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視頻標簽：基本不等式
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視頻課題：高中數學必修五中第三章第四節(jié)基本不等式-山東
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高中數學必修五中第三章第四節(jié)的基本不等式-山東省 - 淄博
教學設計
一、教學三維目標
《課程標準》對本節(jié)課的要求有以下兩條：①探索并了解基本不等式的證明過程；②會用基本不等式解決簡單的最值問題.根據《課標》要求和本節(jié)教學內容，并考慮學生的接受能力，我將本節(jié)課的教學目標確定為：
1、
知識與能力目標：
理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單問題；培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、
過程與方法目標：
在利用趙爽弦圖和折紙游戲進行推導重要不等式和基本不等式的過程中，按照創(chuàng)設情景，提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應用（最值的求法、實際問題的解決）的過程呈現。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動，培養(yǎng)學生的思維能力，體會數學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質，體會學習數學規(guī)律的方法，體驗成功的樂趣。
3、
情感與態(tài)度目標：.
通過對趙爽弦圖的了解滲透數學文化，通過折紙游戲和情景劇場的設置，使學生認識到數學是從實際中來，培養(yǎng)學生用數學的眼光看世界，通過數學思維認知世界，從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質；在學習過程中感受不等式證明的嚴謹性，從而培養(yǎng)嚴謹的學習態(tài)度。
通過對富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學生頑強的探究精神和嚴肅認
好的學習態(tài)度和習慣.
（2）教學中設置兩條主線，一是知識與技能的主線，采用層層遞進的呈現方式，使學生學會初步運用基本（重要）不等式解決簡單問題的方法.二是感受過程與方法的主線，即學生經歷“了解研究方法——感受研究方法——自主研究”的過程.
（3）基本（重要）不等式的證明過程有很多種方法，如比較法、綜合法、分析法等，在此處證明過程只要求學生能用已有知識證出即可，不作過多的說明和證明方法羅列.以往經驗告訴我們，學生在解題中易忽視基本不等式成立的條件，因此設計了在證明的過程中學生自己發(fā)現成立條件的教學目標.
（4）教材用趙爽的弦圖作為本節(jié)課的導入，借此可增強學生的民族自豪感，通過了解中國數學文化，培養(yǎng)學生愛祖國、愛科學的精神.通過圖形探究重要不等式時，必然要經歷不等到相等的過渡，而此過程正能體現馬克思主義哲學原理中量變與質變的辯證關系.基本不等式在實際生活中應用較廣泛，通過設置學生感興趣的動畫情境，對學生進行明理誠信教育，通過設置生活化的問題情境，使學生樹立科學生態(tài)價值觀.
(5)基本（重要）不等式的主要應用是求函數的最值或值域，由于本課時是本節(jié)的第一課時，主要還是以學生掌握不等式內容和探究過程為主，只要會比較大小和會求0,0bax
b
axy型的函數在0x時的最小值即可,為第二課時求最值的“一正二定三相等”的一般方法作準備.
教法分析及教學支持條件
本節(jié)課以數學實驗為抓手，以問題為載體，為學生提供動手做、動
眼看、動腦想和動口說的機會，引導學生積極思考、合作探究，體現“重過程、重情感、重生活”的理念.教學中在動手折紙的基礎上輔以幾何畫板的動態(tài)演示，通過學生動手實踐、動腦思考等方法探究數學知識獲取直接經驗，進而培養(yǎng)學生學會數學地思考問題的能力，增進應用意識和問題意識.利用學生感興趣的數學文化知識和生活中買賣豬頭肉的情景劇場，實現情感、態(tài)度、價值觀目標. 四、教學過程：
1．.創(chuàng)設情境，幾何引入
【課前預習】趙爽利用弦圖證明勾股定理的過程.
