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視頻標(biāo)簽：函數(shù)單調(diào)性

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)新教材必修一第二章第三節(jié)《函數(shù)單調(diào)性》貴州省優(yōu)課

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高中數(shù)學(xué)新教材必修一第二章第三節(jié)《函數(shù)單調(diào)性》貴州省優(yōu)課

《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì) 
 
一、教學(xué)內(nèi)容解析 
本節(jié)內(nèi)容是人教A版必修一教材第一章第三節(jié)內(nèi)容，是一節(jié)概念性知識(shí)，屬于函數(shù)的基本性質(zhì)．本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)，也是第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)的概念，起著承前啟后的作用．一方面，初中數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容在解決函數(shù)的某些問(wèn)題中得到了充分的運(yùn)用，另一方面，函數(shù)的單調(diào)性與前一節(jié)函數(shù)的概念和圖像的知識(shí)的延續(xù)有著密切的聯(lián)系。函數(shù)的單調(diào)性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的單調(diào)性等內(nèi)容的基礎(chǔ)，在研究各種具體函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用、解決各種問(wèn)題中都有著廣泛的應(yīng)用． 
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置 
1．理解函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)概念。掌握證明簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)性的方法。 
2．從具體的二次函數(shù)2
xy在區(qū)間),0(上為增函數(shù)入手，通過(guò)學(xué)生對(duì)“y值隨x的增大
而增大”的逐層深入認(rèn)識(shí)，將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，教師再加以合理引導(dǎo)，順利突破本課第一個(gè)難點(diǎn)。使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解增、減函數(shù)的概念，掌握運(yùn)用函數(shù)圖像和單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法. 
3．通過(guò)探究函數(shù)單調(diào)性，讓學(xué)生感悟從具體到抽象、從特殊到一般、從局部到整體、從有限到無(wú)限、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的理性精神和力量。 
4．引導(dǎo)學(xué)生參與課堂學(xué)習(xí)，進(jìn)一步養(yǎng)成思辨和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，鍛煉探究、概括和交流的學(xué)習(xí)能力。 
三、學(xué)生學(xué)情分析 
學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)的增減性有一個(gè)初步的感性認(rèn)識(shí)，已具備了一定的觀(guān)察事物能力和抽象思維能力，但對(duì)于感性思維向理性思維的過(guò)渡仍有一定的障礙，對(duì)于自然語(yǔ)言向符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，學(xué)生會(huì)覺(jué)得比較困難.另外，單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的. 
四、重、難點(diǎn)分析 
 
                    
             
                    
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重點(diǎn)：增、減函數(shù)概念的形成及單調(diào)性的初步應(yīng)用. 
難點(diǎn)：增、減函數(shù)的概念形成以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性.  
難點(diǎn)突破策略： 
（1）在探索概念階段, 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀(guān)到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，完成對(duì)單調(diào)性定義的三次認(rèn)識(shí),使得學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)不斷深入． 
（2）在應(yīng)用概念階段,通過(guò)對(duì)證明過(guò)程的分析，幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟． 
（3）教師啟發(fā)引導(dǎo)，組織學(xué)生交流研討，展現(xiàn)思維過(guò)程．  
五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 
【教學(xué)過(guò)程】 
（一）創(chuàng)設(shè)情境，明確目標(biāo)  生活中的實(shí)例： 
情境一：我縣某日24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖．   
情境二：艾賓浩斯記憶遺忘曲線(xiàn)  
生活中很多與數(shù)據(jù)相關(guān)的問(wèn)題：比如燃油價(jià)格， 股票行
情，水位高低等等，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對(duì)我們的生活很有幫助．而這些數(shù)據(jù)的變化，用函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)看，其實(shí)就是隨著自變量變化時(shí)，函數(shù)值的變化規(guī)律． 【設(shè)計(jì)意圖】由生活情境引入新課，激發(fā)興趣． （二）觀(guān)察探究，形成新知 
問(wèn)題：觀(guān)察函數(shù)fxx，2
()fxx的圖象隨自變量x的增大，是如何變化的？ 
學(xué)生獲取函數(shù)2
fxx的圖象升降特點(diǎn)后，教師以函數(shù)2
()fxx為例，初步認(rèn)識(shí)函
數(shù)單調(diào)性： 
函數(shù)2
()fxx的圖象在y軸左側(cè)隨著自變量x增大而下降，我們說(shuō)函數(shù)2
()fxx在
 
                    
             
