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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《貝葉斯公式》湖南—吳
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湖南—吳浩—設(shè)計—貝葉斯公式
| 教學(xué)設(shè)計標題： 貝葉斯公式 | ||
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教學(xué)內(nèi)容解析： 本節(jié)內(nèi)容選自普通高中教科書人教A版《數(shù)學(xué)》選擇性必修第三冊，是在條件概率的基礎(chǔ)上對復(fù)雜事件概率的進一步研究.貝葉斯公式與實際生活聯(lián)系緊密，對該內(nèi)容的學(xué)習(xí)能讓學(xué)生進一步提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).同時，能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，加強學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識分析、解決問題的意識. |
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學(xué)生學(xué)情分析： 學(xué)生已完成條件概率、概率乘法公式和全概率公式的學(xué)習(xí)，而貝葉斯公式的推導(dǎo)需以上述知識為基礎(chǔ).學(xué)生也多次體驗過從具體問題中抽象出概率模型的過程，完全具備在教師的引導(dǎo)下，探究學(xué)習(xí)貝葉斯公式的條件. |
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教學(xué)目標設(shè)置： 1.借助實例，理解貝葉斯公式的推導(dǎo)過程，掌握公式結(jié)構(gòu)特征； 2.在抽象概率模型的過程中，鞏固條件概率有關(guān)內(nèi)容，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)； 3.體會貝葉斯公式在解決問題過程中的作用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，增強數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣. |
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教學(xué)策略分析： 1.借助幾何圖形巧妙地實現(xiàn)了概率計算的“可視化”，為引出貝葉斯公式埋下伏筆，為學(xué)生推理和構(gòu)建模型提供了思維基礎(chǔ). 2.學(xué)生通過自主思考與合作探究相結(jié)合的方式，理解貝葉斯公式與條件概率有關(guān)知識的聯(lián)系，感悟貝葉斯公式的內(nèi)涵. 3.引例、例題、練習(xí)、作業(yè)中的素材選取均與實際生活聯(lián)系緊密，讓學(xué)生在運用所學(xué)知識解決問題的同時，充分感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值. |
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教學(xué)過程 |
師生活動 | 設(shè)計意圖 |
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一、新課引入 美國心理學(xué)家卡尼曼在《思考，快與慢》一書中，詳細分析了影響人們制定決策的有關(guān)因素，并因這一研究獲得了2002年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎.大家是否好奇作為心理學(xué)家的他是如何拿到經(jīng)濟學(xué)獎的呢？我們不妨來思考一個他在書中提到的問題：某人⾮常靦腆，少⾔寡語，他做事井井有條，專注細節(jié)。在圖書管理員和農(nóng)民兩種職業(yè)中，你認為他更可能從事哪種職業(yè)？（二者必居其一） 追問：你的判斷依據(jù)是什么？ 為了更理性地分析這個問題。我們需要了解更多的信息： 條件1：事實上，卡尼曼進行這項調(diào)查時,美國農(nóng)民與圖書館管理員的人數(shù)比例為20：1. 條件2：農(nóng)民中性格符合條件的占比10%,在圖書管理員中這一比例為40%. 結(jié)合以上背景，如何求出此人為圖書館管理員的概率呢？ 我們不妨借助這樣一個面積為1矩形來分析這個問題，首先，將矩形分成面積為1：20的兩個部分用來，表示管理員和農(nóng)民. |
教師以心理學(xué)家研究的問題為引入，學(xué)生根據(jù)所給信息給出自己的判斷及依據(jù). 教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題：問題中某人的職業(yè)需要考慮的若干因素. 教師補充相關(guān)信息并提出問題：如何求出此人為圖書館管理員的概率？ 學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，借助直觀圖形，通過可視化的手段引導(dǎo)學(xué)生分析問題并最終解決問題. |
用一個心理學(xué)研究課題作為引入，新穎的問題能使學(xué)生興趣盎然地進入學(xué)習(xí)情境. 對于引入的問題，學(xué)生從直接判斷到理性分析的過程也是用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界的過程.這一設(shè)計體現(xiàn)了《課程標準》的要求. |
