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視頻標簽：基本不等式
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視頻課題：高中數學必修五中第三章第四節基本不等式-山西
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高中數學必修五中第三章第四節的基本不等式-山西
《基本不等式》教學設計
一、 [教材依據]
人教A版 必修5 第三章 不等式 3.4 基本不等式（1）
二、 [設計思想]
“基本不等式”是必修5第3章第四節的重點內容，在課本封面上就體現出來了.它是在學完“不等式的性質”、“不等式的解法”及“線性規劃”的基礎上對不等式的進一步研究,在今后不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應用.因此在知識體系中起了承上啟下的作用.同時本節知識又滲透了數形結合、轉化化歸等重要數學思想，有利于培養學生良好的思維品質。教學中采用問題引領的模式，讓學生先閱讀自學、自主探索、動手實踐、合作交流，再師生互動，精講點撥。教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。
三、 [教學目標]
（1）知識與技能：理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單問題；培養學生
探究能力以及分析問題解決問題的能力.
（2）過程與方法：學生通過觀察圖形，推導、證明、應用等過程，培養觀察、分析、歸納、
總結的能力.
（3） 情感態度與價值觀：使學生認識到數學是從實際中來，培養學生用數學的眼光看世界，
通過數學思維認知世界，從而培養學生善于思考、勤于動手的良好品質.
四、 [教學重點、難點]
重點:應用數形結合的思想理解基本不等式，并從多角度探索基本不等式的證明過程及應用. 難點:基本不等式的內涵及幾何意義的挖掘，用基本不等式求最值.
五、 [教學方法]
本節課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究；啟發誘導、講練結合的教學方法，以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發，放手讓學生探究思索。以現代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。
六、 [教學過程]
教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排注重過程，符合學生的認知規律，使數學教學過程成為學生對知識的再創造、再發現的過程，從而培養學生的創新意識。具體過程安排如下：
（1）創設情景，提出問題；
設計意圖:從實際問題出發，激發學生學習興趣，從而在感性上認識不等式。右圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？
本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數量關系，抽象出不等式abba222。在此基礎上，引導學生認識基本不等式。
（2）抽象歸納：
一般地，對于任意實數a,b，有abba222，當且僅當a＝b時，等號成立。 [問] 你能給出它的證明嗎？ 學生在黑板上展示
特別地，當a>0,b>0時，在不等式abba222中，以a、b分別代替a、b，得到什么？
設計依據：類比是學習數學的一種重要方法，此環節不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數思想，為今后學習奠定基礎.
（3）理解升華：
1、文字語言敘述：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。
2、聯想數列的知識理解基本不等式：兩個正數的等差中項不小于它們正的等比中項。 3、符號語言敘述：若0,0ba，則有2baab
，當且僅當a=b時，2
b
aab。 [問] 怎樣理解“當且僅當”？（學生小組討論，交流看法，師生總結）
4、探究基本不等式證明方法：
[問] 如何證明基本不等式？
（意圖在于引領學生從感性認識基本不等式到理性證明，實現從感性認識到理性認識的升華）
方法一：作差比較或由
0)(2
ba展開證明。 方法二：分析法：執果索因的一種思維方法（完成課本填空）
設計依據：課本必須成為學生賴以學會學習的文本.在教學中要讓學生學會認真看書、用心思考，養成講講議議、動手動筆、仔細觀察、用心體會的好習慣，真正學會讀“數學書”。
5、探究基本不等式的幾何意義：借助初中階段學生熟知的幾何圖形，引導學生探究不等式
)0,(2
babaab的幾何解釋，通過數形結合，賦予不等式)0,(2
bab
aab幾何直觀。進一步領悟不等式中等號成立的條件。
如圖：AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,CB=b，abCD
幾何解釋實質可認為是：在同一半圓中，半徑不小于半弦；或者認為是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。
（4）應用
1.下列表達式中大于等于4的是( ) （A）xx4
（B）x
xsin4sin（0<x<π）（C）xx343（D）10log4lgxx 設計意圖：以上命題均是根據基本不等式的使用條件中的難點和關鍵處設置的，目的是進一步領悟到不等式2
b
aab
成立的條件0,0ba，及當且僅當ba時，等號成立。這些“陷阱”要完全放手讓學生自主探究，老師指導，師生歸納總結。以掌握使用基本不等式的
七字方針：“一正、二定、三相等”。
2.（1）用籬笆圍成一個面積為100m的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短.
最短的籬笆是多少？
（2）一段長為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大.最大面積是多少？
設計意圖：新穎有趣、簡單易懂、貼近生活的問題,不僅極大地增強學生的興趣，拓寬學生的視野，更重要的是調動學生探究鉆研的興趣，引導學生加強對生活的關注，讓學生體會：數學就在我們身邊的生活中
ab
2
b
aa
b
C
O
A
B
D
（5）練習：
(1)
設a>0，b>0，給出下列不等式21aa；4)1)(1(bbaa；4)11)((b
aba；
21
1
12
2
aa其中恒成立的有 . （2）若a，b∈R,且a+b=3,則ba22的最小值為—— 七、 [反思總結，布置任務]作業P101 習題3.4 A組 1，2
設計意圖：通過反思、歸納，培養概括能力；幫助學生總結經驗教訓，鞏固知識技能，提高認知水平.
八、[教學反思]
本節課強調過程教學，啟發思維，調動學生學習數學的積極性。讓學生真正參與其中；對基本不等式的幾何解釋學生理解還不夠到位，應多引導。
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