                    
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區(qū)間-0，上是減函數(shù)；在y軸右側(cè)隨著自變量x增大上而升，就說(shuō)函數(shù)2()fxx在區(qū)間
0+，
上是增函數(shù)． 師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生觀(guān)察圖象從左至右的變化情況，并回答問(wèn)題． 
【設(shè)計(jì)意圖】函數(shù)的變化規(guī)律反映了函數(shù)的性質(zhì)，研究函數(shù)的變化規(guī)律使我們更能夠把握相應(yīng)事物的變化規(guī)律，引出研究函數(shù)性質(zhì)的實(shí)際意義．培養(yǎng)學(xué)生讀圖和分析總結(jié)規(guī)律的能力． （三）例題講解 
例1、定義在區(qū)間5,5-上的函數(shù))(xfy的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)出)(xfy的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)． 
 
【教師活動(dòng)】引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．并提出圖像解決問(wèn)題不夠精確嚴(yán)謹(jǐn)，還要有數(shù)量上的準(zhǔn)確刻畫(huà)． 
【設(shè)計(jì)意圖】從“形”的角度直觀(guān)理解函數(shù)單調(diào)性的意義，并鋪墊單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間概念．  
通過(guò)例1的講解，學(xué)生已經(jīng)能從直觀(guān)上理解函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，于是可以自然地
過(guò)度到讓學(xué)生自己畫(huà)圖來(lái)探索函數(shù)的單調(diào)性。 【課堂練習(xí)】 
練習(xí)1 畫(huà)出下列函數(shù)的圖像，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間． 
（1）y= - x2
+2 (2) y= 1
x  (x0)  
【拓展提升】試指出函數(shù)y =－x2 +2 | x | + 3的單調(diào)區(qū)間 
【設(shè)計(jì)意圖】在函數(shù)的表示方法中學(xué)生已經(jīng)能夠畫(huà)出基本函數(shù)的圖像，學(xué)了本節(jié)知識(shí)后前后聯(lián)系起來(lái)，承上又啟下。  
 
                    
             
                    
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例2、物理學(xué)中的玻意耳定律V
k
p（為正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積減小時(shí)，壓強(qiáng)
將增大．試用函數(shù)的單調(diào)性證明之． 
 
【課堂練習(xí)】練習(xí)2：證明函數(shù)12)(
xxf在)0,(上是減函數(shù)。 
 
【拓展提升】畫(huà)出反比例函數(shù)x
xf1
)(
的圖象. （1）這個(gè)函數(shù)的定義域I是什么？ 
（2）它在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論. 
【學(xué)生活動(dòng)】自主完成，展示過(guò)程． 
【教師活動(dòng)】引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：取值、比較、變形、定號(hào)、結(jié)論． 投影學(xué)生證明過(guò)程，進(jìn)行點(diǎn)撥和要點(diǎn)強(qiáng)調(diào)． 
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生體會(huì)：通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，觀(guān)察圖象，先對(duì)函數(shù)是否具有某種性質(zhì)進(jìn)行猜想，然后通過(guò)邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用方法．  
六、歸納小結(jié)，整理提高  
學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)． 
1．小結(jié) 
(1)函數(shù)的單調(diào)性定義。 (2) 定義域上的“局部”性質(zhì)。 (3) 證明函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟。 
關(guān)鍵詞：三種語(yǔ)言，證明方法，數(shù)學(xué)思想，情感體驗(yàn) 2．作業(yè) 
書(shū)面作業(yè)：課本第39頁(yè) 習(xí)題1.3 A組第1、2題． 
課后探究：研究一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性。  
七、板書(shū)設(shè)計(jì)：  
 
                    
             
                    
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課后反思： 
教學(xué)要源于生活。有些老師認(rèn)為數(shù)學(xué)很古板，其實(shí)數(shù)學(xué)都源于生活，只要從學(xué)生的生活中提取出數(shù)學(xué)例子，再難再生硬的數(shù)學(xué)問(wèn)題都會(huì)變得生動(dòng)有趣。本課中，以學(xué)生爬山的經(jīng)歷、艾賓浩斯記憶遺忘曲線(xiàn)切入主題，輕松且自然，讓學(xué)生在不知不覺(jué)中就進(jìn)入了函數(shù)單調(diào)性的課題。 
 
本節(jié)從具體的二次函數(shù)到一般函數(shù)，使學(xué)生把定義與直觀(guān)圖象結(jié)合起來(lái)，加深對(duì)概念的理解，得出函數(shù)單調(diào)性的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,這體現(xiàn)了從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。教師再用圖像說(shuō)明，分析定義，提問(wèn)等辦法，滲透數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法。 
 
