視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《探究活動：從“圓”到“球”》湖北—張巧巧—設計—
本視頻配套資料的教學設計、課件 /課堂實錄及教案下載可聯本站系客服
湖北—張巧巧—設計—探究活動：從“圓”到“球”
教學設計目錄
（一）教學內容解析-------------------------------------------1
（二）學生學情解析-------------------------------------------2
-
教學目標設置-------------------------------------------3
（四）教學策略解析-------------------------------------------3
1.項目選定---------------------------------------------3
2.制定計劃---------------------------------------------4
3.活動探究---------------------------------------------4
4.作品制作---------------------------------------------5
5.成果展示---------------------------------------------5
6.活動評價---------------------------------------------5
7.拓展延伸---------------------------------------------5
（五）教學基本流程-------------------------------------------5
主題一 知圓與球之用-----------------------------------------6
主題二 辨圓與球之義-----------------------------------------6
主題三 明球與面之理-----------------------------------------7
主題四 悟球與體之法-----------------------------------------9
（一）課堂小結----------------------------------------------10
（二）學生小結----------------------------------------------11
（三）課后延伸----------------------------------------------11
探究活動：從“圓”到“球”
華中師范大學第一附屬中學 張巧巧
一、教學設計
（一）教學內容解析
本節課是人教A版（2019版）必修第二冊第八章《立體幾何初步》中球的幾何性質的探究活動中的成果展示課，安排在學生完成必修第二冊《立體幾何初步》以及選擇性必修第一冊《直線與圓的方程》的學習，并基本形成初步的的章節知識框架之后進行．
《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂）指出：“高中數學課程內容突出函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動四條主線，它們貫穿必修、選擇性必修和選修課程．其中，數學探究活動是綜合提升數學學科核心素養的載體．”本次從“圓”到“球”的探究活動采用先整體設計、后分步實施的方式，借助具體的情境引導學生從類比、模仿到自主創新、從局部實施到整體構想，使學生以小組為單位通過具體的主題經歷“選題、開題、做題、結題”的活動過程，并通過探究活動的參與積累發現和提出問題、分析和解決問題的經驗，養成獨立思考與合作交流的習慣．
由于不同學段的師資、課程、教學等界限分明，致使各學段之間的教學存在一定的脫節現象，通過本次探究活動可以進一步提高小學、初中、高中、大學四個學段知識的銜接與整合，提升中學階段人才培養模式的多樣化，實現拔尖人才的貫通培養，進一步推動人才培養一體化的進程．圓是一個貫穿小學數學、初中數學、高中數學三個學段的數學對象，學生從小學階段初步直觀感知圖形圓，到初中階段進一步應用圓的幾何性質，再到高中階段充分利用解析法對圓進行了代數刻畫。知識橫跨三個學段，實現了數學對象從具體到抽象，從定性分析到定量分析，逐層遞進的認知結構。而“球”也是數學中非常重要的幾何對象，初中數學教材九年級上冊第二十四章引言中引用了畢達哥拉斯的名言：“一切立體圖形中最美的是球，一切平面圖形中最美的是圓”，使得“圓”與“球”這兩個數學對象首次齊肩出現在初等數學的教材中．雖然學生已經具備相對成熟的圓的知識基礎，但高中數學教材中對“球”的幾何性質介紹較少，僅從球面和球體的形成，以及球的表面積和體積兩個方面介紹了球的簡單的定義和幾何性質．然而“球”是一個非常值得研究的幾何體，它擁有豐富的幾何性質，教材在第八章第三節課《簡單幾何體的表面積和體積》的“探究與發現”部分補充了祖暅原理，可以以此為契機對球的幾何性質適當拓展，讓學生進一步了解高等數學中微元和極限的思想，為高等數學中進一步研究球等幾何體奠定基礎．
