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視頻標(biāo)簽：空間向量,坐標(biāo)運算
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章3.1.4《空間向量的坐標(biāo)運算》首都師范大學(xué)附中
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課題 3.1.4 空間向量的直角坐標(biāo)運算
教學(xué)目標(biāo)
1、在平面到空間向量運算坐標(biāo)化的擴(kuò)展活動中，掌握空間向量的坐標(biāo)運算，實現(xiàn)向量運算體系的再認(rèn)識；
2、通過向量的坐標(biāo)運算獲得空間向量平行和垂直條件的過程中，體會類比、數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的思維方法；
3、在探究向量由平面到空間的推廣的小組合作學(xué)習(xí)中，體會向量的科學(xué)和應(yīng)用價值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
教學(xué)重點 空間向量的坐標(biāo)運算、平行和垂直條件知識的形成. 教學(xué)難點 空間向量的坐標(biāo)的確定和公式的作用. 教學(xué)方法 啟發(fā)探究式 教學(xué)過程 一、 知識回顧
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，觀察給定的向量OA，起點O(0,0)，終點A（3,2）, 分別取與x軸、y軸同方向的單位向量 ji,構(gòu)成該平面的一組單位正交基底{ji,} ，你能否將OA在向量ji,方向上分解，寫出線性表達(dá)式
OA = ，
按照向量的坐標(biāo)定義得到向量OA的坐標(biāo)：OA =
師生活動
教師從回顧必修4 平面向量的知識結(jié)構(gòu)開始，對應(yīng)選修2-1所學(xué)空間向量的知識，體會教材的系統(tǒng)化和知識的體系化，關(guān)注教材的同時，也兼顧學(xué)生已有知識認(rèn)知，從學(xué)生熟悉的知識出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考向量的概念、平面向量基本定理、向量在正交單位基底下的坐標(biāo)表示等知識
引導(dǎo)學(xué)生思考在學(xué)完空間向量的概念、運算和基本定理之后繼續(xù)研究的問題，提出知識形成問題1關(guān)于空間向量如何用直角坐標(biāo)表示的問題， 設(shè)計目的
引導(dǎo)學(xué)生迅速進(jìn)入課堂學(xué)習(xí)的狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，嘗試類比學(xué)習(xí)的方法，體會數(shù)學(xué)知識之間的相互聯(lián)系，調(diào)動學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動。
y x 2 1 3
j
O 1 2 iA
二、知識形成
【探究活動一】空間向量的直角坐標(biāo)定義及運算
問題1：思考在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz中，
)0,0,1(點A，)2,3,0(點B，)2,3,1(點C,你能否畫出向量OA、OB、OC，并嘗試類比出平面向量坐標(biāo)的定義，得出這三個空間向量的坐標(biāo)表示..
類比試一試
空間向量的直角坐標(biāo)定義：
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中， 分別取 作為空間向量的一組單位正交基底 ，對于任意空間向量p，按照空間向量的分解定理，存在唯一有序是數(shù)組 ，使得p= ，把 就叫空間向量p的坐標(biāo).
師生活動
教師提出四個問題，由淺入深引導(dǎo),給學(xué)生參與的機會；學(xué)生積極思考，探究并回答問題. 設(shè)計目的
回顧二維直角坐標(biāo)系下平面向量的坐標(biāo)定義，由學(xué)生熟悉的問題層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生類比想到三維空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量分解定理：如果三個向量kji,,不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,,xyz，使 kzjyixp
。得到空間向量的坐標(biāo)定
義.是對必修2中空間向量直角坐標(biāo)系再認(rèn)識，也是對向量的坐標(biāo)表示的再認(rèn)識，進(jìn)而為研究空間向量的坐標(biāo)運算和向量平行垂直條件的探究打下鋪墊.
問題2： 定義了平面向量的直角坐標(biāo)表示后，就可以用坐標(biāo)來表示平面向量的相關(guān)運算.
