被稱為“雙勾函數”、“勾函數”、“耐克函數”、“雙飛燕函數”、“海鷗函數”。
師：還有沒有其他小組有其他的發現？
生：（若學生沒有其余發現，教師可繼續引導，若有不同的發現，鼓勵其分享）
設計意圖：每個學生小組（5人）配備一臺筆記本電腦，學生可使用Geogbra軟件繪圖觀察并研究其圖象性質，參與圖像生成和發現規律的過程，再借助函數表達式證明函數的性質，強化學生從基于形的直觀和基于數的運算兩個角度，研究函數的意識，幫助學生提高數學表達能力，發展學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理等核心素養。由于時間有限，性質的發現和證明已要求學生在課前完成。
（三）深入挖掘，動態研究
引導語：我們發現，漸近線
剛好是構成對勾函數的一部分，即函數
是由正比例函數
和反比例函數
疊加而成的函數。
【問題2】這兩個函數是否對對勾函數的變化趨勢有影響?請同學們利用ggb軟件繪制出函數
和函數
的圖象，從變化趨勢、圖象位置等角度展開研究，并談談你的發現。
生：（學生探究不設限，自由分享）
師：（若學生已能自己觀察出以下幾點，教師作簡單點評，若未能觀察出來，教師輔助引導，如有其它發現，教師加以鼓勵）可從函數結構分析圖象的位置關系，例如當
時，
，函數
的圖像始終位于函數
的圖像上方且永遠都不接近，因此可以從這個角度分析出來直線
是對勾函數的漸近線，所以在第一象限中，對勾函數的圖象也被夾在這兩個圖象之間了。
也可從變化趨勢推測出對勾函數的變化趨勢，例如函數y=x是勻速增長，:函數
是單調遞減的，當
(0,1)，函數
遞減速度較快，此時反比例函數占主要影響，因此對勾函數在
(0,1)上單調遞減，當
時，函數
遞減速度減慢，此時一次函數占主要影響，對勾函數單調遞增。
還可以研究漸近線，例如當
，故
，
軸為一條漸近線；當
，故
，則
為另一條漸近線。由對稱性可得，當
時也滿足。
師：挖掘函數的結構，從對圖象的感知，再由性質去驗證，是研究函數中最重要的思想方法，即數形結合。
師生活動：求學生在限定時間內進行小組討論，小組記錄員針對不同的討論結果進行歸納分析，最后小組代表總結并證明自己發現的性質，提出遇到的疑問。學生先獨立思考，發表意見，教師投屏展示學生ggb研究結果，傾聽學生的想法，給出評價，通過問題2,啟發學生體會兩個函數相加構成的新函數的性質與這兩個函數性質之間的聯系，構建起代數研究圖像變化的關鍵橋。
設計意圖：引導學生由靜態視角轉移到動態視角，從數學運算的角度挖掘函數的結構，利用ggb作圖觀察函數的變化趨勢，為后續利用此類性質研究一般型對勾函數圖象與性質的規律總結，奠定了基礎，加深學生數形結合思想的滲透，打破研究路徑的死板性，拓展學生看待問題的視野，發展了學生的直觀想象和數學抽象素養。
（四）由數辨形，由形斷數
引導語：函數
的圖象是否也是呈現對勾的形式呢？
探究2：各小組自主選定參數
利用信息技術繪制
的函數圖象，談談你的發現，并總結其函數性質。
小組分享（若學生分享內容不足，教師可通過追問讓其補充完整）：
追問1：從你繪制的圖象中，觀察出什么規律？
追問2：這類函數為什么都呈現出相似的圖象？原理是什么？
追問3：請你總結這類函數的性質。
師（可補充）：這類函數的結構與函數
的結構相似，因此不論如何選定參數，這類函數的形狀都是類似的，其研究思路應是一致的。
師生活動：學生自主選用參數，利用ggb軟件繪圖探究，也可引導學生設置游標尺研究參數變化時對函數圖象的影響，并類比函數的研究總結函數的性質，要求達到學生親身經歷觀察、發現與驗證，利用數形結合研究函數的過程。
設計意圖：學生類比
的研究過程，對
的研究有跡可循，發現此類函數解析式結構與圖象形狀均類似，信息技術幫助學生直觀研究參數
和參數
對函數的影響，其中參數
影響了對勾函數的漸近線，即影響了函數圖像的范圍，參數
和參數
共同影響了函數的值域和單調性，挖掘影響對勾函數圖像的幾個關鍵要素。
（五）研究結構，變形升華
探究3：我們深入研究函數
的結構，也許會有不同的發現，請同學們利用信息技術繪制并觀察函數
的圖象，說出你的發現.
師：有沒有小組談談你們的發現？
生：我們發現它和對勾函數的圖象是類似的。
師：原理是什么呢？
生(若學生分享不全面，教師再作補充）：當
時，由
可得
，因此可以將函數化簡為對勾函數的形式，由基本不等式可得第一象限的特殊點為
.圖像由
向左平移1個單位，向下平移1個單位，則漸近線為直線
=-1和直線
,對稱中心為
。
師：有些函數通過變形為對勾型函數，便可以利用對勾函數的性質去研究。經過研究，我們對此類對勾函數的圖像與性質有了一定的了解，對勾函數其實就是一類基本不等式的函數模型，但這還不是對勾函數能呈現給我們的全貌，接下來我們將研究對勾函數的結構，看看能從中還能獲取哪些有趣的發現。
探究4：請依據以下要求，設計一個新函數，猜想其函數圖象，利用信息技術繪制圖象，并談談你的發現.
(1)變換函數
的參數
(2)對其結構進行變形（通分、平方、倒數......）
生：（開放式探究，學生自由分享）
師生活動：教師放手交給學生探究，將思路集中在對函數
的結構變形中，讓學生上臺投屏分享，共同交流猜想與驗證的過程。
設計意圖：注意引導學生根據之前對該類函數已有的研究經驗，進行結構變形，猜想驗證，加深結構研究，體會圖象變換，放手讓學生自主探究，鼓勵學生間相互合作，給學生自由想象的空間，增強學生邏輯推理能力，倡導積極主動、勇于探索的學習方式，提升學生思維的靈活性。
（六）小結提升，形成結構
-
本節課要研究的主要內容是什么?
-
本節課你是如何構建研究的路徑?采取了怎樣的研究手段?
設計意圖：通過概括研究函數的研究路徑，梳理本節課的主要知識內容，體會數學的整體性。
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