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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《利用導數解決實際問題》遼寧—宋
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遼寧—宋永任—設計—利用導數解決實際問題
人教B版普通高中教科書選擇性必修三
第六章——導數及其應用
《6.3利用導數解決實際問題》
授課學校：遼寧省大連市第二十三中學
授課教師：宋永任
《利用導數解決實際問題》教學設計
大連市第二十三中學 宋永任
一、教學內容分析
1.教材內容分析
本節內容選自《普通高中數學選擇性必修第三冊》人教B版（2019）第六章第三節《利用導數解決實際問題》，本節是在理解了導數的概念，掌握導數的基本運算，運用導數研究函數的性質，進而解決一些實際問題，通過對現實中最優化問題的合理抽象、恰當建模，準確求解，綜合反饋加深學生對所學導數知識的理解，提高學生利用所學知識解決實際問題的能力。
2.地位與作用
本節內容主要通過具體實例感受導數在研究函數和解決實際問題中的應用，體會利用導數研究一般函數性質的便捷性，理解為什么函數可以成為構建模型的有效數學語言，從而理解研究函數單調性不僅僅是為了數學本身的需要，也是為了更好地表達世界的需要。
3.重難點分析
本節的重點是利用導數知識解決實際生活中的最優化問題，第一個難點是建立函數模型，需要明確常量與變量之間的關系，由實際問題建立函數關系式，并且需要注意自變量的取值范圍。第二個難點是對建立的函數關系式求最值，利用導數求解是一般方法，但對復雜函數的求導運算仍然是學生們的難點。為了突破這個難點，還要帶領學生分析函數類型，復習求導的運算法則，進一步提升學生們的數學運算素養。
二、教學目標設置
本節課采用“逆向教學設計”，以課程目標為出發點，結合單元學習目標，制定本節課目標，然后圍繞目標進行過程性評價進行設計。
我們要明確為誰培養人，培養什么樣的人，怎樣培養人，我們要為社會主義建設培養接班人，所以提倡立德樹人，五育并舉，所以本節課從介紹社會主義建設的成果出發，學生能從中體會到社會主義建設成果顯著，我國綜合國力不斷增強，從而樹立遠大理想，努力學習理論知識，為進入高等數學的學習做鋪墊，從而為社會主義建設做出更大的貢獻，這是本節課的目標之一，通過學生表達自己的感受進行評價。
想要培養學生能對實際問題進行觀察、比較、分析、抽象概括，領悟“三會”，本節課的目標是學生能從陌生情境中抽象出數學問題，能將文字語言轉化成數學語言，再轉化到符號語言，然后利用導數解決最優化問題，從而突出本節課的重點。理解函數為什么能夠成為構建函數模型的有效的數學語言，通過練習題的解答與表述進行評價。
三、學生學情分析
教學對象是省示范性高中強基班學生，選科物化生，物化政等。學生思維普遍活躍，善于表達，善于發現問題，樂于和教師交流分享他們的解題心得。但是這個年齡段的學生對材料的理解，對問題的分析可能不夠全面，抽象概括能力也還比較弱，特別是遇到陌生情境時，理解問題的實際背景、分析問題的復雜條件，建立和求解數學模型，檢驗模型的實際意義，利用模型最終分析和解決問題等環節都可能遇到一定的困難，導致實際問題的解決不能順利完整的完成，需要教師的引領。
學生本章學習了導數的概念，掌握了一般函數的求導法則，能夠利用導數分析函數單調性求函數的極值與最值，具備解決實際問題的理論知識，盡管學生在高中階段多次經歷數學建模活動，對數學建模活動的步驟比較清楚，能利用函數知識解決簡單的數學應用問題，但是“應用意識”還不夠強，多數同學還是停留在“學數學，做數學”的層面上，只是給題做題，不善于自己發現問題。
四、教學策略分析
基于對教學內容、教學目標的分析和學情分析，本節課采用如下的教學策略：
1．以我國社會主義建設和科學技術發展為主線，以南海石油開采運輸為背景作為引入，不斷探索現階段能為社會主義建設做哪些貢獻：鋪設輸油管道的線路設計、煉油廠儲油罐的設計，石油的故事宣傳畫設計等。激發學生的學習興趣和求知欲，培養學生的愛國主義精神，在同學們心中種下科技強國的種子，勇于開拓創新、迎難而上。
2．本節課在整章中占有重要地位，作為本章的應用課，是對之前學習內容的檢驗與深化，進一步內化導數是分析函數性質的重要工具，函數是構建模型的有效數學語言。作為整個高中階段的倒數第二節課，承擔著為進入高等數學的學習進行鋪墊的責任。練習3是經典的鉛球擲遠問題。可以利用現有的知識進行簡單的數學建模，但是抽象的過程和設置變量還是有難度的，需要教師的引導，建模后利用常規求導運算求最值比較復雜，帶領大家賞析求解過程，了解高等數學里還有解決問題的更好方法，需要進一步學習和探究。
3．本節課以“學生為主體，教師引導”教學原則來設計，著重解決了學生的幾個疑問。
（1）實際生活中的問題如何轉化為數學問題？
如何用所學的數學知識解決現實生產、生活中存在的問題，一直是數學學習的最高要求，在本節課的學習過程中，有意識地引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界.