此外，人教A版（2019 版）教材相對于之前的教材而言，調整了數學中立體幾何模塊與解析幾何模塊的位置關系．因此，借助這次探究活動的具體情境可以實現一次以立體幾何為主線的單元整合．立體幾何初步整章的教學內容多次采用了類比與轉化的數學方法，從“線線關系”到“線面關系”，從“平行關系”到“垂直關系”，在本章知識的層層進階中不斷引導學生提出研究對象，確定研究內容，尋找研究方法．而對于“球”這個重要的幾何體，它與平面圖形“圓”有天然的聯系，但具有更為復雜的幾何性質，對學生的空間想像能力要求更高，因而可以延用本章教學的主要方法——“類比與轉化”，將知識難點遷移到平面幾何圖形“圓”中的類似問題中，抓住“圓”與“球”的內在關聯，由簡入繁，化繁為簡．將球的幾何性質與圓的幾何性質進行類比，既可以幫助學生復習圓的相關知識，又可以引導其對不同知識和不同的問題進行重新整合，并對這些問題進行歸納匯總、比較鑒別，找出其內在聯系，洞悉數學本質．本次探究活動以圓的幾何性質為出發點，以球的幾何性質為落腳點，在此過程中強化學生對數學概念和規律的深入理解以及對數學思想方法的領悟．在理解基本知識和方法的基礎上，對教材本身進行深入的挖掘，并進一步將處理問題的方法進行遷移與應用，培養學生的數學思維能力和探究能力．
基于以上認識，將本節課的
教學重點確定為：球的截面問題，幾何體的外接球問題，類比與轉化思想．
（二）學生學情解析
國務院辦公廳印發《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》指出：“深化育人關鍵環節和重點領域改革，堅決扭轉片面應試教育傾向，切實提高育人水平，為學生適應社會生活、接受高等教育和未來職業發展打好基礎，努力培養德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人．”當今中國正經歷“百年未有之大變局”，在這關鍵歷史時期，中國迫切需要大批有創新能力的人才．而人才的培養離不開基礎學科的突破和發展，數學作為眾多基礎學科的基礎，在人才培養的過程中扮演者不可替代的角色．然而，數學具有抽象性和復雜性，數學的學習離不開獨立思考的能力，離不開學生自己的體會和創造．通過探究課，讓學生直面問題，探索解決之道，在探究的過程中培養從無到有，從零到一的能力，為成為有創新能力的拔尖人才提供必要的訓練和儲備．
本次探究活動的參與對象為華中師大一附中高三理科實驗班的學生，學生的基礎扎實．在完成必修第二冊《立體幾何初步》以及選擇性必修第一冊《直線與圓的方程》的學習之后，已基本形成初步的的章節知識框架．至此，學生不僅已經能夠熟練的掌握平面幾何中“圓”的幾何性質和解析表達，而且已經熟練掌握立體幾何中點、直線、平面的位置關系．在必修內容“空間幾何體”中，通過對“球”的初步學習，學生已經了解到“球”是一種重要的旋轉體，能夠熟練應用球的表面積和體積的計算公式，并且能夠借助球的體積公式的推導演繹初步體會微元與極限的思想．
華中師范大學第一附屬中學的育人理念是：“把時間還給學生，把方法教給學生．”學校經常組織學生參與主題式研究性學習，學生對于探究活動和研究性學習并不陌生．除此之外，學校還會定期開展光谷課程，邀請各個領域的專家學者蒞臨學校為學生開課指導，給我校學生提供了近距離接觸前沿專家的平臺和機會．此外，學生能力和求知欲也很強，具有一定的自主探究與合作學習的意識，愿意通過探究活動實現知識的拓展和延伸．
然而，學生在經歷立體幾何初步的學習之后，對于球與平面、球與其它幾何體之間的關系等綜合性較強的問題還不能有系統的認識．而在“點、直線、平面之間的位置關系”的學習中，學生已經基本掌握直線與平面平行、直線與平面垂直的判定和性質，但是對于以球為載體的點、直線、平面位置關系的綜合問題還需要進一步加強．
事實上，將處理圓的基本方法和基本思想類比遷移到球的相關問題之中，實現學生對于處理一般幾何體關于球的切接等綜合問題的融會貫通．通過這一過程，使學生在具體的情境中體會從低維到高維，從簡單到復雜，從具體到抽象，從已知到未知的數學思想方法．這對提高學生學習數學的關鍵能力，提升學生數學抽象與直觀想象的核心素養起著十分重要的作用．
根據以上分析，本節課的
教學難點確定為：體會研究問題的一般路徑，形成探索精神．
（三）教學目標設置