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接下來，我們將兩類人群中，性格符合描述的比例分別用紅色來標記. 如此一來，此人為圖書館管理員的概率可以表示為如圖所示的面積之比. 結(jié)合已知條件我們?nèi)绾蝸碛嬎氵@一比值呢？ 不難發(fā)現(xiàn)，此人為管理員的概率可以表示為： 可以看到，盡管圖書管理員中性格特點符合要求的比例要高于農(nóng)民群體，但這也抵不過農(nóng)民的總?cè)藬?shù)多.卡尼曼將這種由刻板印象快速做出的判斷稱之為“非理性認知”，而通過精確的數(shù)學(xué)計算，我們能夠更理性地做出選擇. |
《課程標準》指出，直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ). 借助幾何圖形實現(xiàn)復(fù)雜事件的概率分析與計算的“可視化”，在解決問題的同時發(fā)展學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng). |
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二、新知探究 從以上問題的分析過程中還能發(fā)現(xiàn)這樣一個現(xiàn)象：當我們了解了兩類人群的人數(shù)比例后，便對此人為管理員的概率有了一個初步的結(jié)論，即1/21,但當我們再結(jié)合他的性格特點，以及兩類人群眾性格符合這一描述的比例，我們又可以對剛剛得到的概率進行修正. 接下來，我們從上述過程中抽象出概率模型：設(shè)A表示“甲是圖書館管理員”，B表示事件“甲的性格特點符合上述表述”.我們計算得到的概率其實是 . 你能發(fā)現(xiàn)上述計算過程與條件概率計算公式之間的聯(lián)系嗎？ 根據(jù)條件概率的定義： . 實際上，我們通過概率的乘法公式 來計算 ,通過全概率公式. 來計算 .因此， 這便是我們今天要研究的貝葉斯公式： 一般地，設(shè) 是一組兩兩互斥的事件， ，且 . 則對任意的事件 , ，有： . 從結(jié)構(gòu)上來看，貝葉斯公式描述了兩個條件概率 與 之間的關(guān)系. 從意義上來看，我們將公式中的 稱為先驗概率，也就是我們基于最初的條件，對事件 發(fā)生的概率的一個主觀判斷. 稱為后驗概率.即在事件 發(fā)生后，我們對事件 發(fā)生的概率的重新評估. |
教師引導(dǎo)學(xué)生從事件發(fā)生的概率在條件更詳細時發(fā)生變化這一視角再次回顧上述問題，并逐步抽象出概率模型. 學(xué)生回顧已學(xué)知識，積極思考上述概率的計算過程與條件概率的計算公式之間的聯(lián)系.教師適時引導(dǎo)，讓學(xué)生通過思考、討論理解概率的乘法公式和全概率公式在上述過程中的作用. 教師類比推導(dǎo)得到的概率公式，給出一般情況下的貝葉斯公式.并引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合韋恩圖理解公式的結(jié)構(gòu)特征； 聯(lián)系引入中的問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解貝葉斯公式的內(nèi)涵. |
在具體的解答過程中引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述解答過程，抽象出具體的概率模型，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng). 建構(gòu)主義理論認為，教師在創(chuàng)設(shè)情境的過程中要提示新舊知識之間聯(lián)系的線索，幫助學(xué)生建構(gòu)當前所學(xué)知識的意義. 引導(dǎo)學(xué)生思考條件概率的定義與計算過程間的關(guān)系意義正在與此. 從結(jié)構(gòu)與意義兩個層面來辨析新知，兩者相輔相成.掌握結(jié)構(gòu)特征是理解其意義的基礎(chǔ)；而體會其意義也有助于學(xué)生掌握公式的結(jié)構(gòu)特征. |
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三、典例分析 例1 假設(shè)某種疾病的發(fā)病率是0.001.現(xiàn)有一種試劑可以檢驗患者是否得病，其準確率是0.99，即患者確實得病的情況下，它有99%的可能呈現(xiàn)陽性.其誤報率是1%，即在患者沒得病的情況下，它有1%的可能呈現(xiàn)陽性.現(xiàn)有某人的檢驗結(jié)果為陽性，請問他確實患病的概率是多少？ 分析：不妨將患病記為事件A，檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性記為事件B，需計算 . 依題意： ，故： . 故在某人檢驗結(jié)果為陽性的條件下，他確實患病的概率為9.02%. 也就是說，某人在檢驗結(jié)果為陽性的條件下，確實患病的概率只有9.02%.這意味著陽性有著非常高的誤診率，你認為造成這一現(xiàn)象的原因是什么呢？ 如何有效的降低誤診率呢？ 通過解決上述問題，我們可以發(fā)現(xiàn)借助貝葉斯公式來計算概率的一般步驟如下： 1、 辨別出問題中的事件 與事件 .其中，事件 需要滿足兩兩互斥且和事件為整個樣本空間；事件 即我們得到的新的信息. 2、 根據(jù)條件得到先驗概率以及公式中相關(guān)條件概率； 3、 代入公式計算. |