對實際問題閱讀理解、合理抽象、分析出常量與變量，結合實際問題與所學過的數學知識列出關系式，通過選取不同的未知量，建立不同的函數模型，利用導數等方法解決數學問題得到答案，然后再把答案返回到實際問題中去，獲取具有實際意義的結論。
（2）利用導數解決實際問題的優越性？
實際生活中經常會遇到最優化問題，如在鋪設管道或者公路時，怎樣花費最少？在制作容器時，怎么樣用料最省？等等這些問題都需要需求相應的最佳方案或者最佳策略，因為利用導數可以求得最值，所以可以利用導數來求解最優化問題，并且利用導數可以分析一般函數的單調性，所以只要建立相應的函數關系式，都可以求出最優解，利用導數解決問題方便、有效。
五．教學過程設計
| 教學環節 | 教學內容 | 師生互動 | 設計意圖 |
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創設情境 提出問題 |
一．背景介紹—— 通過觀看cctv9播出的紀錄片《石油的故事》了解到我國南海有著豐富的石油資源，但是海洋環境比較復雜，開采運輸及其困難，經過幾代石油人的共同努力，反復研究與實踐，終于自主研發出我國第一座深海半潛式鉆井平臺——“海洋石油981鉆井平臺”，它不但能扛住南海的17級臺風和200年一遇的巨浪，甚至幾千噸的船只正面撞擊，它也會屹立不倒，因此被稱為南海的“定海神針”。 開采技術突破了，但該如何把采到的石油安全快速的運回陸地呢？效率最高的是采用大型郵輪，但是對于深海采油平臺來說十分不方便，另一個是利用海底石油管道進行輸送，海底鋪管工作也是十分具有挑戰性的，需要分析復雜的海底環境，針對不同的地貌特征，選擇不同的鋪管路線和作業條件，經過鋪管船幾個月的工作，就可以鋪設幾百公里的輸油管道。  問題1：談一談你讀了背景材料后的感受。問題2：現發現一油井，已經測出了部分的數據，大家思考：怎么鋪設輸油管花費才能最少呢？ 二．提出問題—— 如圖所示，海中有一座油井A,其離岸的距離AC=12 km，岸是筆直的，岸上有一座煉油廠B，且BC=16 km ，現要用輸油管將油井A與煉油廠B連接起來，且輸油管既可以鋪設在水下，也可以鋪設在陸地上，還可以一部分鋪設在水下另一部分鋪設在陸地上.已知水下的鋪設成本為每千米50萬元，陸地的鋪設成本為每千米30萬元，那么鋪設輸油管的最少花費是多少？ |
教師創設情境 學生理解情境 學生分析問題 學生思考問題 |
1.堅持立德樹人，倡導“五育”并舉，以央視播出的紀錄片《石油的故事》做背景介紹，了解我國社會主義建設成果顯著，綜合國力不斷增強，即便南海氣候條件惡劣，石油人依然奮勇向前，堅持奮斗在祖國最需要的地方，激發同學們的愛國主義精神，激勵同學們不怕吃苦，甘于奉獻，堅定同學們勇于挑戰困難的決心和戰勝困難的信心，能夠努力提升自身實力，去祖國最需要的地方建功立業。 2. 以生活中遇到的實際問題為切入點，強化應用意識的培養，使學生發現數學不僅僅只有理論推導，確實是來源于生活，應用于生活。 3. 情境新穎，能夠吸引同學們的注意力，激發同學們的學習興趣和探究熱情。 |
| 教學環節 | 教學內容 | 師生互動 | 設計意圖 |
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探究問題 引入課題 梳理思維 |
三．分析問題—— 探究1.根據所給數據，嘗試給出最優的鋪設方案。 問題3：請x同學回答：你從材料中讀到了哪些信息？ 問題4：你的鋪設方案是什么？ 問題5：你的方案中最少花費是多少？你是怎么計算的呢？ （1）先沿AC鋪設，再沿CB鋪設； （2）直接沿著線段AB鋪設. （3）在BC取一點D，先沿BD，再沿DA鋪設.  （3）最優鋪設方案：方案1：如圖所示，在岸上取一點D，設其距離C的距離為  ，則  ,  ,記先沿AD鋪設再沿DB鋪設輸油管時成本為  萬元，則  問題6：觀察函數解析式，思考能用什么方法求解最值？ 因此, 當  時,  令  可解得 |
學生探究問題 教師提出課題 教師提出問題 學生思考問題 學生解決問題 |
1.提升學生閱讀能力，能夠快速提取背景材料中的關鍵信息，理解題意，經過分析轉化為數學問題。生活中遇到的實際問題，需要尋求相應的最佳方案或最佳策略，在數學上統稱為最優化問題，解決最優化問題的實質是抽象成數學問題，轉化為數學上求最值的問題。 2.充分發揮學生的想象力，培養學生的發散思維，能夠有多少種鋪設輸油管的方法呢？學生自己探索，比較每種鋪設方法的優劣。 3.引導學生發現身邊有關最優化問題的實例，培養學生善于用數學的眼光觀察世界。 |