（請學生在學案上課前完成：
4SSS大正方形直角三角形小正方形 2
222142
cababab.）
【引言】右圖是在北京召開的第24屆國際數學家大
會的會標，會標是根據我國古代數學家趙爽的弦圖設計的，趙爽的弦圖構圖巧妙、精致，該圖給出了迄今為止勾股定理最早、最簡潔的證明，是數與形的完美統(tǒng)一。
探究一：在弦圖中，由面積間的相等關系，得到了勾股定理這一經典等式.然而，相對關系與不等關系是相對存在的.在弦圖中存在著怎樣的不等關系呢？
師：從弦圖中我們能抽象出哪些幾何圖形？ 生：一大一小兩個正方形，和4個全等的直角三角形 師：如果設直角三角形兩條直角邊長為,ab，
那么正方形的邊長為
2
2ba．
求出4個直角三角形的面積之和1S和正方形ABCD的面積2S，你能得到什么不等關系？
生：
4個直角三角形的面積之和12Sab，正方形ABCD的面積222Sab．
由圖可知21SS，即222abab． 師：上式中何時等號成立？
生：當正方形EFGH縮為一個點，即ab時取等號.
教師幾何畫板進行動態(tài)弦圖的展示，讓學生有更加直觀的感受和認識。
(請學生說明：當ab時, 222abab；當ab，222abab.教師歸納:當且僅當ab時，等號成立.)
師：上式對正實數是成立的，那么對任意實數ab、，上式都成立嗎？請證明自己的結論.
生：證明如下（作差法）：
0)(2222baabba
222abab，當且僅當ab時取等號．
【設計意圖】使學生經歷數學實驗的過程，增強學好數學的信心.同時通過了解中國數學文化，增強學生的民族自豪感和愛國主義精神，增強學生對國家發(fā)展的信心.學生體會如何從實驗中發(fā)現問題，如何從特殊到一般地猜想問題.感受到由“形”到“數”的逐步提煉的過程，感受由量變到質變的數學問題中的辯證關系.
探究二：先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩個三角形拼接構造出一個矩形（兩邊分別等于兩個直角三角形的直
角邊，多余部分折疊）．假設兩個正方形的面積分別為a和b（ab），考察兩個直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)現一個不等式嗎？ 通過學生動手操作，探索發(fā)現：
> 0,02
ab
abab 在什么情況下，這個不等式能取等號？ 當且僅當ab時取等號.
教師用幾何畫板來直觀感受不等關系中的相等條件，從而進一步完善不等式結論。
a
b
這個兩個不等式有聯系嗎？
如果0,0,ab我們用,ab分別代替1式中的,,ab可得2abab。 通常我們把上式寫作
(0,0)2
ab
abab，稱為基本不等式，本節(jié)課我們就來研究基本不等式.（引入課題并板書）
【設計意圖】學生在上一環(huán)節(jié)的學習中已感受到幾何實驗的作用，此處再次設計實驗使學生對用此研究方法產生更深刻的理解，提高了學生探究問題的能力，也為后面利用實驗的方法獨立探究奠定基礎. 2．代數證明，得出結論
問題：由圖形驗證的結論只是猜想，并不能代表一般的情況，你能證明你的猜想嗎？在證明的過程中你能發(fā)現不等式成立的條件嗎？
師生活動：教師適時點撥，證明不等式可以用比較法、或以某個不等式為依據的方法推出結論.證明后點明此不等式為重要不等式.
預設方案一：比較法（作差）
=
2abab22
abab
2
2
22
abab
2
02
ab
（當且僅當ab時取等號．）
預設方案二：綜合法 由02ba推出結論 由于Rba,，于是 要證明
2
ab
ab， 只要證明 2 abab， 即證2
2
2 0aabb，
即 2
0ab，該式顯然成立，所以
2
ab
ab，當ab時取等號．
分析法比較符合我們的思維習慣， 預設方案三：由02ba推出結論
（綜合法）：由于0,0ab，于是2
0ab
2
2
2 0aabb
2 abab
2ab
ab
分析法的特點是從要證明的結論開始一步步地尋求其成立的條件，直至尋求到已知條件上。綜合法的特點是從已知條件開始推演，一步步地推導結果，最后推出要證明的結果。分析法利于思考，綜合法宜于表述，在解決問題中，最好合并使用。對于一個新問題，我們一般先用分析法尋求解決，然后用綜合法有條理地表述出來。
【設計意圖】雖然證明過程很簡單，但對學生來說證明會稍有困難，所以必要時要對學生進行適當的點撥.同時通過證明過程發(fā)現不等式成立的條件，加深學生對知識的理解.