教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題，尋找所給條件與貝葉斯公式之間的關(guān)系，并借助公式解決問題. 學(xué)生在解決問題的基礎(chǔ)上，結(jié)合實際情況思考如何提高檢測的準確率. 教師根據(jù)學(xué)生提出的方案借助技術(shù)軟件直觀展示在此條件下概率變化情況并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)提高先驗概率是提高后驗概率的有效手段. 學(xué)生回顧分析、解決問題的過程，在教師的引導(dǎo)下總結(jié)應(yīng)用貝葉斯公式的一般步驟. |
具體例題的分析可以讓學(xué)生熟悉貝葉斯公式的結(jié)構(gòu)特征及意義.應(yīng)用所學(xué)知識對生活中常見的問題進行探究可以讓學(xué)生再次感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值. 從數(shù)學(xué)的角度思考如何提高檢驗過程中的準確率是用數(shù)學(xué)的思維分析世界的具體體現(xiàn).在感受數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的同時，也增強了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的獲得感. 從具體的解題過程中提煉出解決問題的一般步驟，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，也讓學(xué)生對新知的應(yīng)用能落到實處. |
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例2 在一個抽獎游戲中，編號1，2，3的三個外觀相同的箱子中只有一個有獎品（主持人知道編號）.你可以從三個箱子中隨機選擇一個箱子，在你打開箱子之前，主持人從剩下的兩個箱子中打開一個空箱子（如剩下兩個都是空箱，主持人隨機打開一個）.現(xiàn)在給你一次重新選擇的機會，你是堅持原來的選擇，還是改選另一個箱子？ 分析：分別設(shè)1，2，3號箱有獎品為事件 .不妨設(shè)主持人打開的是3號箱并設(shè)為事件 ，設(shè)你選擇的是1號箱. 依題意， . . . . 因此，在主持人打開一個空箱子后，我們改選獲獎的概率更大. 事實上，主持人打開的空箱子給我們提供了新的有用信息，抽獎人需要根據(jù)這一信息，得到后驗概率，并據(jù)此修正自己的選擇以提高成功概率. |
學(xué)生直接給出自己的判斷并說明理由.教師引導(dǎo)學(xué)生借助貝葉斯公式進行嚴謹?shù)耐评? 在學(xué)生解決問題后 教師引導(dǎo)學(xué)生體會貝葉斯公式的思想并講述貝葉斯公式在人工智能等領(lǐng)域的重要作用. |
讓學(xué)生探究一個情形更為復(fù)雜的問題在鞏固所學(xué)知識的同時也可以檢驗學(xué)生的方法遷移能力. 決策制定的例題也與引入的問題相呼應(yīng).學(xué)生在解答問題的同時能深刻體會到貝葉斯公式的思想. |
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四、課堂練習(xí) 三批同樣規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%，次品率5%；第二批占30%次品率4%；第三批占30%，次品率6%.從這三批此的產(chǎn)品中任選1件. （1）求這件產(chǎn)品是次品的概率； （2）若取到的產(chǎn)品為次品，求它來自于第一批產(chǎn)品的概率. |
學(xué)生獨立完成練習(xí)的解答過程.教師適時點撥存在疑問的學(xué)生. | 課堂練習(xí)在檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)效果的同時可以加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解. |
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五、課堂小結(jié) 知識小結(jié)：貝葉斯公式 . 思想方法小結(jié)： 1.貝葉斯公式的應(yīng)用步驟； 2.貝葉斯公式中的數(shù)學(xué)思想. |
教師帶領(lǐng)學(xué)生從知識和思想方法兩個方面總結(jié)所學(xué)內(nèi)容. |
引導(dǎo)學(xué)生從知識與思維方法兩個維度對所學(xué)內(nèi)容進行總結(jié)，有利于學(xué)生構(gòu)建完備的知識體系. |
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六、課后作業(yè) 1.在A,B,C三個地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有6%,5%,4%的人患流感.已知三個地區(qū)的人口比例為5：7：8，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任選一人. （1）求這個人患流感的概率； （2）如果此人患流感，他更可能來自于哪個地區(qū)？ 2.查閱資料，了解貝葉斯方法、人工智能與貝葉斯公式的聯(lián)系 |
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七、板書設(shè)計： 貝葉斯公式 一、貝葉斯公式： 二、貝葉斯公式的應(yīng)用步驟： 1、 辨別出問題中的事件 與事件 . 2、 根據(jù)條件得到先驗概率以及公式中相關(guān)條件概率； 3、 代入公式計算. |
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