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視頻簡介：

視頻標(biāo)簽：空間向量,坐標(biāo)運算

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1第三章《空間向量的坐標(biāo)運算》山東省優(yōu)課

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高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1第三章《空間向量的坐標(biāo)運算》山東省優(yōu)課

教學(xué)設(shè)計
【教材解析】
空間向量的坐標(biāo)運算是在學(xué)生學(xué)習(xí)了空間向量幾何形式及其運算、空間向量基本定理的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容.是平面向量坐標(biāo)運算及其研究方法在空間的推廣和拓展,豐富了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的視角和新的方法,為運用向量坐標(biāo)運算解決立體幾何問題奠定了知識和方法基礎(chǔ). 【教學(xué)目標(biāo)】
知識層面：1、通過類比平面向量能說出空間向量的坐標(biāo)運算，并進(jìn)行簡單計算。2、會運用公式判斷兩向量共線和垂直，并用平行和垂直求相應(yīng)參數(shù)。3、能運用空間向量的夾角及其垂直公式解決立體幾何問題。
過程與方法層面：體驗方程的逐步推導(dǎo)過程，理解各形式之間的內(nèi)在的實質(zhì)的聯(lián)系，體會用代數(shù)辦法解決幾何問題的簡單之處。能力與情感層面：通過空間坐標(biāo)系的建立和空間向量坐標(biāo)運算規(guī)律的探索，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、探究能力。培養(yǎng)學(xué)生類比，聯(lián)想的推理能力和勇于探索的精神，并體會它們在數(shù)學(xué)發(fā)展中的推動作用使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維全過程品嘗到成功的喜悅【學(xué)情分析】
本課的學(xué)習(xí)對象高二學(xué)生,他們已掌握了平面向量坐標(biāo)運算及規(guī)律，并學(xué)會了空間向量的幾何形式及其運算.這個班學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為扎實，具備一定觀察、分析、解決問題的能力.但在探究問題的內(nèi)
部聯(lián)系和內(nèi)在發(fā)展上還有所欠缺.所以通過教師的引導(dǎo),學(xué)生的自主探索,不斷地完善自我的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 本節(jié)內(nèi)容學(xué)生容易接受，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中會有很強的求知欲和成就感，對培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想有推動作用。【教學(xué)策略】
問題探究，啟發(fā)引導(dǎo)的教學(xué)策略。以類比為教學(xué)方法在學(xué)生原有的知識體系上,通過類比逐步引導(dǎo)學(xué)生從平面向量向空間向量的過渡,發(fā)現(xiàn)兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系,并通過類比方式強化空間向量坐標(biāo)運算及其規(guī)律；以學(xué)生為課堂主體:重視學(xué)生的自主參與能力與小組合作精神，培養(yǎng)學(xué)生探究能力和創(chuàng)新能力的及其合作意識。【教學(xué)過程】
引入語：我們知道數(shù)學(xué)科學(xué)之所以是發(fā)展進(jìn)步的，推理的思想在里面起到了不可替代的作用，今天讓我們循著數(shù)學(xué)家們的步伐，打開我們的腦洞，大膽的類比與聯(lián)想，把向量的坐標(biāo)運算，從平面拓展的空間，來一次從二維到三維，從形到數(shù)的跨越。一：自主學(xué)習(xí)，探究新知
白板展示教學(xué)目標(biāo)，大家快速閱讀教學(xué)目標(biāo)，讀完后帶著這些任務(wù)進(jìn)入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中.
白板展示平面向量的坐標(biāo)運算，引導(dǎo)學(xué)生用類比思想寫出相應(yīng)空間的坐標(biāo)運算。學(xué)生口答，老師發(fā)問：為什么會有這樣的猜想呢; 生答;向量從平面推廣到空間后，因為維度增加了一維，注意到坐標(biāo)增加了一項（豎坐標(biāo)），那么既然是推廣，本質(zhì)應(yīng)不變，我只是加上