| 教學環節 | 教學內容 | 師生互動 | 設計意圖 |
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層層遞進 梳理思維 |
因此可知在 上遞減，在 上遞增，從而 在 時取得最小值，而且最小值為 最少花費是960萬元. 問題7：還可以設哪些未知量列出函數關系？ 方案2：如圖所示，在岸上取一點D，設  ，記先沿AD鋪設再沿DB鋪設輸油管時成本為 萬元， ， ， ，則  , 問題8：觀察函數解析式，思考能夠用什么方法求解最值？ 解法1：三角函數有界性 解法2：數形結合：兩點連線斜率 解法3：導數 四．解決問題—— 實際問題的解題程序：    讀題 建模 求解 反饋（文字語言）（數學語言）（數學應用）（檢驗作答） |
師生合作完善 教師提問問題 學生思考問題 學生解決問題 師生找出最佳鋪設方案，歸納利用導數解決實際問題的方法步驟。 |
1. 解決實際問題的關鍵是建立函數模型，這也是本節課的難點之一，為了更好的突破難點，需要審清題意，明確變量與常量之間的關系，再寫出實際問題的函數關系式，還要根據實際問題標注變量的取值范圍。 2. 合理選擇未知量，建立不同函數模型，求解最值問題的方法有很多，比如導數、均值不等式、三角函數等，通過不同方法的比較分析，突出利用導數求解函數最值的便捷性和一般性，進一步強調本節課的授課重點。 3.導數是學生剛接觸的新知識，對分式型函數和復合函數的求導運算仍然是學生們的難點之一。為了突破這個難點，還要帶領學生分析函數類型，復習求導的運算法則，進一步提升學生們的數學運算素養。 |
| 教學環節 | 教學內容 | 師生活動 | 設計意圖 |
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鞏固練習 內化新知 |
五．鞏固練習—— 練習1：要設計一個容積為V的有蓋圓柱形儲油桶，已知側面的單位面積造價是底面的單位面積造價的一半，而蓋的單位面積造價又是側面的單位面積造價的一半，則儲油桶的半徑r和高h之比為何時造價最省？  練習2：現在要設計一幅《石油的故事》宣傳畫，要求畫的面積為4840  ，畫面的寬與高之比為 ，畫面上，下要留8cm的空白，左右各留5cm的空白，畫面的高和寬為多少時，所用的紙張面積最小？ |
教師提出問題 學生思考問題 學生解決問題 教師提出問題 學生思考探究 學生合作交流 學生評價表達 |
1.立足教材，給學生提供一個完整的運用知識的平臺，幫助學生進一步落實基本知識，提高基本能力，三個反饋練習，使學生熟練利用導數來解決最優化問題，強化學生清楚函數是構建模型的有效數學語言。進一步內化導數是分析函數性質的重要工具， 2.通過學生對練習題的理解和表述，評價目標是否達成，找到學生理解的難點然后突破它。 3.社會主義建設需要各種類型的人才，可以是做技術攻堅者，可以做文化的傳播者等等。 |
| 教學環節 | 教學內容 | 師生活動 | 設計意圖 |
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鞏固練習 內化新知 |
六．評價檢測—— 練習3：數學建模活動賞析：你投擲過鉛球或者看過投擲鉛球吧.運動員手指握球、置于頜下、上體微屈、背對投向,左腿擺動、右腿蹬伸、滑步向前、送出右髖,伸直右臂,將球迅速、有力地推出,極大的爆發力使鉛球畫出一條優美的弧線,落向遠方.  問題9：你覺得出手角度是多少時投擲距離最遠？ 提出問題1：你能運用所學知識，分析投擲距離與鉛球的初始速度、出手角度等因素的關系,找出最佳出手角度嗎？ 問題分析1：男子鉛球的直徑只有11 cm至 13 cm,在短暫的飛行中所受的阻力可以忽略.于是可將鉛球視為一個質點,以一定的初始速度和出手角度投出后,在重力作用下作斜拋運動.物理知識告訴我們,飛行軌跡是一條拋物線, 建立模型一：若不考慮鉛球出手高度,建立坐標系如圖2,初始速度v方向與x軸的夾角為  .v在x軸和y軸上的投影分別為 .忽略空氣阻力,鉛球飛行過程中在x軸方向不受力,在y軸方向只受重力作用(與y軸反向),記重力加速度為g. |
