視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《測量建筑物高度》吉林—隋
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吉林—隋欣—設計—測量建筑物高度
測量學校內、外建筑物的高度教學設計
吉林省延邊第二中學 隋欣
一、教學內容解析
1.內容
運用所學知識解決物體測量問題，經歷數學建模完整過程。
2.內容解析
本節課是數學應用問題，學生可嘗試不同方法解決高度測量問題。將實際問題轉化為數學問題，通過繪制平面圖形、代數運算，體現數形結合、轉化與化歸思想方法。感受用數學知識解決實際問題的全過程，讓學生在做中學，學中做，從中體會數學的應用價值。
通過測量建筑物高度的實踐過程，讓學生經歷制定測量方案、運用儀器或小組團結合作自制儀器等方式進行實地測量，結合親身實踐過程，對數據進行必要分析。學生初中學過有關線段成比例、三角形相似；高二學生已學過正弦、余弦定理。建立模型，可以通過平面幾何知識求解計算高度。在物理中學過自由落體相關知識。學生根據已學內容，初步選擇測量方法，這些為解決計算建筑物高度作好理論基礎。
本節課以測量建筑物高度的方法為載體，學生通過設計活動方案，在知識上回顧已學測量高度的方法，培養歸納總結能力。結合課程標準，提高學生自主探究、交流合作能力。綜合運用所學知識解決問題，提高學生解決實際問題的能力，發展數學建模、數據分析核心素養。
基于以上分析，確定本節課的教學重點：測量實際建筑物的方法，如何減小誤差。
二、教學目標設置
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目標
（1）通過課題研究，了解數學建模的基本過程。
（2）在探究數學建模過程中，感受數學的應用價值。
（3）通過參與數學建模過程，經歷從現實問題中確定變量、探尋關系、建立模型、計算高度、調整誤差、完善模型，形成和發展數學建模素養。
2.目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）探索計算實際建筑物的方法，建立數學模型，將實際問題轉化為數學問題。
（2）經歷親自測量的數據過程，培養團隊合作精神。
（3）將生活問題數學化，發展數學建模、數據分析核心素養。
三、學生學情分析
高一學習了解三角形，會求具體情境中物體的高度，高中生能感受建筑物大致高度，但在選擇測量方法的細節還不明確，測量高度和真實高度存在誤差的理解還不夠透徹，因此誤差分析是本節課一個難點。通過設置問題，引導學生積極思考，小組之間互相評價，達成學習目標。通過分析誤差，不斷調整測量方法，對測量結果進行矯正，培養學生合作意識和科學精神。
學生能從熟悉的情境中發現問題并轉化為數學問題，選擇合適數學模型，表達所要解決問題。但是數學建模思想還不夠成熟，數據分析能力還是不夠完善，思維的嚴謹程度還有待提高，因此選擇適當方法處理誤差是本節課的難點。根據小組測量過程，成員相互討論，結合實踐成果學生自主探究減小誤差方法，提升學生邏輯推理、數學建模和數據分析核心素養。
四、教學策略分析
課前給學生布置作業，每個小組選擇測量建筑物，例如學校教學樓、旗桿、校外大廈，并研究測量建筑物的高度方案。各小組分享研究方案，師生共同研討可行性。各小組進行實地測量，拍照或視頻記錄測量過程。課上各小組匯報測量的方法，建立數學模型并求解模型，教師電子白板展示學生測量過程，學生黑板板書方法、數學模型和實際測量的高度。教師給出利用儀器測出較準確的數據，各小組討論測量誤差，并進行分析，找出解決的方法。利用課上學習內容，課后再次重新測量，使測量值更接近真實值，填寫測量報告表。通過數據對比過程，提高學生思維嚴謹性，培養學生分析、解決問題的能力。
五、教學過程
第一階段：動員和培訓
課前教師對學生進行講解闡述課題研究方法，對本課題研究過程做如下要求：
（1）每個小組選擇建筑物，確定測量目標，教師提供卷尺等簡單測量工具。
（2）小組討論交流形成可行性測量方案。
（3）組內進行分工，明確課題中必要環節。
（4）討論交流后撰寫報告，形成結果。
第二階段：課題準備階段
根據以上過程，每個小組完成如下工作
（1）選題
教師給出指定課題，學生運用所學知識解決實際建筑物高度問題。各小組選定組長，進行組內分工，提出測量目標和方案。
第三階段：課題實施階段
（2）開題
學生分組討論、交流，初步確定測量方案，各小組陳述方案：
小組1：采用兩次測角法
建筑物旁邊選取一個觀測點，測出觀測點和樓頂之間的夾角，向后移動一定距離，再測一下觀測點與樓頂之間的夾角。利用三角函數知識，建立平面圖形，計算樓的高度。
追問1:運用哪個知識點解決問題？
師生活動：教師根據學生提出的方法，針對數學模型提問，學生結合小組制定測量方案回答利用正弦定理相關知識解三角形。教師歸納學生測量方案。
