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視頻標簽：方程的根,函數的零點
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版必修一3.1.1方程的根與函數的零點-新
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人教A版必修一3.1.1方程的根與函數的零點-新疆
方程的根與函數的零點教學設計
課題 方程的根與函數的零點 課型 概念課
教學 目標 1）知識方法目標
能夠結合二次函數的圖象判斷一元二次函數跟的存在性及根的個數；理解函數的零點與方程根的聯系； 2）能力目標
教學 重點 難點
1） 重點：
零點的定義及等價關系 2）難點：
函數零點存在的條件
教法與學法
引導與探究
教學過程
備注
1. 課題引入 （創設情景）
一、方程的根與函數圖象的關系 問題1：下列二次函數的圖象與x軸交點和相應方程的根有何關系？ (1) x2-2x-3=0與y=x2
-2x-3 (2) x2-2x+1=0與y=x2
-2x+1
(3) x2-2x+3=0與y=x2
-2x+3
引申:二次函數y=ax2
+bx+c (a≠0)的圖象與x軸交點和相應一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何關系? 判別式△ =b2－4ac △＞0 △=0 △＜0
方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根 兩個不相等的實數根x1 、x2
有兩個相等的實數根x1 = x2
沒有實數根
函數y= ax2 +bx +c(a≠0)
圖象與x軸交點的橫坐標就是相應方程的根 x
y
x1 x2 0
x
y
0 x
x
y
的圖象
函數的圖象與 x 軸的交點
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
沒有交點
2.問題探究 1）難點突破
2）探究方式
3）探究步驟
4）高潮設計
能否把二次函數和一元二次方程的關系推廣到一般函數與方程的關系上？
推廣：函數y=f(x)的圖象與x軸交點和相應的方程f(x)=0的根有何關系呢？
結論：函數y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標 就是方程f(x)=0的實數根。
二、零點的定義
對于函數y=f(x) ，把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點
思考：零點是不是點？
零點指的是一個實數，它就是方程f(x)=0的實數根。
思考：方程f(x)=0的根；函數y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標；函數y=f(x)的零點三者有何關系呢？ 等價關系：
方程f(x)=0有實數根
函數y=f(x)的圖象與x軸有交點
函數y=f(x)有零點
練習1、利用函數圖象判斷下列方程有沒有實數根， 有幾個實數根。
(1)-x2+3x+5=0 (2)x2
=4x-4
分析：
（2）方法1：利用函數f(x)=x2-4x+4的圖象
方法2：利用函數f(x)=x2和函數g(x)=4x-4的圖象，原方程的根就是函數f(x)=x2和函數g(x)=4x-4的圖象交點的橫坐標。
練習2、求函數y=x2
+4x-5的零點。
分析：即求方程x2+4x-5=0的實數根 或者函數y=x2+4x-5與x軸交點的橫坐標。
變式：求函數y=x3
+4x-1的零點的個數。 這個函數的零點不能用公式法求出，圖象也不是我們所熟悉的，那我們要如何入手？下面就介紹一個判斷零點存在性的方法。
三、零點的存在性定理
首先，先觀察下二次函數f(x)=x2
-2x-3圖象 1. 發現在區間(-2，1)上有零點 f(-2)= ，f(1) = ，
f(-2) f(1) 0(填“>”或“<”) 2. 發現在區間(2，4)上有零點 f(2)= ，f(4) = ，
f(2) f(4) 0(填“>”或“<”)
得出：f(a)f(b)<0，那么在(a,b)內有零點
問題2：如果函數y=f(x)在區間[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0,那么函數y=f(x)在區間(a,b)內一定有零點嗎？
（讓學生任意畫幾個函數圖象，觀察圖象）
發現如果函數圖象不連續，就不成立 從而得出：
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y=f(x)在區間(a,b) 內有零點。
即存在c∈(a,b)，使得f(c) =0，這個c也就是方程f(x)=0的根。
至此，判斷零點的方法有如下幾種： (1)定義法：解方程 f(x)=0，得出函數的零點。 (2)圖象法：畫出y= f(x)的圖象，其圖象與x軸交點的橫坐標。
(3)定理法：函數零點存在性定理。
練習3、f(x)=x3
+x-1在下列哪個區間上有零點( )
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
練習4、若函數y=x2
-2x-3在區間[a,b]上的圖象是
連續不斷的曲線，且函數y=x2
-2x-3在(a,b)內有
零點，則f(a)·f(b)的值( )
A、大于0 B、小于0 C、無法判斷 D、等于0 結論：函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線： f(a)·f(b)<0 函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點； 四、例題分析
例1 求函數f(x)=lnx+2x－6的零點個數。
解法一：定理的運用，尋找函數值符號變化的規律，確定零點存在的區間
解法二：定義的運用，求方程的根。 令f(x)=0，則有ln26xx，
若再令lngxx，26hxx，則上述
等式就可以轉化為求這兩個函數的交點的橫坐標。
注意：反之不成立
將研究方程
f(x)=0的根的問
題轉化為研究函數y=g(x)和函數
y=h(x)圖象交點
的問題
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