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視頻標(biāo)簽：基本不等式

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)必修五中第三章第四節(jié)基本不等式-珠海

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高中數(shù)學(xué)必修五中第三章第四節(jié)的基本不等式-珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué)

《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì) 
 
1. 教材內(nèi)容分析與學(xué)情分析 
本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》（人民教育出版社、課程教材研究所A版教材）必修5中第§3．4．1節(jié)．《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)于“基本不等式”的教學(xué)要求是探索并了解基本不等式的證明過程，會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題。新課標(biāo)相對(duì)于原來課程的最大變化是偏重于應(yīng)用基本不等式求最值,這既符合不等式知識(shí)的認(rèn)識(shí)規(guī)律,也對(duì)實(shí)際的應(yīng)用有重要價(jià)值。 
本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)情境，展開數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生，發(fā)展過程，使學(xué)生能經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，通過兩個(gè)探究問題，層層遞進(jìn)，使學(xué)生在問題中體會(huì)基本不等式的產(chǎn)生，體會(huì)從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程。通過三個(gè)例題使學(xué)生從理解到掌握與應(yīng)用的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。 
本節(jié)課的授課對(duì)象是高一年級(jí)智慧課堂創(chuàng)新班的學(xué)生，課前用ipad以導(dǎo)學(xué)案的形式,發(fā)送微課視頻給學(xué)生預(yù)習(xí).讓學(xué)生能夠有目的，有針對(duì)性的預(yù)習(xí)。在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了一些常見的不等式及不等式的證明方法，本節(jié)課一定程度上是前面學(xué)習(xí)的運(yùn)用。通過對(duì)這一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生深切地體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想，體會(huì)基本不等式求最值在生活及生產(chǎn)實(shí)際中的廣泛應(yīng)用。也加強(qiáng)了數(shù)學(xué)聯(lián)系生活這一重要的數(shù)學(xué)觀。由于他們基礎(chǔ)扎實(shí)，思維活躍,有探索未知,追求知識(shí)的欲望,有時(shí)候缺乏勇于探究的實(shí)際行動(dòng).設(shè)置三個(gè)例題,層層深入,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。 
2. 教學(xué)目標(biāo) 
依據(jù)《新標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)《不等式》學(xué)段的目標(biāo)要求和本班學(xué)生實(shí)際情況，確定如下目標(biāo)： (1)知識(shí)與能力目標(biāo)：通過兩個(gè)探究實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得基本不等式，在不等式
的幾何背景中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。能運(yùn)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單問題，培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及分析問題的能力。引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會(huì)方法與策略。 
(2)過程與方法目標(biāo)：在教師的引導(dǎo)下通過探究1，探究2來得到基本不等式，并能解決簡(jiǎn)單
的最值問題。這是一個(gè)過程性目標(biāo)。通過例1引導(dǎo)學(xué)生嘗試用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題，體會(huì)和與積的相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步通過例2，并用幾何畫板展示函數(shù)圖形，進(jìn)一步深化數(shù)形結(jié)合的思想。結(jié)合例3完善對(duì)基本不等式結(jié)構(gòu)的理解，提升解決問題的能力。 
（3）情感與態(tài)度目標(biāo)：通過問題情境的設(shè)置，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)
學(xué)的眼光看世界，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勤于動(dòng)手
 
                    
             
                    
                            2 
 
的良好品質(zhì)。 
3.教學(xué)重難點(diǎn) 
（1）教學(xué)重點(diǎn)：①從不同角度探索基本不等式，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式。②利用基本不等式求解實(shí)際問題中的最大值和最小值。③基本不等式成立時(shí)的三個(gè)限制條件（簡(jiǎn)稱一正、二定、三相等）。 
（2）教學(xué)難點(diǎn)：①基本不等式成立時(shí)的三個(gè)限制條件。②當(dāng)不滿足限制條件時(shí)通過配湊，1的代換等技巧求不等式的最值問題。 
4.教學(xué)方法 
   教法分析： 
本節(jié)課采用啟發(fā)式的教學(xué)方法,以學(xué)生為主體，以基本不等式為主線，以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件、幾何畫板作為教學(xué)輔助手段，加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解。在教師的誘導(dǎo)和激勵(lì)下探索、分析和解決問題，總結(jié)規(guī)律，培養(yǎng)積極探索的科學(xué)精神。從而體現(xiàn)教師起到“導(dǎo)”的作用，達(dá)到學(xué)生“學(xué)”的目的。 
學(xué)法分析： 
合作學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生分組討論，合作交流，共同探討問題； 探究學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮主觀能動(dòng)性，主動(dòng)探索新知。 
5.教學(xué)資源 
為了能很好地展示幾何圖形,體會(huì)基本不等式的幾何背景,教學(xué)中需要有具體的圖形來幫助學(xué)生理解基本不等式的生成，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，所以，借助于智慧課堂軟件ipad，借助于幾何畫板軟件來加強(qiáng)幾何直觀十分必要，這樣可以加深對(duì)基本不等式的理解，增強(qiáng)教學(xué)效果。[來源:Zxxk 
6.教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖 
  