了關(guān)于豎坐標(biāo)的運算
師：特別好。這就是今天我們學(xué)得基礎(chǔ)知識，也是我們做題的理論依據(jù)，大家現(xiàn)在對照學(xué)案記牢這些知識。
1.坐標(biāo)運算:設(shè)a＝
123,)（aa,a，    b＝123,)（bb,b，則   a＋b＝________________  ； a－b＝____________________
a＝__________________  ；a//b________________  ； a=b ________________  ；ab＝____________________
2.性質(zhì)的應(yīng)用： a⊥b____________________a
＝
__________________ ；
cos〈a，b〉＝____________________
3.空間兩點A123,)（aa,aB123,)（bb,b，則AB＝__________；|AB
|＝
____________ 二:新知識自測
處理方法：因為題目很簡單，直接套公式，所以可以直接對答案，其實這幾個簡單的小題可以為后面的題目起到鋪墊的作用，所以放在了這個位置。
(1). 已知a=(1,-2,1), a+b=(-1,2,-1),則b等于____ A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)
(2)已知a=(1,2,-y), b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b
),則
x=____,y=_____
(3)下列與向量a=(0,2,-4)垂直的向量是____
A(2,0,-4)       B(3,6,3)     C(1,1,-2)     D(0,-4,8)





(4)已知空間三點A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),則AB
與AC的
夾角大小是____，AB
與CA的夾角θ的大小是____
新知識自測既然沒有需要講的，我們就進(jìn)入這節(jié)課的主戰(zhàn)場例題探究
三：例題探究
探究一：空間向量的坐標(biāo)運算
例1.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)   (1)求AC→＋BC→，AB→－AC
→，AB→·BC
→，|AB
|；     (2)2PAPABAC求點的坐標(biāo)使
處理方法：（1）題目很簡單所以請兩位同學(xué)板演，其余同學(xué)下面做，然后核對答案答案（2）請板演的同學(xué)說出這個題目考查的知識點
探究二：  坐標(biāo)形式下的平行與垂直例2：已知空間三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝
AB→，b
＝AC→  .
若kab與2kab互相垂直，求k.(2)若kab與2kab
平行，求k.
變式： a=(1,2,x)  , b
=(3,y,6) 求x,y
處理方法：（1）請兩位同學(xué)板演，其余同學(xué)小組合作討論出答案；扮演的同學(xué)講解（2）在第二問的解答講解中出現(xiàn)兩種做法，有了爭執(zhí)，老師點明各種辦法都有優(yōu)缺點，并請同學(xué)思考并說出折衷辦法。





有了例1,2的鋪墊，進(jìn)入本節(jié)課的高潮，也就是坐標(biāo)運算在立體幾何中的應(yīng)用。
探究三：向量夾角與長度在立體幾何中的應(yīng)用
例3：在正方體ABCD－1111ABCDABCD中，點11EF和是分別是1111
,ABCD的一個四等分點，求（1）異面直線11DFBE與所成角的余弦值. （2）若111B,BDMN和B的中點分別是，求證1ADMN

處理方法：（1）把此題分解成分解成3個小問題，層層遞進(jìn)，解決問題
問題一：你能建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)的點和向量的坐標(biāo)嗎？
13(1,1,0),1,,14BE


11(0,0,0),0,14，DF



1311,,1(1,1,0)0,,144BE

1110,  1(0,0,0)0,  1.
44，，DF

F1
E1
C1
B1
A1
D1
D
AB
C





問題二：你能求出向量1BE，1DF
的夾角的余弦嗎？
11111115
cos,17||||BEDFBEDFBEDF


問題三：你能說出向量1BE，1DF
的夾角的與異面直線夾角的關(guān)聯(lián)
嗎？
此時，學(xué)生知道關(guān)聯(lián)后就可以直接來解答異面直線夾角的余弦了（2）讓大家看解答過程，并總結(jié)這類題目的步驟，學(xué)生回答后老師優(yōu)化，給出三步曲1) 建系，把點、向量坐標(biāo)化2)對向量計算或證明3)翻譯成幾何結(jié)論
（3）有了第一問的啟發(fā)第二問證垂直就很簡單了，可以讓學(xué)生用最簡潔的語言說出解答思路，老師可以此時追加線面垂直的證明. 四；歸納小結(jié)：
處理方法：學(xué)生總結(jié)補充，達(dá)到知識的系統(tǒng)化。學(xué)生總結(jié)的知識點方面的，此時老師補充通過這節(jié)課對學(xué)生的情感，態(tài)度方面所起到的引導(dǎo)和促進(jìn)作用。
五：課后探究:（課后完成）
1.設(shè)O為坐標(biāo)原點，向量OA ＝(1，2，3)，OB  ＝(2，1，2)，OP
＝(1，1，2)，點Q在直線OP上運動，則當(dāng) QAQB

取得最小值時，求點Q的坐標(biāo)．
2.直三棱柱111ABCABC，1,90CACBBCA
，12,,AAMN分別是





111,ABAA的中點，（1）求BN
的長；（2）求證：11ABCM。（3）求異面
直線11BA與CB所成角的余弦值；

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