《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂）（以下簡稱《課標》）對“球”的學習要求是：“認識球及簡單組合體的結構特征，知道球的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題．
《課標》指出：“高中數學課程分為 必修課程、選擇性必修課程和選修課程．”選修課程的內容涉及微積分、空間向量與代數、解析幾何與線性代數、邏輯推理初步、數學模型等知識．“選修課程為學生確定發展方向提供引導,為學生展示數學才能提供平臺，為學生發展數學興趣提供選擇，為大學自主招生提供參考．”
此外，《課標》強調：“教師應注重信息技術與數學課程的深度融合，實現傳統教學手段難以達到的效果．”
結合以上目標要求，以及對四個學段（小學、初中、高中、大學）的教材的研究，將本節課的教學目標設定為：
1．通過平面內形成圓周的方式，運用類比的思想，學生獨立探索空間中形成球面的方式，體會定義一個數學對象的基本思想；
2．學生類比圓的相交弦問題中的“特征三角形”（由圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形），提煉出球的截面問題中的“特征三角形”（由球的半徑、截面圓半徑、球心到截面距離構成的直角三角形），提升直觀想象、數學抽象和邏輯推理素養；
3．學生借助Geogebra繪圖軟件繪制球的截面立體圖，通過直觀感知、操作確認、推理論證等探究過程，領悟研究幾何問題的基本思路，提高運用圖形語言、符號語言和文字語言表達與交流的能力；
4．學生通過對幾類特殊的三棱錐的外接球的分析和探究，能將空間問題轉化為平面問題，并通過探究活動的實踐與展示，體驗敢于探究、樂于探索和勇于創新的科學精神．
（四）教學策略解析
數學是思維的科學，數學學習不是簡單的“告訴”，而應該是學生個性化的“體驗”．本次項目式探究活動設置七個環節：項目選定、制定計劃、活動探究、作品制作、成果展示、活動評價，拓展延伸，采用問題引導、合作探究和研究性學習的方式，倡導自主探索、獨立思考、動手實踐、合作交流．充分利用“觀察”“思考”“探究”等，強調幾何直觀，把空間觀念的建立和空間想象能力的培養放到突出的位置．此外，教學中注重發展合情推理，降低證明要求，滲透類比與轉化的數學思想．具體做法如下：
1.項目選定
基于上述對教學內容、學生學情、教學目標以及教學策略的分析，將本此活動設定為：
主題：從“圓”到“球”；
形式：項目式探究；
研究路徑：類比與歸納；
重點：以球為載體對立體幾何進行整合；
難點：體會研究問題的一般路徑，形成探索精神．
2.制定計劃
本次探究活動采用兩周的課外時間及兩節數學課完成，詳情見下表：
|
從“圓”到“球”探究活動計劃表 |
|
|
時間 |
項目進度 |
備注 |
|
前期準備 |
2022年10月01日 |
下發研究方案，學生利用國慶假期自由成組； |
|
|
活動過程 |
2022年10月08日 |
1.開題，選定七個研究主題的組長，每組派兩名同學參與現場開題報告，明確各組成員分工及研究思路；
2.明確活動細則、研究報告的書寫要求等； |
|
|
2022年10月09日 |
1.教師聯系學校機房、圖書館，提供查閱通道；
2.教師聯系學校光谷課程負責老師，提供相關講座支持； |
|
|
2022年10月10日 |
跟蹤各組進度，及時答疑，及時輔導； |
|
|
2022年10月11日 |
利用周一的班會課召開各組組會解決各組實際問題； |
|
|
2022年10月12日至16日 |
1.學生分組進行查閱資料、小組討論；
2.教師跟蹤各組進度； |
|
|
2022年10月17日 |
利用周一的班會課召開各組組會解決各組實際問題； |
|
|
2022年10月18日至19日 |
1.學生分組進行查閱資料、小組討論；
2.教師跟蹤各組進度，督促研究成果的落實； |
|
|
2022年10月20日 |
收取各組研究報告，并結合項目主題進行挑選； |
|
|
2022年10月21日 |
將挑選出的研究小組的成果進行現場展示； |
|
|
拓展延伸 |
2022年10月22日至23日 |
1.利用周末時間整理各小組的研究報告，形成作品集；
2.為有需要的小組聯系外延力量（結合實際情況）；
3.準備10月24日周一數學課進行活動總結和評價. |
|
3.活動探究
教師課前設置了詳細的探究活動方案，從情境、研究對象本身、研究對象與其它對象的關聯三個維度設置了七個參考選題。學生采用小組合作的方式，最終結合選題確立七個研究性學習小組，即實例組、定義組、體積組、切面組、截面組、內切球組和外接球組。
各小組的研究成果，見研究成果作品集《撐一支長篙，向青草更青處漫溯》.