那么，我們學(xué)會了空間向量的坐標(biāo)表示，你覺得空間向量的運算是否也可以坐標(biāo)化呢？
y
x
2 O 1 3
2 z
A 1
平面向量的直角坐標(biāo)運算 類比 空間向量的直角坐標(biāo)運算 若
),(11yxa ，),(22yxb 若 ),,(111zyxa ，),,(222zyxb
ba ba a
ba
【探究活動二】空間向量平行和垂直的條件
問題3：將向量用坐標(biāo)表示后，可以將幾何問題代數(shù)化，便于運算和分析，同時用運算的結(jié)果可以刻畫研究對象之間的特殊位置關(guān)系，幾何中平行和垂直問題就是我們經(jīng)常研究的問題. 設(shè)空間向量
),,(111zyxa ，),,(222zyxb
共線的坐標(biāo)表示 a//b)0(bab ； 垂直的坐標(biāo)表示 ba ；
師生活動
教師提出問題3，引導(dǎo)學(xué)生合作交流；學(xué)生積極思考，踴躍嘗試類比的過程，展示研究的成果.. 設(shè)計目的
設(shè)計目的是給學(xué)生一個將平面向量的坐標(biāo)運算相關(guān)知識的搜索與整合的過程，所學(xué)知識有較整體的認(rèn)識，然后給出小組合作交流的問題，讓他們在合作中體會互助在解決問題時的重要性，類比的過程是本節(jié)課的重要的教學(xué)思想方法，關(guān)注知識的形成過程，對于結(jié)論的推導(dǎo)過程可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平合理掌握控制，選取有代表性的結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生課下研究推導(dǎo)，由于有【探究活動一】中問題的鋪墊，學(xué)生應(yīng)該能想到回歸到向量坐標(biāo)的定義然后再進(jìn)行推導(dǎo)，可以引導(dǎo)學(xué)生探索研究.
小組合作得出：空間向量坐標(biāo)運算、向量平行或垂直的條件
三、 知識應(yīng)用
例題1、已知空間中)0,0,1(點
A，)2,3,0(點B，)2,3,1(點C 求： OBOA， AB ， 2BC， OBOA,
設(shè)計目的
以探究活動一中問題1為基礎(chǔ)，進(jìn)一步體會空間向量坐標(biāo)的定義，會運用空間向量的坐標(biāo)運算完成向量的加法、減法、數(shù)乘向量和向量的數(shù)量積運算，理解向量的坐標(biāo)和向量的起點和終點的坐標(biāo)之間的聯(lián)系和區(qū)別.注意引導(dǎo)學(xué)生體會向量運算體現(xiàn)的幾何特征，以及向量的坐標(biāo)運算中體現(xiàn)的代數(shù)方面運算的快捷，并將兩者有機結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想方法. 例題2、已知)0,1,1(a，)1,1,1(b，
求向量n, 使得.且,bnan
設(shè)計目的
探究如何求得一個與已知兩個不共線的向量均垂直的空間向量，學(xué)會思考分析問題的方法，進(jìn)一步體會空間向量垂直的等價條件，為后面學(xué)習(xí)平面的法向量以及空間向量在立體幾何問題中的應(yīng)用做好準(zhǔn)備.
四、課堂小結(jié)
引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)過程，談?wù)勊麄兊氖斋@：學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識？哪些研究問題的方法？所學(xué)知識有什么價值？
教師在教學(xué)過程滲透向量運算的意義以及向量在學(xué)科和相關(guān)學(xué)科的價值： 五、思考作業(yè)
請你查閱必修2中2.4空間直角坐標(biāo)系、必修4第二章平面向量知識，思考所學(xué)知識之間的相互聯(lián)系，進(jìn)一步體會類比學(xué)習(xí)的方法，談?wù)勀銓ο蛄孔鴺?biāo)運算的認(rèn)識和學(xué)習(xí)感受。
開放性作業(yè)的設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)知識間的相互聯(lián)系，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，將學(xué)習(xí)延伸到課外，并且學(xué)會表達(dá)自己的感受，提高表達(dá)的能力。
六、自我小測
1、已知空間直角坐標(biāo)系
kjiO,,;，寫出下列向量的坐標(biāo)： （1）kjia543 （2）kjib352 （3）kic8
（4）jid3
2
21
（5）ie8
2、判斷每對向量是否平行？
（1）)8,0,0(),2,0,
0( （2）)2,0,8(),1,0,4(
3、 已知)0,1,
1(a，)1,1,0(b，)1,0,1(c，bap，cbaq2，
求：p，q，qp.
4、 選修2-1課本93頁習(xí)題3-1A組第6題
七、板書設(shè)計
課題：3.1.4 空間向量的坐標(biāo)運算
知識結(jié)構(gòu)回顧 【探究活動一】 例題
空間向量的直角坐標(biāo)定義及運算 【探究活動二】 知識小結(jié) 空間向量平行和垂直的條件
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jixiangsibao.com
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