    針對(duì)不同的學(xué)生設(shè)置不同的問(wèn)題。每個(gè)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知水平是不一樣的，如果設(shè)置問(wèn)題“一鍋端”的話(huà)，那多數(shù)學(xué)生都感到很模糊。因此，提問(wèn)要有層次性，對(duì)優(yōu)生可設(shè)置一些能力提升題，對(duì)后進(jìn)生可設(shè)置一些基礎(chǔ)題。例如，對(duì)例1后的課堂練習(xí)，可要求優(yōu)等生全部完成，對(duì)后進(jìn)生則完成第一題久可以了。爭(zhēng)取讓每個(gè)學(xué)生都能參與到課堂中，體驗(yàn)到成功的喜悅。      
最后，要多鼓勵(lì)學(xué)生，這也是最重要的一點(diǎn)。每個(gè)人都希望得到贊美，尤其對(duì)學(xué)生而言，老師的一個(gè)肯定的眼神、贊許的目光、深情的微笑都會(huì)給他們帶來(lái)無(wú)窮的力量。高中數(shù)學(xué)知識(shí)的確很難，很多學(xué)生不是不想學(xué)，是花了心思而得不到效果，這時(shí)，如果老師能多鼓勵(lì)學(xué)生，為學(xué)生加油打氣，那他們就會(huì)重拾信心，做得更好。  
 課 題 
1、增、減函數(shù)的定義   
增、減函數(shù)的圖像   
2、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間 
例2詳寫(xiě)解題過(guò)程 
演草 
§1.3.1函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)學(xué)案
一【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.知識(shí)目標(biāo)：理解增函數(shù)．減函數(shù)的概念，掌握判斷某些函數(shù)增減性的方法
2.能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的判斷推理能力和數(shù)形結(jié)合，辯證思維的能力．
3.情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)：在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受數(shù)形結(jié)合思想，知道事物之間是普遍聯(lián)系的哲學(xué)規(guī)律．
二、【重點(diǎn)難點(diǎn)】
1.【重點(diǎn)】增函數(shù)．減函數(shù)的概念
2.【難點(diǎn)】掌握判斷某些函數(shù)增減性的方法
 
三、【學(xué)習(xí)新知】
閱讀課本28——30頁(yè), 找出疑惑之處，并自主探究下列問(wèn)題：

1. 函數(shù)單調(diào)性的定義是什么？
2. 用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟什么？

四、【合作探究】
【活動(dòng)一】：探究增、減函數(shù)的定義
1、引例：觀(guān)察y=x²的圖象，回答下列問(wèn)題：
問(wèn)題1：函數(shù)y=x²的圖象在y軸右側(cè)的部分是上升的，說(shuō)明什么？
隨著x的增加，y值在增加．
問(wèn)題2：怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示呢？
設(shè)x₁．x₂∈[0，+，得y₁=f(x₁), y₂=f(x₂).當(dāng)x₁<x₂時(shí)，f(x₁)< f(x₂).
結(jié)論：這時(shí)，說(shuō)y₁= x²在[0，+上是增函數(shù)．（同理分析y軸左側(cè)部分）由此可有：
2.定義：
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：
如果對(duì)于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x₁．x₂,當(dāng)x₁x₂時(shí)都有f(x₁)< f(x₂).那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（increasing function）．
如果對(duì)于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x₁．x₂，當(dāng)x₁<x₂時(shí)都有f(x₁)>f(x₂).那么就是f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)(decreasing function)．
如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)函說(shuō)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的．
【活動(dòng)二】：探究單調(diào)性定義中的關(guān)鍵點(diǎn)
 
問(wèn)題一：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)定義域的關(guān)系是怎樣的？
 
問(wèn)題二：定義中“任意”二字能否去掉？
 
練習(xí)1 畫(huà)出下列函數(shù)的圖像，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間．
 (課本P₃₄例1，與學(xué)生一塊看，一起分析作答)
（1）y= - x+2
(2) y=  (x0)
 
 
 
 
【拓展提升】試指出函數(shù)y =－x² +2 | x | + 3的單調(diào)區(qū)間
 
 
 
 
 
【解后反思】要了解函數(shù)在某一區(qū)間上是否具有單調(diào)性，從圖象上進(jìn)行觀(guān)察是一種常用而又粗略的方法，嚴(yán)格地說(shuō)，它需要根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義進(jìn)行證明．下面舉例說(shuō)明．
【活動(dòng)三】：探究定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟
練習(xí)2 證明函數(shù)f（x）＝在（0，＋∞）上是減函數(shù).
 
 
 
 
 
 
 
【拓展提升1】根據(jù)此題你能總結(jié)出證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟嗎？
 
【拓展提升2】函數(shù)在其定義域上是減函數(shù)嗎？
 
【拓展提升3】你能總結(jié)出反比例函數(shù)的單調(diào)性嗎？
 
 
【活動(dòng)四】：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)到了什么？
 

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