4.作品制作
本次探究活動的幾個主要的成果為：一本以球的幾何性質為主要內容的研究報告冊、一個圓的相交弦定理的推廣、一種求解三棱錐的外接球問題的解題策略。
5.成果展示
（1）課堂展示環節，挑選出實例組、定義組、截面組和外接球組四個小組，分別以“知圓與球之用------辨圓與球之義----明球與面之理-------悟球與體之法”為主題，展現了科學研究的一般規律，即觀察生活、抽象并定義研究對象、研究對象的性質，研究對象與其它對象的聯系。
（2）學生分組借助Geogebra繪圖軟件展示探究成果，真正成為課堂的主人．探究問題驅動全體學生主動參與知識建構、合作探究，同時保證學生學習的規范性，實現高效課堂．
（3）學生從課前探究和課上展示中感知研究幾何問題的基本思路，體會數學中的類比與轉化思想，領悟空間位置關系的常用研究策略——降維化歸（空間問題平面化），螺旋上升地學習核心數學知識，重點提升直觀想象、數學抽象和邏輯推理素養．
6.活動評價
根據各小組展示的研究成果，現場設置教師課堂觀察、教師口頭評價、開放式活動反饋評價、課內外作業等多種評價方式，并根據展示暴露出的研究問題及時提問修正．
7.拓展延伸
（1）將各小組的研究報告集結成冊，形成研究報告冊《撐一支長篙，向青草更青處漫溯》．
（2）幫助學生對接清華大學、浙江大學、東南大學、南京大學、華中科技大學、華中師范大學的大學教授，通過郵件交流的方式為學生答疑解惑．
（3）通過視頻采訪的方式，幫助學生聯系武漢大學教授，解決在學校光谷課程中留下的困惑．
（五）教學基本流程
二、成果展示介紹
七個研究小組的研究內容都非常豐富，在成果展示環節僅從七個研究小組挑選出實例組、定義組、截面組、外接球組參與現場展示，目的是為了將四個小組展示內容作為一個整體，突出展現科學研究的一般規律，即觀察生活、抽象并定義研究對象、研究對象的性質，研究對象與其它對象的聯系．以下為展示小組的活動梗概：
主題一 知圓與球之用
教師導入：與現場學生互動討論生活中哪些情境中能夠遇到“圓形”或“球形”的物體？并介紹實例組的主題、人員構成、主講人、關鍵詞．
實例組研究內容簡介：實例組細心觀察生活，從生活中的各個領域尋找到“圓”與“球”的身影，并列舉出具體的實例．
教師簡評：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日月之繁，無處不用到數學。”------華羅庚
設計意圖：讓學生在開放性的現實情景中自主探索、親身體驗、積極思考．配合教師給出的實例主題，引導學生細心的觀察生活，關注科技，關心時事，從而提升學生的民族自豪感和愛國情懷．
主題二 辨圓與球之義
教師導入：教師引導學生思考：“小學階段用實驗的方法度量了圓的周長，又進一步通過分割圓借助圓的周長求出了圓的面積，請同學們回憶在高中階段我們應用什么樣的方法計算球的體積呢？”通過互動對球的簡單的幾何性質進行回顧并進一步回歸探究球更多的形成方式，并介紹定義組的主題、人員構成、主講人、關鍵詞．
定義組研究內容簡介：定義組通過四種幾何的角度，仿照平面內圓周的多種形成方式和圓周的方程，類比得到空間內球面的形成方式和球面的方程。