問題：應用重要不等式解決簡單的比較大小的問題.
師生活動：各式與重要不等式的內容進行對比，分析上述代數式的結構特征，，準確找到變量ba、分別由哪些量代替，學會以重要不等式為依據、利用換元思想比較大小的方法.
【設計意圖】為了使學生經歷完整的研究問題的步驟和感受探究新知后的成就感，此處采用及時的學習結果評價方法，檢測階段性的學習效果.
得出結論，展示課題內容 基本不等式: 若0,0,ab，則
2
ab
ab（當且僅當ab時取等號．） 注：其實條件改為0,0ab，不等式仍然成立。 深化認識：
稱ab為,ab的幾何平均數；稱 2
ab
為,ab的算術平均數 基本不等式
2
ab
ab代數意義可敘述為： 兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數 3．幾何證明，相見益彰
探究三：如圖，
AB是圓 O的直徑，點C 是 AB上一點，ACa，
BCb．過點C 作垂直于 AB的弦 DE，連接, ADBD．
根據射影定理可得：
= CDACBCab
由于Rt COD中直角邊CD斜邊OD，
于是有 2
ab
ab D
C
A
B
E
O 15
142;
141522
2
2
111aa2
2
baab;2;2
當且僅當點C 與圓心 O重合時，即ab時等號成立． 故而再次證明： 當0,0,ab，則
2
ab
ab（當且僅當ab時取等號．） （進一步加強數形結合的意識，提升思維的靈活性） 基本不等式
2
ab
ab幾何意義可敘述為：半徑不小于半弦 另外基本不等式 2
ab
ab數列意義可敘述為：兩個正數的正的等差中項不小于它們的等比中項。
【設計意圖】培養(yǎng)學生數形結合的意識，養(yǎng)成數形結合地分析問題的習慣.
基本不等式：“當a，b都是正數時，有
2
ab
ab”，如果將條件“a，b都是正數”改為“a，b都非負”，基本不等式是否還能成立？
答：能成立．
4.基本不等式的常見變形： 當0,0ab時
○12 abab
○22
2abab
（當且僅當ab時取等號．）
（1）變式○
1可以把和化積，變式○2可以把積化和。 (2)利用此公式求最值，必須同時滿足以下三個條件：
①各項均為正數；②其和或積為常數；③等號必須成立．即“一正，二定，三相等”．
基本不等式是高中最重要的一個不等式，其結構簡單、均勻對稱，意蘊深厚，應用廣泛。
5．應用舉例，鞏固提高 趣題：
b
a
L1
L2
L2
L1
班長愛吃豬頭肉，肉店周老板說：現有一臺天平，兩臂長不相等，其余均精確，只需將豬頭肉放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實重量．這種說法對嗎？我聽說請同學們都是活雷鋒，請你們幫幫忙班長，這豬頭肉買不買？
請同學們暢所欲言，發(fā)表自己的觀點看法。熟對熟非，敬請觀看班長和他的小伙伴們帶來的情景劇，答案即將揭曉。
（提前安排預習任務，教師只負責提供“宏觀”素材，其余部分有班長和他的小伙伴們自導自演，任其發(fā)揮。若是不能正確應用基本不等式解決實際問題，預案一是由課堂上其他同學來臨時客串完成，預案二是教師親自赤膊上陣指點迷津。） 解析：不等臂天平左臂為L1,右臂為L2.某
先把要稱的豬頭肉M放在左盤,右盤放質量為a的砝碼時天平平衡. 然后把物體M放在右盤,在左盤放質量為b的砝碼天平平衡. 肉店周老板的計量結果為2
ab
m
， 在該題中如何合理的表示物體的質量呢？（實際結果為 mab，）：
請班長分享一下計算過程1221
21212
, mLaLmLbLmLLabLLmab
由基本不等式：當0,0,ab，則
2
ab
ab（當且僅當ab時取等號．） 可知周老板是個奸商，所以有必要警告他務必誠信經營。
【設計意圖】（1）利用學生感興趣的背景,激發(fā)學習興趣，培養(yǎng)學生的應用意識.（2）學生體會利用科學的觀點辯別是非的重要性.（3）結合此類社會現象，堅決抵制不講誠信、損人利己的做法，抵制各種不良思想的影響，重溫天津精神和我校校訓提出的有關誠信的要求，從而對學生進行誠信教育，樹立正確的價值觀和理性消費觀.
