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視頻標(biāo)簽：基本不等式,求最值
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教A版高中數(shù)學(xué)選修4-5第一講基本不等式求最值-四川省優(yōu)課
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基本不等式求最值的教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教材分析
（一）本節(jié)教材所處的地位和作用
“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)人教版·必修5，選修4-5“不等式”一章的內(nèi)容，是在學(xué)完不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對(duì)不等式的進(jìn)一步研究．本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應(yīng)用廣泛性、條件約束性等特點(diǎn)，所以本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，靈活解決實(shí)際問題，學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的好素材；同時(shí)本節(jié)知識(shí)又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，所以有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)． （二）教材處理
依據(jù)新大綱和新教材，本節(jié)分為三個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)．第一課時(shí)講解不等式（兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理（均值不等式）及它的幾何解釋．掌握應(yīng)用定理解決某些數(shù)學(xué)問題．第二課時(shí)講解應(yīng)用平均值定理解決某些最值問題，第三節(jié)講基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用問題．本節(jié)課為第二課時(shí)。為了講好這節(jié)內(nèi)容，在緊扣新教材的前提下，對(duì)例題作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，適當(dāng)增加例題． （三）教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)目標(biāo)：
（1）會(huì)利用“均值不等式”解決某些最值問題； （2）掌握獲得“均值不等式”條件的常用方法。 2.能力目標(biāo)：
（1）學(xué)生對(duì)問題的探索、研究、歸納，能總結(jié)出一般性的解題方法和解題規(guī)律，提高學(xué)生的抽象概括能力。
（2）通過學(xué)生的口頭表述和書面表達(dá)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)交流的能力。 （3）通過例題、變式練習(xí)的解決樹立學(xué)生的化歸思想；
3.德育目標(biāo)：通過具體問題的解決，增強(qiáng)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，體會(huì)“探究學(xué)習(xí)”在學(xué)習(xí)過程中的作用，使學(xué)生體驗(yàn)成功，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。 （四）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵
重點(diǎn)：用均值不等式求解最值問題的思路和基本方法。 難點(diǎn)：均值不等式的使用條件，合理地應(yīng)用均值不等式。
關(guān)鍵：理解均值不等式的約束條件，掌握化歸的數(shù)學(xué)思想是突破重點(diǎn)和難點(diǎn)的關(guān)鍵。
二、學(xué)情分析
我所教的兩個(gè)班都是理科重點(diǎn)班，學(xué)生的理解能力，運(yùn)算能力，思維能力等方面相對(duì)好點(diǎn)；學(xué)生有學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，有一定的學(xué)習(xí)積極性。 三、教法分析 （一）教學(xué)方法
為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體意識(shí)，又有利于教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與創(chuàng)新能力，使學(xué)生能獨(dú)立實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)，采用啟發(fā)探究式學(xué)習(xí)。其中，在探索結(jié)論時(shí)，采用發(fā)現(xiàn)法；在定理的應(yīng)用及其條件的教學(xué)中采用歸納法；在訓(xùn)練部分，主要采用講練結(jié)合法進(jìn)行。 （二）教學(xué)手段
根據(jù)本節(jié)知識(shí)特點(diǎn)，為突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，增加教學(xué)容量，利用計(jì)算機(jī)和投影輔導(dǎo)教學(xué)。
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（一）課前知識(shí) 全通關(guān)（學(xué)生默寫以下內(nèi)容）
1．基本不等式ab≤a＋b
2
(1)基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0. (2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b. 2．幾個(gè)重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋a
b≥2(a，b同號(hào))；
(3)ab≤
a＋b22(a，b∈R)；(4)
a＋b22≤a2＋b
2
2(a，b∈R)； (5)2ab
a＋b
≤ab≤a＋b2≤ a2＋b2
2(a＞0，b＞0)．
3．利用基本不等式求最值問題 已知x＞0，y＞0，則
(1)如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2p(簡(jiǎn)記：積定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是q2
4(簡(jiǎn)記：和定積最大)． 注：此結(jié)論應(yīng)用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指等號(hào)成立.