球面的形成與圓周的形成
|
圓周的形成方式 |
球面的形成方式 |
|
方式1：平面內，到定點距離相等的點的軌跡為圓周． |
方式1：空間中，到定點距離相等的點的軌跡為球面． |
|
方式2：平面內，圍繞定點以定長為距離旋轉一周所形成的封閉曲線． |
方式2：空間中，以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓弧旋轉一周形成的曲面． |
|
方式3：A，B為平面內兩個不同的點，若PA⊥PB，則P點的軌跡是圓周． |
方式3：A，B為空間中兩個不同的點，若PA⊥PB，則P點的軌跡是球面． |
|
方式4：平面內到兩個定點的距離之比是一個不為1的正常數的點的軌跡是圓周． |
方式4：空間中到兩個定點的距離之比是一個不為1的正常數的點的軌跡是球面． |
拓廣探索：為了激發學生的探究熱情，在定義組介紹了球面的形成方式的四種幾何法之后，教師補充了球面的標準方程和參數方程，并借助Geogebra進行動態展示．
教師簡評：“當數學家導出方程式和公式，如同看到雕像美麗的風景，聽到優美的曲調等等一樣而得到充分的快樂 。”------柯普寧
設計意圖：概念的形成主要依靠對感性材料的抽象概括，對已有知識的類比模仿，設置學生的最近思維發展區，不將書中的定義生硬地教給學生，通過設置研究問題引導學生在研究性學習中運用類比的思想，從圓周的形成方式類比球面的形成方式，形成利用平面問題解決空間問題的初步意識．在掌握概念的同時，讓學生領會化歸、類比聯想等數學思想方法的運用．但在此環節的設計中，涉及形成方式的科學論證，原因有二，其一是由于球面方程的推導涉及三元方程的相關知識，雖然不屬于高中數學教學的內容，但學生理解其含義并沒有困難；其二是為學生埋下自主探究的種子，培養學生科學研究的嚴謹的態度，樹立其自主學習的意識．
主題三 明球與面之理
教師導入：教師引導學生思考球與平面的位置關系，通過現場交流、互動明確球與平面的研究內容和研究重點，并介紹截面組的主題、人員構成、主講人、關鍵詞．
截面組研究內容簡介：截面組的研究成果主要有兩個，其一，在圓與直線相交問題中，抽象出一個特征三角形（以外接圓半徑
，弦心距
，半弦長
構成的直角三角形），類比這個特征三角形在球的截面問題中同樣抽象出一個由球的半徑、截面圓半徑、球心到截面圓的距離構成的特征三角形，并用Geogebra動態演示了截面面積取最值的位置．其二，類比圓的相交弦定理推廣得到球的相交弦定理，并對其進行了證明，除此之外還結合Geogebra進行了數據檢驗．
類比維度一：球的一個截面
|
圓的相交弦性質 |
球的截面性質 |
|
直線與圓相交形成弦 |
平面與球相交形成圓面 |
|
直線過圓心，弦為直徑 |
平面過圓心，截面為大圓面 |
|
圓心與弦中點連線垂直于弦 |
球心與截面圓圓心連線垂直于截面 |
 特征三角形：
關系：  |
 特征三角形：
關系：  |
類比維度二：球的兩個截面
類比圓的相交弦定理，截面組得到了球中的相交弦定理，內容如下：
1.定理內容：過球內任意一點
，作任意
條與球相交的直線，分別與球交于
兩點，則
，其中
，我們將其稱之為球的“相交弦”定理.