例1.（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？
（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？
解：設矩形菜園的長、寬分別為x m、y m，則xy=100，籬笆的長為2(x+y) m.由
xyy
x2
，可得x+y≥2100，等號當且僅當x=y時成立，此時x=y=10.因此這個矩形的長、寬各都為１０ m時，所用籬笆最短，最短的籬笆是４０ m.
解：設矩形菜園的長、寬分別為x m、y m.則2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜園的面積為xym2.由92
18
2
yxxy，可得xy≤81.等號當且僅
當x=y=10時成立.因此這個矩形菜園的長、寬各都為９m時，菜園的面積最大，最大面積是８１m2.
（學生完成情況很好，要注意對答的要求）
師 下面有的同學用函數也解決了這兩個問題.很好，這說明同學們對所學過的知識、方法能夠在不同的問題中靈活運用，解決問題的能力很強.由于時間關系，用函數解決這兩個問題的方法我們就不交流了，讓同學們課后去完成.
（通過例1的講解，總結歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現積與和的轉化）[來
師生活動：建立函數模型解答問題，體會基本不等式在解題中的作用. 【設計意圖】（1）使學生利用基本不等式解決簡單的實際問題； （2）嘗試運用數學知識解決實際問題，樹立科學的節(jié)能減排意識和環(huán)保意識.體會在市場經濟下，運用所學數學知識優(yōu)化生活中的一些問題的重要性.
對于0,0,ab，[來源:Zxxk.Com]
（1）若,abp（定值），則當且僅當ab時，ab有最小值2p；
（2）若abS（定值），則當且僅當ab時，ab有最大值2
4
S．
概括成一句話：和定積最大, 積定和最小
練習：（1）把36寫成兩個正數的積，當這兩個正數取什么值時，它們的和最小？
（2）把18寫成兩個正數的和，當這兩個正數取什么值時，它們的積最大？
答案：（1）,,ab設這兩個正數為則36ab，
212abab（當且僅當6ab時取等號）
（2）,,ab設這兩個正數為則18ab，
2
812abab
（當且僅當9ab時取等號）
（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神． ）
【設計意圖】求函數的最值是本節(jié)應用的重點，它需要一個循序漸進的過程，本節(jié)課為后面學習打好基礎,為學生鋪路搭橋.使學生能舉一反三解決問題. 5．歸納小結，反思提高
重要不等式： , aRbR，則222abab，當且僅當ab時取等號． 基本不等式：0,0,ab，則
2
ab
ab（當且僅當ab時取等號．） （1）基本不等式的代數證明，幾何解釋（數形結合思想）； （2）運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法．
師生活動：先由學生總結學習的內容，教師作補充說明，尤其指出本節(jié)課所經歷的知識探究過程和數形結合的思想，強調數學文化及用不等式解決生活問題時給我們帶來的啟示，提出思考問題為下節(jié)課作準備.
【設計意圖】通過總結，培養(yǎng)學生數學交流和表達的能力，養(yǎng)成及時總結的良好習慣，并將所學知識及方法納入已有的認知結構，提升情感、態(tài)度、價值觀目標.通過兩個思考問題為下節(jié)課的學習埋下伏筆. 6．布置作業(yè)，課后延拓
（1）基本作業(yè)：課本P100習題A組1、2題
（2）拓展作業(yè)：請同學們課外到閱覽室或網上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流．
視頻來源：優(yōu)質課網 www.jixiangsibao.com