  [來源:Z§xx§k.Co
 
 [來源:學(xué)#科#網(wǎng)]
  
   
1．創(chuàng)設(shè)情境，幾何引入 
2．函數(shù)思想,得出結(jié)論 
3．幾何證明，相見益彰 
4．應(yīng)用舉例，鞏固提高 
5．歸納小結(jié)，反思提高 
6．布置作業(yè)，課后延拓 
 
                    
             
                    
                            3 
 
7. 教學(xué)環(huán)節(jié)與活動(dòng) 
教學(xué)過程設(shè)計(jì)以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強(qiáng)調(diào)過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使數(shù)學(xué)教學(xué)過程成為學(xué)生對(duì)知識(shí)的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程。 
具體過程安排如下： 
（1）創(chuàng)設(shè)情景，提出問題； 
設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，現(xiàn)實(shí)情境問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺(tái)，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)．基于此, 
向?qū)W生展示在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)。  
問題1、比較大正方形的面積與4個(gè)直角三角形的面積，你能找到怎樣的不等關(guān)系？ 利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合多媒體幾何畫板的演示，抽象出不等式abba222   
問題2、上式能否取到等號(hào)？什么時(shí)候取等號(hào)？ 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立 抽象歸納： 
結(jié)論1、一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b，有abba222，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立。 問題3、當(dāng)a>0,b>0時(shí)，在不等式abba222中，以a、b分別代替a、b，得到什么？什么時(shí)候取等號(hào)？ 
設(shè)計(jì)依據(jù)：類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點(diǎn)，而且感受了其中的函數(shù)思想，為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。     答案： ),(02

bab
aab 通過PPT課件，讓學(xué)生更直觀的抽象。 
問題4、探究2 如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，aAC，bBC．過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接BDAD,． 
①能否用a,b表示OD?       OD =                                     
②能否用a,b表示CD?       CD=              ③OD與CD的大小關(guān)系？ 
用幾何畫板演示，幫助學(xué)生理解等號(hào)取得的條件。 得到結(jié)論當(dāng)0,0ba時(shí)，2
b
aab
（當(dāng)且僅當(dāng)ba時(shí)，等號(hào)成立）。 （進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，提升思維的靈活性） （2）抽象歸納,得出結(jié)論 
D 
C A 
B 
E 
O 
                    
             
                    
                            4 
 
結(jié)論2、若0,0ba，則有2baab
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，2
b
aab。 我們稱此不等式為基本不等式。 其中2
b
a稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為a,b的幾何平均數(shù)。 
代數(shù)意義是幾何平均數(shù)小于等于算數(shù)平均數(shù)。 幾何意義是半弦長(zhǎng)小于等于半徑長(zhǎng)。 
此處體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，多角度理解基本不等式。 
問題5、怎樣理解“當(dāng)且僅當(dāng)”？（學(xué)生小組討論，交流看法，師生總結(jié)） “當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立”的含義是： 
當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)，即2
b
aabba
； 僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)，即bab
aab
2
。 設(shè)計(jì)依據(jù)：課本是學(xué)生了解世界的窗口和工具，心理學(xué)研究表明：任何學(xué)習(xí)都是學(xué)習(xí)者自主建構(gòu)的過程.在這個(gè)過程中，離不開學(xué)習(xí)主體與文本之間的交互作用。有意義的接受學(xué)習(xí)是自主建構(gòu)，有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)也是自主建構(gòu)。既沒有絕對(duì)的接受學(xué)習(xí)，也沒有絕對(duì)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，總是兩者相互交替、有機(jī)結(jié)合.所以，課本必須成為學(xué)生賴以學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的文本.在教學(xué)中要讓學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)真看書、用心思考，真正學(xué)會(huì)讀“數(shù)學(xué)書”。 
給出基本不等式的變形公式為求最值做準(zhǔn)備  
 
（3）知識(shí)應(yīng)用 
公式應(yīng)用之一基礎(chǔ)訓(xùn)練：（最優(yōu)化問題） 
設(shè)計(jì)意圖：新穎有趣、簡(jiǎn)單易懂、貼近生活的問題,不僅極大地增強(qiáng)學(xué)生的興趣，拓寬學(xué)生的
視野，更重要的是調(diào)動(dòng)學(xué)生探究鉆研的興趣，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)生活的關(guān)注，讓學(xué)生體會(huì)：數(shù)學(xué)就在我們身邊的生活中 
例1. ①用籬笆圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？②用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？ 
ab
baRba2,,2)
2
(,,baabRba
 
                    
             