2.定理的證明（以
為例）：
證明：如圖1，作直線
與球
交于
，
兩點，任取線段
上一點
,過
任意作兩條直線
，其中直線
與球交于
，
兩點（如圖2），直線
與球交于
，
兩點（如圖3），
則記直線
相交形成平面
，直線
相交形成平面
，記平面
與球
相交形成的圓分別為
，
則在圓
中，由圓的相交弦定理可得，
，
則在圓
中，由圓的相交弦定理可得，
，
綜上，
.
3.Geogebra中的實驗數據驗證
教師簡評：數學家通常是先通過直覺來發現一個定理; 這個結果對于他首先是似然的， 然后他再著手去制造一個證明．------哈代
反饋評價：通過現場提問環節了解展示成效：
問題：已知過球
O內一個定點
E作球的截面，且球
O的半徑為3，
OE=2，請問在所有截面中，截面面積最小值為 ？
思考：可以類比成圓中的一個怎樣的問題？怎么解決？
設計意圖：通過設置現場提問環節，突出學生用“平面化”的思想來研究球的截面面積的大小的方法．截面組學生課前通過小組討論，從質疑、操作探究到解惑，最終領悟出“截面面積的最大值與截面面積的最小值的位置”并將其在展示環節評講組內成果．這樣既激發了學生的學習興趣，又培養了學生的動手能力和創造性思維．在課堂中，所有學生都參與了探討尋找截面面積的最值位置的過程，通過觀察Geogebra制作出的空間模型，生生之間再次共同討論，變單向傳遞為多向交流，這樣既發揮了學生的主體作用，又有利于學生協作意識的形成和創新能力的培養．最后學生類比圓的相交弦的最值位置得出球的截面面積最值的位置，并主動將探究的知識碎片進行梳理和整合，提升了自己的抽象概括能力．整個學習過程，學生獨立完成，經歷了從直觀感知、操作確認到抽象概括的全過程，直觀想象、邏輯推理和抽象概括能力都得到了提升．
主題四 悟球與體之法
教師導入：教師引導學生思考球與幾何體的位置關系，通過現場交流、互動明確球與幾何體的研究內容和研究重點，并介紹外接球組的主題、人員構成、主講人、關鍵詞．
外接球組研究內容簡介：外接球組以問題串聯了整個研究思路，在展示環節提出了以下問題：
問題1：任意三角形都有外接圓嗎？唯一嗎？
問題2：任意三棱錐都有外接球嗎？唯一嗎？
問題3：如何找到三棱錐外接球球心？如何計算外接球的半徑？
問題4：研究哪些三棱錐外接球問題呢？
問題5：直角三棱錐（俗稱“墻角模型”）的外接球的確定方法如何？
問題6：正三棱錐的外接球的確定方法如何？
問題7：一般三棱錐的外接球的確定方法如何？
針對問題1和問題2，他們分別采用尺規作圖和Geogebra畫圖演示的方式，先直觀說明問題，后進行了推理論證．下面結合展示詳情介紹后面五個問題的內容：
以上是學生類比直角三角形、等腰三角形、一般三角形的外接圓的確定方法，類比得到的直角三棱錐、正三棱錐、一般三棱錐的外接球的確定方法，從找球心，算半徑兩個層面進行了方法的概述．
現場質證：
質疑1：學生質疑外接球組尺規作圖證明三棱錐的存在唯一性時，確定球心的方法不夠簡潔，可以調整成一條面垂線與一個中垂面的交點的確定方法．
質疑2：在學生質疑1提出之后，學生質疑過三棱錐的兩個側面外心做的兩條垂線不能直接確定必然相交，需要證明．
證明1：教師引導加學生討論回答質疑1提出的問題．
證明2：全班討論并證明了質疑2提出的問題．
教師簡評：在數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么．
------畢達哥拉斯
三、課堂小結與課后延伸
（一）課堂小結
課堂小結環節，提醒學生結合下列問題對本節課進行一個小結：
1.本節課我們從哪幾個方面研究了球的幾何性質？
2.在研究過程中用到了哪些數學思想和方法？
