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視頻標簽：基本不等式
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學選修4-5第一講《基本不等式》浙江省優課
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《基本不等式》教學設計
一、教材分析
1. 地位與作用
本節課是人教版（A版）普通高中課程標準試驗教科書選修4-5不等式選講第一講《不等式與絕對值不等式》的第二節內容。本節內容教材共分兩課時，第一課時主要證明兩個定理，理解它們的幾何意義，簡單應用不等式解決函數的最值問題，第二課時主要應用兩個定理證明不等式以及求一些復雜函數的最值問題，解決一些生活中的實際問題。本節課是第一課時，是前面學習內容的延續，同時又為求更復雜的函數最值問題，以及證明不等式作鋪墊。 2. 學情分析
學生已經學過了必修5的基本不等式 ，因此通過提問的形式讓學生回憶前面學過的重要不等式，然后為了學習方便，將它以定理的形式給出，既讓學生回憶起了不等式又從代數的角度證明了定理，然后通過一個折紙實驗，讓學生從形的角度理解了定理1，體現了數形結合的數學基本思想。
二、教學目標
1. 知識與技能
理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題；理解算數平均數與幾何平均數的概念，學會構造條件使用基本不等式；培養學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。提升了數學抽象、邏輯推理素養。
2.過程與方法
按照創設情景，提出問題→ 代數驗證→ 幾何解釋→ 應用的過程呈現。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動，培養學生的思維能力，體會數形結合的思想方法，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質，體會學習數學規律的方法，體驗成功的樂趣。提升了數學抽象、直觀想象、數學運算、數據分析的數學素養。
3.情感態度與價值觀
通過問題情境的設置，使學生認識到數學是從實際中來，培養學生用數學的眼光看世界，通過數學思維認知世界，從而培養學生善于思考、勤于動手的良好品質。
三、教學重難點
重點：應用數形結合的思想理解基本不等式)0,0(2
bab
aab。 難點：基本不等式成立時的三個限制條件。
四、教法分析
本節課采用啟發誘導、講練結合的教學方法，以學生為主體，以基本不等式為主線，放手讓學生探究思索。以現代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。
五、教學準備
多媒體課件、正方形紙片。
教學過程
一、設置問題，新課引入
在必修5我們已經學習了不等式，在此基礎上繼續學習不等式，前面我們學習了基本不等式的性質，掌握了利用作差法比較兩個數的大小，現在請同學們比一比2
2
ba和ab2的大小，既回顧了上一節的內容，又給出了重要不等式，同時也證明了不等式，為了方便同學們學習，我們將它以定理的形式給出，引出新課。
【設計意圖】通過學生熟悉的問題，自然的給出了重要不等式，引出了新課，提升邏輯推理素養。
二、新知建構，形成體系
定理1 如果Rba,，那么abba22
2，當且僅當ba時，等號成立。
接下來我們通過一個實驗，從幾何圖形的角度驗證定理1 折紙游戲：準備兩張大小不同的正方形紙片
步驟1：將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形；
步驟2：用這兩個三角形拼接構造出一個矩形（兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分折疊）；
步驟3：假設兩個正方形的面積分別為 2a和2
b（ba），考察兩個直角三角形的面
積之和與矩形面積的大小關系，我們可以直觀的得出
)0,0(2
2
2baabba
【設計意圖】通過實驗，鍛煉了學生分析、觀察、總結問題的能力，又體現了數形結合的數學思想。
問題1：如果我們將上述式子中的a用a，b用b來代替，那么會得出什么結論呢？ 定理2（基本不等式）如果,0,ba那么abb
a2
，當且僅當ba時等號成立 問題2：ba,可以取其它值嗎？
問題3：你能用作差法證明這個定理嗎？ 如果ba,都是正數，我們就稱
2
b
a為ba,的算術平均，ab為ba,的幾何平均，于是，基本不等式可以表述為：兩個正數的算術平均不小于它們的幾何平均。
問題4：下面我們討論基本不等式的幾何意義，我們看下面的幾何圖形，得出幾何意義
,,,,900bBDaADABCDACB____________
CDOC 基本不等式的幾何意義：直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高 問題5：你還能得出基本不等式幾何意義的不同解釋嗎？ 三、小試牛刀 練一練
的最大值
求、已知的最小值求、已知xybyxyxyxaxyyx,,0,02,,0,01
注意 四、綜合應用，能力提升 例1、（1）已知1x，求1
1
xxy的最小值； （2）已知2
3
0
x，求)23(xxy的最大值。 分析完（1）之后，請學生對它進行變式，可以改條件，可以改問題，并解出來。 例2、已知0,0yx且
19
1y
x，求yx的最小值 變式：1.已知,1yx求
19
1y
x的最小值。 C
A O D
B “ :使用定理的前提條件以及等號成立的要求。
2. 已知10x，求
x
x191的最小值。 【設計意圖】通過對題目的變式，加深對應用不等式解決最值問題的理解 高考題欣賞
____2),2,1()0,0(12017(1的最小值為則過點年山東卷文）若直線
、babab
y
ax
_____
8
1
2,063,,2018(2的最小值為則且年天津卷文）已知、babaRba
思考題：
.
_________,,3,122的最小值為的最大值為則滿足、若實數ababbababa)0,0(22112
222bababaabb
a、證明
【設計意圖】通過這個思考題對定理1有進一步的認識
五、課堂總結，經驗升華
1.兩個定理
2、基本方法：利用基本不等式求最值； 3、數學思想：數形結合思想、歸納類比思想
六、布置作業，鞏固提高
習題1.1：5,6,7,8,9,10,13,14
七、板書設計
基本不等式
定理1
定理2（基本不等式）
例1 例2 高考題 課堂總結
八、教學反思
課堂中充分調動了學生利用已有知識和技能去探究新知，學生的綜合思維能力得到了培養。其次，突出學生的主體地位，整節課堂始終以學生為主體，教師始終是參與者、引導著、
解答疑惑者。讓學生充分的展示自己的學習成果，培養了學生分析問題、解決問題的能力以及語言表達能力。但是在學生變題活動中，由于時間有限探究還不夠充分，需要今后進一步改進。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