連續(xù)使用基本不等式時(shí)，牢記等號(hào)要同時(shí)成立.
（設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)上節(jié)課所學(xué)知識(shí)的回顧，讓學(xué)生加深對(duì)基本不等式的理解，為下面的求最值做鋪墊。） （二）課堂題型 全突破
►考法1 配湊法求最值——“和定”，“積定”
【例1】 (1)設(shè)0＜x＜2，則函數(shù)y＝x（4－2x）的最大值為( )
A．2 B.2
2 C.3 D.2
（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明白定值是“湊”出來的，這個(gè)題在老師的引導(dǎo)下教會(huì)學(xué)生怎么樣把和湊出一個(gè)定值。）
(2)若x＜54，則f(x)＝4x－2＋1
4x－5
的最大值為________．
（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在嘗試的過程中間發(fā)現(xiàn)，求最值的條件一正不滿足了。然后老師引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造條件讓一正滿足，且引導(dǎo)學(xué)生怎樣把乘積湊成定值。） 規(guī)律方法：
（1）利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式. （2）配湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵． ►考法2 倒數(shù)和的結(jié)構(gòu)—“1”的代換法求最值
【例2】(1)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則1a＋1
b的最小值為________．
變式1：(變條件)將條件“a＋b＝1”改為“a＋2b＝3”，則1a＋1
b的最小值為________． 變式2：(變?cè)O(shè)問)保持本例條件不變，則
1＋1a
1＋1b的最小值為_______．
（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)常數(shù)1的代換依據(jù)，目的是為了產(chǎn)生b
a
yabx類型的最值問題，
使其積為定值）
（2）已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值 （設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)如何才能湊出常數(shù)1，進(jìn)而再進(jìn)行代換） ►考法3 和積共存—整體消元法
例3、已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．
（設(shè)計(jì)意圖：與例2加以對(duì)比，以便與加深兩種題型的印象，在解題時(shí)方可選折恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ?nbsp;
►考法4 兩次使用基本不等式求最值
例4、已知a＞b＞0，那么
baba
1
2的最小值為____．
（設(shè)計(jì)意圖：用兩條途徑引導(dǎo)學(xué)生分析，一是體會(huì)添項(xiàng)技巧，一是體會(huì)消元法的應(yīng)用，目的升華對(duì)和定，積定的理解） ►考法5 統(tǒng)一變量——值域法
例5、若正數(shù)x，y滿足x2＋6xy－1＝0，則x＋2y的最小值是______．
（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解新舊方法各自的優(yōu)越性，以便于在需要時(shí)好靈活選折相應(yīng)方法） （三）課堂鞏固 全落實(shí)
（設(shè)計(jì)意圖：一是讓學(xué)生自我檢驗(yàn)本節(jié)課對(duì)新知識(shí)的掌握情況，二是課后強(qiáng)化）
2
2
22
210,1,122,,221,41
3,,231,3124,522,(1),2
60,0,3,2741,80a
byxxxyabRabababcabcabbc
ababab
y
xyxyxxababababxyxyxyab
求的最大值 則的最大值為
均為正實(shí)數(shù)，求的最小值
均為正實(shí)數(shù)，，求ab的最小值
則的最小值為求的最小值
求2的最大值
2
11
()
aabaab
，則的最小值為
（四）課堂小結(jié)
1、利用基本不等式求最值的常見方法 （1）配湊法 （2）常數(shù)代換 （3）整體消元
（4）代入消元——值域法 （5）多次使用基本不等式 2、數(shù)學(xué)思想方法 （1）轉(zhuǎn)化與化歸的思想 （2）函數(shù)思想 （五）課后作業(yè)
校本教材P141
視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jixiangsibao.com
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