3.以上四個研究小組作為一個整體，展示的邏輯主線是什么？對你有何啟示？
設計意圖：通過小結使學生結合展示的具體內容，對本次探究活動形成全局的把握．將四個小組展示內容作為一個整體，突出展現科學研究的一般規律，即觀察生活、抽象并定義研究對象、研究對象的性質，研究對象與其它對象的聯系．為學生在后續自主探究時確立研究思路奠定基礎．
學生現場結合探究活動的過程分享探究的心路歷程．
（三）課堂延伸
展示實例組針對球面不可展的前提下地圖的繪制原理通過視頻會議采訪武漢大學資源環境學院的應申教授：
展示定義組針對球體的自身的性質通過郵件交流采訪了清華大學、浙江大學、東南大學、南京大學、華中科技大學、華中師范大學的大學教授：
設計意圖：通過兩個小組獲取信息和知識的途徑，為學生的學習提供一個窗口，讓學生能夠在學習的道路上保持探究的熱情，懷揣探究的勇氣和創新的精神，不斷拓廣人類認知的邊界．
四、教學反思
通過本次探究活動的教學實踐，我認識到多一點精心設計，就能融一份直觀生成，體會到什么是由“關注知識”轉向“關注學生”．我認為本此活動做得較好的有以下幾點：
（1）四位一體，著力拔尖人才的一體化培養
由于不同學段的師資、課程、教學等界限分明，致使各學段之間的教學存在一定的脫節現象，通過本次探究活動可以進一步提高小學、初中、高中、大學四個學段知識的銜接與整合，提升中學階段人才培養模式的多樣化，實現拔尖人才的貫通培養，進一步推動人才培養一體化的進程．圓是一個貫穿小學數學、初中數學、高中數學三個學段的數學對象，學生從小學階段初步直觀感知圖形圓，到初中階段進一步應用圓的幾何性質，再到高中階段充分利用解析法對圓進行了代數刻畫。知識橫跨三個學段，實現了數學對象從具體到抽象，從定性分析到定量分析，逐層遞進的認知結構。通過本次活動從一個貫穿小學數學、初中數學、高中數學三個學段的數學對象“圓”，類比生成“球”豐富的幾何性質，借助教材中“探究與發現”及“文獻閱讀與寫作”兩種形式對球的幾何性質進行課題式拓展，讓學生進一步了解高等數學中微元和極限的思想，為高等數學中進一步研究球等幾何體奠定基礎．
（2）新舊更替，落實教材改革的創新理念
人教A版（2019 版）教材相對于之前的教材而言，調整了選擇性必修課程中立體幾何模塊與解析幾何模塊的位置關系．本次探究活動安排在選擇性必修課程直線與圓的方程之后，可以讓學生在平面幾何和立體幾何的學習中熟練的借助幾何法和解析法理解問題的本質．強化學生對數學概念和規律的深入理解以及對數學思想方法的領悟．在理解基本知識和方法的基礎上，對教材本身進行深入的挖掘，并進一步將處理問題的方法進行遷移與應用，培養學生的數學思維能力和探究能力．
（3）整體設計，突出球為主線的單元整合
借助這次探究活動的具體情境可以實現一次以立體幾何為主線的單元整合．立體幾何初步整章的教學內容多次采用了類比與轉化的數學方法，在本章知識的層層進階中不斷引導學生提出研究對象，確定研究內容，尋找研究方法．因而可以延用本章教學的主要方法——“類比與轉化”，將知識難點遷移到平面幾何圖形“圓”中的類似問題中，抓住“圓”與“球”的內在關聯，由簡入繁，化繁為簡．將球的幾何性質與圓的幾何性質進行類比，既可以幫助學生復習圓的相關知識，又可以引導其對不同知識和不同的問題進行重新整合，并對這些問題進行歸納匯總、比較鑒別，找出其內在聯系，洞悉數學本質．
（4）信息融合，提高多媒體背景下的課堂效率
在數學教學中，信息技術是學生學習和教師教學的重要輔助手段，為師生交流、生生交流、人機交流搭建了平臺，為學習和教學提供了豐富的資源。因此，在本次探究互動中教師特別重視信息技術的運用，如截面組關于球的相交弦定理等內容的直觀猜想，切面組關于三元方程和三元不等式的數形結合方案，以及外接球組三棱錐存在唯一性的證明與演示中，均涉及數學軟件Geogebra的應用，教師采用課前輔導，課中展示等多種方式優化課堂教學，轉變教學與學習方式。再比如，教師在活動展示課中還通過互動課堂與平板電腦與學生實時互動，提高了課堂交互的效率和品質．