追問2:如何測量觀測點和建筑物樓頂之間的夾角？
師生活動：教師提出測量中的難點，即角度如何測量。學生采用夜間用激光筆，從觀測點打到建筑物樓頂，利用放大的量角器，量出激光筆光線與水平線的夾角即為仰角，通過解三角形求出高度。教師與學生共同分析，從而肯定了方案。
小組2：利用參照物的方法
可以選擇走廊臺階作為參照物，測出每層臺階高度，數出一共多少臺階，用乘法計算出樓層的高度。或者選擇人為參照物，已知身高的一名同學站在教學樓某一層進行拍照合影，通過學生身高與照片中一層樓的高度比例計算出整個樓的高度。
追問1:如果用數臺階的方法，需要有什么保證？
師生活動：教師結合學生提供數臺階的方法，針對方案提出的問題。數臺階要保證每一層樓臺階的個數是相同的。
追問2:如果采用測臺階的方法，測量出一個臺階再乘以總數是否準確？
師生活動：學生進行思考，臺階高度要保證一致。教師給出評價，在沒有精準的設備，測量基本都會有誤差，建筑工人再蓋樓房時也不一定能夠保證每個臺階一樣高度。我們利用現有工具進行初步測量，產生誤差可能性較大。
小組3：利用物理方法
在頂樓扔一個小球，另一同學利用延時攝影的方法觀看視頻，測量出小球在空中的測量時間，用物理公式
，算出拋出點與地面的距離。
追問1:延時攝影的功能目的是什么？物理公式
值的如何選取？
師生活動：教師提問方案中的細節，學生回答目的是測量的時間更準確些。
的值用物理中的近似值9.8計算。共同研討方案能夠實施。
追問2:從樓上向下仍一個物體，考慮到安全性這個物體怎樣好一些？
師生活動：提前預測測量實際，物體盡量體積小一些。實驗前在樓底劃出一塊隔離區，禁止人通行。
小組4：利用影長計算方法
找一名同學測量身高和影子的長度，再測量出旗桿影子的長度，利用人影和旗桿影子的比例，利用三角形相似、線段成比例計算。
追問：什么時間測量比較好？
師生活動：教師提出問題，學生結合地理知識，指出正午太陽高度為
，固定的值不用測角了，而且計算簡單。
小組5：利用鏡面反射法
將鏡子人和旗桿之間，保證三點一線，人前后移動，調整位置，利用折射使其能夠在鏡子里看到旗桿頂端，根據入射角等于折射角，測量出人與鏡子的距離、旗桿與鏡子的距離，利用三角形相似，結合物理中鏡面反射原理，畫出平面圖形進行計算。
追問：初步預測一下實踐中遇到的困難
師生活動：學生闡述方案后，師生共同分析測量方案中會遇到的問題，學生指出旗桿頂端在鏡面中的成影的位置，教師指出調整距離采用固定鏡面，人進行移動觀測鏡面中旗桿的倒影。
小組6：利用一次測角法
找旗桿外一點，測出人到旗桿距離和觀測點與旗桿頂點的夾角，通過直角三角形求解計算。
追問：第一組同學利用激光筆測角，你們小組如何進行測角呢？
師生活動：測角是實際操作的難點。教師復述第一小組測角用激光筆方法，第六小組回答采用自制測角器，目的是為了測出觀測點與旗桿的仰角。為了減少誤差，在制作測角器時盡量準確。
（3）做題
根據各小組測量出的方案，結合師生討論的結果，各小組進行測量。除激光筆測角小組外都是利用白天同一時間進行測量，教師拍照記錄測量方法。教師記錄小組活動，對出現誤差大的情況，教師及時指出，指導學生如何盡量減小誤差。教師選用較準確的儀器測量學校的教學樓和旗桿如下圖1、圖2，算出具體數據，目的是與學生測量結果進行比較，為誤差分析做好鋪墊。
圖1 旗桿 圖2 教學樓
（4）結題
學生親身經歷實踐測量完成完成測量報告表，課堂上各小組進行展示匯報，結合實踐過程（如下各小組照片），按照選用方法、建立的數學模型、測量建筑物的高度進行規范總結。
小組1 小組2
小組3 小組4
小組5 小組6
師生活動：小組代表根據照片講解測量過程，黑板板書數學模型，并計算測量的結果。匯報結束后，教師對比黑板各小組測量數據，同一建筑物測量的高度不同，教師展示按照儀器測量出較為準確的數據，結合學生的測量報告（見下六個小組的測量報告表），師生共同進行誤差分析。
組1 小組2
小組3 小組4
小組5 小組6
第四階段 總結與反思
師生活動：學生誤差分析結束后，教師引導學生測量中需要注意的細節
（1）測量儀器不是很精確，有的小組還是自制的；正確使用測量儀器；
（2）在測量過程中盡量多個組，選擇平均值；
（3）測量中要注意安全；
（4）積極參加實踐活動，遇到問題，共同想辦法解決，要有團隊合作意識。
本節課通過課前實際情境提出問題、建立模型、求解模型，誤差分析檢驗結果，對模型進行完善、最終達到解決問題的目的，學習了數學建模的完整過程。同時這節課也指導我們要用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界，讓數學在我們生活中體現出更重要的價值。
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