                    
                            5 
 
學(xué)生分組討論、糾正、爭(zhēng)辯，合作交流。引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)基本不等式的正用和逆用。 
（通過例1的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）[來源: 結(jié)論： 
基本不等式的限制條件簡(jiǎn)記為：“一正、二定、三相等”。 對(duì)于Ryx,，[來源:Zxxk.Com] 
①若pxy（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)ba時(shí)，yx有最小值p2； 
②若syx（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)ba時(shí)，xy有最大值4
2s． 
（鼓勵(lì)學(xué)生自己探索推導(dǎo)，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神。） 
結(jié)論： 
若兩正數(shù)的乘積為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，它們的和有最小值； 若兩正數(shù)的和為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，它們的乘積有最大值。  公式應(yīng)用之二鞏固訓(xùn)練： 
例2.求
)0(1
xx
xy的值域． 在運(yùn)用基本不等式解題的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板展示)0(1xx
xy的函數(shù)圖象，使學(xué)生再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 
公式應(yīng)用之三 能力提升： 
例3.①x>3,求
x
xxf
34)(的最小值； 
② 核心思想：湊積為定值。 （4）反思總結(jié)，整合新知 
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？取得了哪些經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)?還有哪些問題需要請(qǐng)教？ 
設(shè)計(jì)意圖：通過反思、歸納，培養(yǎng)概括能力；幫助學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，鞏固知識(shí)技能，提高認(rèn)知水平。 
老師根據(jù)情況完善如下： 
基本不等式：若0,0ba，則有2baab
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，2
b
aab。 .
1
1,12,的最小值求滿足已知正數(shù)y
xyxyx
                    
             
                    
                            6 
 
兩種思想：數(shù)形結(jié)合思想、歸納類比思想。 
三個(gè)注意：基本不等式求函數(shù)的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”。 （5）課外拓展 
如圖，教室的墻壁上掛著一塊黑板，它的上、下邊緣分別在學(xué)生的水平視線上方a米和b米，問學(xué)生距離墻壁多遠(yuǎn)時(shí)看黑板的視角最大？ （6）布置作業(yè) 基本作業(yè) 
   
拓展作業(yè) 
請(qǐng)同學(xué)們課外在網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋嗎，整理并互相交流。 
8.教學(xué)評(píng)價(jià) 
通過這節(jié)課，引領(lǐng)學(xué)生多角度、多方位地認(rèn)識(shí)基本不等式，在學(xué)生原有的認(rèn)知基本上，充分展示基本不等式這一知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展及再創(chuàng)造的過程。啟發(fā)思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。讓學(xué)生真正參與其中同時(shí)，以智慧課堂教學(xué)課件、幾何畫板作為教學(xué)輔助手段，賦予學(xué)生直觀感受。在教學(xué)過程中始終圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，師生互動(dòng)，在教學(xué)過程的不同環(huán)節(jié)中及時(shí)獲取教學(xué)反饋信息，以學(xué)生為主體，及時(shí)調(diào)節(jié)教學(xué)措施，完成教學(xué)目標(biāo)，從而達(dá)到較為理想的教學(xué)效果。 本節(jié)課的亮點(diǎn)在于學(xué)生對(duì)知識(shí)的自主構(gòu)建，重點(diǎn)放在基本不等式在求最值方面的應(yīng)用.應(yīng)用幾何畫板的軟件,幫助學(xué)生更好的理解基本不等式,層層遞進(jìn)的設(shè)置兩個(gè)探究問題，多角度，透徹認(rèn)識(shí)基本不等式，以利用基本不等式求最值問題為核心內(nèi)容，符合新課標(biāo)的精神。讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，因授課班級(jí)學(xué)生基礎(chǔ)較好，設(shè)置三個(gè)難度層層遞進(jìn)的例題，讓學(xué)生自己總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論，巧妙設(shè)計(jì)“陷阱”,讓學(xué)生自己往里跳，然后自己再從中爬出來，自己總結(jié)出基本不等式的三個(gè)重要的限制條件。 
但是在本節(jié)課中還是暴漏出一些的問題： 
對(duì)于最后的例3一些學(xué)生理解起來相對(duì)困難，當(dāng)基本不等式的限制條件不滿足時(shí),如何配湊定值使得滿足條件是本節(jié)課的難點(diǎn),難點(diǎn)的突破,效果有待提高.需要在后續(xù)教學(xué)中多次反思，不斷運(yùn)用。在放手給學(xué)生自己去探索知識(shí)的過程中,如何能既引導(dǎo)學(xué)生,發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性又能控制好課堂的時(shí)間,提高課堂效率,在這方面有待提高。

視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jixiangsibao.com -----更多視頻請(qǐng)?jiān)诒卷撁骓敳克阉鳈谳斎搿盎�本不等式”其中的單個(gè)詞或詞組，搜索以字?jǐn)?shù)為3-6之間的關(guān)鍵詞為宜，切記！注意不要輸入“科目或年級(jí)等文字”。本視頻標(biāo)題為“高中數(shù)學(xué)必修五中第三章第四節(jié)基本不等式-珠海”，所屬分類為“高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻”，如果喜歡或者認(rèn)為本視頻“高中數(shù)學(xué)必修五中第三章第四節(jié)基本不等式-珠海”很給力，您可以一鍵點(diǎn)擊視頻下方的百度分享按鈕，以分享給更多的人觀看。優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) 的成長(zhǎng)和發(fā)展，離不開您的支持，感謝您的關(guān)注和支持！有問題請(qǐng)【點(diǎn)此聯(lián)系客服QQ：983228566】 -----

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