教師提出問題 學生思考問題 學生回答問題 |
1.除了鉆井平臺等高科技的需要，體育競技等等日常生活中還有很多實際問題可以抽象成數學問題，然后用數學的語言描述它，簡化它，解決它。 2.物理中的斜拋運動是學生高一入學就學習的知識，學生非常熟悉，而向斜上方45度角投擲會得到最大距離也是我們日常的經驗，但是可以通過數學理論的推導，用數學的邏輯推理，證明出除了角度還與出手高度有關，與已有經驗產生沖突，激發學生的學習興趣，帶著好奇心，期待進入高等數學的學習。 |
| 教學環節 | 教學內容 | 師生活動 | 設計意圖 |
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解法賞析： |
設鉛球在時刻t=0從坐標原點投出,按照運動的基本規律,鉛球在任意時刻t的位置坐標( x，y)滿足: 記投擲距離為s ,注意到鉛球落地即y=0,此時的x坐標等于s ,(1)式化為：  消t得： 解決問題：1.上式給出投擲距離s與鉛球初始速度v和出手角度 的關系. 當出手角度 時 , ,投擲距離s達到最大,最佳出手角度與始速度無關,這也就是大家熟知的“物體以45度角拋出的距離最遠”.解決問題：2.對任何出手角度 ,投擲距離s與鉛球初始速度v的平方成正比,表明初始速度的提高能使投擲距離大幅度地增加. 提出問題2：如圖3,投擲距離除了取決于鉛球的初始速度v、出手角度外,還與出手高度h有關. |
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| 教學環節 | 教學內容 | 師生活動 | 設計意圖 |
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解法賞析： 解法賞析： |
建立模型二：設鉛球出手高度為h，建立坐標系如圖所示，鉛球在時刻t=0時在（0，h）投出，由物理知識可以列出： 將  代入（4）式得： 消t得：  令  ,即可以得到最佳出手角度.解法賞析：消t得：  求導并令 ,  代入  得：  代入（9）得：  |
教師展示 課下交流 |
| 教學環節 | 教學內容 | 師生活動 | 教學意圖 | ||
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課堂反思 課堂小結 問題創造 布置作業 |
七．課堂小結—— 這堂課你學習了哪些內容？ 你有什么收獲？ 1.導數是研究函數性質的強有力工具； 2.函數是構建模型的有效數學語言。 3.學數學，做數學，更要用數學。 八．發現問題—— 作業1：課后題 作業2：提出身邊的最優化問題，并嘗試解決 |
師生總結 學習感悟 |
1.總結本節課的收獲 2.發現身邊的最優化問題，嘗試解決，促進學生能夠用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言描述世界。 |
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板 書 設 計 |
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從cctv9播出的紀錄片《石油的故事》了解到我國南海有著豐富的石油資源，但是海洋環境比較復雜，開采運輸及其困難，經過幾代石油人的共同努力，反復研究與實踐，終于自主研發出我國第一座深海半潛式鉆井平臺——“海洋石油981鉆井平臺”，它不但能扛住南海的17級臺風和200年一遇的巨浪，甚至幾千噸的船只正面撞擊，它也會屹立不倒，因此被稱為南海的“定海神針”。
開采技術突破了，但該如何把采到的石油安全快速的運回陸地呢？效率最高的是采用大型郵輪，但是對于深海采油平臺來說十分不方便，另一個是利用海底石油管道進行輸送，海底鋪管工作也是十分具有挑戰性的，需要分析復雜的海底環境，針對不同的地貌特征，選擇不同的鋪管路線和作業條件，經過鋪管船幾個月的工作，就可以鋪設幾百公里的輸油管道。
，畫面的寬與高之比為
，畫面上，下要留8cm的空白，左右各留5cm的空白，畫面的高和寬為多少時，所用的紙張面積最小？視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