-
形式創新，豐富高中階段的人才培養模式
當今中國正經歷“百年未有之大變局”，在這關鍵歷史時期，中國迫切需要大批有創新能力的人才．而人才的培養離不開基礎學科的突破和發展，數學作為眾多基礎學科的基礎，在人才培養的過程中扮演者不可替代的角色．然而，數學具有抽象性和復雜性，數學的學習離不開獨立思考的能力，離不開學生自己的體會和創造．通過探究課，讓學生直面問題，探索解決之道，在探究的過程中培養從無到有，從零到一的能力，為成為有創新能力的拔尖人才提供必要的訓練和儲備．本次探究活動不僅具備傳統課堂的學習優勢，而且豐富了知識獲取的學習方式，如與大學教授視頻會議，與高校教師郵件往來，參加“光谷課程”講座等，采用問題引導、合作探究的教學方法，突出以學生為主體，教師以引導者的身份參與其中，倡導自主探索、獨立思考、動手實踐、合作交流．從理解數學、理解學生、理解教學三個維度出發，對高中數學課程結構體系及本節課教學的重點知識進行了較為系統的分析，通過活動效果可以實時評估學生的知識理解水平，具有一定的可操作性和調控性．
當然，教學是一門遺憾的藝術，雖然整個設計有了意料之中的收獲，但仍有些許遺憾：
-
探究活動內容豐富，較難達到面面俱到
本次探究活動雖然是以“球的幾何性質”為研究主體，但是整個研究涉及“定義概念--推導性質--建立聯系--實踐應用”四個層面，知識容量大，研究主線豐富，理論背景較強，對中學生的要求較高．因此，學生在短時間內較難將一個主題研究的特別透徹，而在展示環節也較難讓每一位同學都掌握所有內容．對此，我們將小組的研究報告收集成冊，便于存在疑惑的同學的后續學習，或者學有余力的同學繼續完善補充．
-
活動戰線長，知識掌握效果有差異
球的截面、幾何體的內切球、幾何體的外接球等問題是高考考察的重點和難點，但是本次探究活動的內容不僅涉及高考的重難點，還對高考不考查的數學知識，如球面的標準方程、參數方程，以及球的體積公式的積分算法等都有提及．主要考慮到學生基礎扎實，能力和求知欲強，可以通過延伸和拓展進一步讓學生了解高等數學中的，為高等數學中進一步研究球等幾何體奠定基礎．
（3）課堂安排緊湊，未及時修正細節
學生在展示研究成果的時候出現了口誤，如：將“外接球球心”表達成“外接圓圓心”，將“球面”表達為“球”，將“截面圓半徑”說成“圓中弦長的一半”，我認為這并不影響學生對這個問題的理解，所以并沒有在課堂上及時給他們指出來，而是采取課后單獨交流的方式．
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
| -----更多視頻請在本頁面頂部搜索欄輸入“第十一屆全國高中”其中的單個詞或詞組，搜索以字數為3-6之間的關鍵詞為宜，切記！注意不要輸入“科目或年級等文字”。本視頻標題為“第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《探究活動：從“圓”到“球”》湖北—張巧巧—設計—”，所屬分類為“高中數學優質課視頻”，如果喜歡或者認為本視頻“第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《探究活動：從“圓”到“球”》湖北—張巧巧—設計—”很給力，您可以一鍵點擊視頻下方的百度分享按鈕，以分享給更多的人觀看。優質課網 的成長和發展，離不開您的支持，感謝您的關注和支持！有問題請【點此聯系客服QQ：9899267】 ----- |
