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所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：數學人教A版高中必修1.2 函數模型及其應用《幾類不同函數的增長模型》四川省綿陽
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數學人教A版高中必修1.2 函數模型及其應用《幾類不同函數的增長模型》四川省綿陽
《幾類不同增長的函數模型》
教學設計及反思
目 錄
目 錄... 1
一、教學內容與內容解析... 2
二、教學目標... 2
三、教學重難點... 3
四、教學問題分析... 3
五、教學支持條件... 3
六、教學過程設計... 4
（一）創設情境，引入課題... 4
（二）組織引導，合作探究... 4
1.提出問題... 4
2.分析問題... 4
3.組織探究，感性體驗... 5
4.成果交流，階段小結... 7
5.深入探究，理性分析... 11
（三）總結反思，歸納提升... 15
（四）布置作業，課外延伸... 16
七、教學體會與反思... 16
一、教學內容與內容解析
幾類不同增長的函數模型是必修1第三章“函數的應用”的重要內容.它比較指數函數、對數函數以及冪函數間的增長差異,并結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義。
對不同函數模型在增長差異上的研究，教材圍繞函數模型的應用這一核心，結合具體實例展開討論，讓學生在應用函數模型的過程中，體驗到指數函數、對數函數、一次函數等函數模型在描述客觀世界變化規律時各自的特點。
教材運用自選投資方案和制定獎勵方案這兩個問題，引出函數模型增長情況比較的問題，接著運用信息技術從數值和圖象兩個角度比較了指數函數、對數函數、冪函數的增長情況的差異，說明不同函數類型增長的含義。
學生在本節內容學習之前,已經有了指數函數、對數函數以及冪函數的相關知識,在這里進一步研究幾類不同增長的函數模型的增長差異有著承上啟下的作用.讓學生在應用函數模型的過程中,體驗到指數函數、對數函數、冪函數等函數模型在描述客觀世界變化規律時各自的特點與差異,同時將感受到的這種差異應用在后續的函數模型實例中。
二、教學目標
（1）借助計算機制作數據表格和函數圖像，對幾種常見的函數類型的增長情況進行比較，在實際應用的背景中理解直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的差異。
（2）通過恰當地運用函數的三種表示方法（解析法、列表法、圖象法），表達實際問題中的函數關系的操作，認識函數問題的研究方法：觀察--歸納--猜想--證明。
（3）通過對投資方案的選擇及獎勵模型的選擇，學會利用數據表格和函數圖象分析問題和解決問題；引導學生充分體驗將實際問題“數學化”解決的過程， 從而理解“數學建模”的思想方法解決問題的有效性。
三、教學重難點
教學重點：將實際問題轉化為數學模型，在比較常數函數、一次函數、指數函數、對數函數模型增長差異的過程中，體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同類型函數增長的含義。
教學難點：如何結合實際問題讓學生體會不同函數模型的增長差異，以及如何利用這種增長差異來解決一些實際問題。
四、教學問題分析
問題1: 本課中,學生對指數爆炸的認識缺乏一定的基礎,本課先讓學生自己畫表，有個初步感受，在教師用EXCEL軟件分析表格的過程中發現要分析增加量,通過數據對指數爆炸有了一種感性認識,教師再結合幾何畫板中對圖象分析,從感性認識上升到理性認識。
問題2: 在公司獎勵模型問題的解決過程中,教材中對判斷 是否滿足約束條件 ，采用了“構造函數的思想方法”,其實學生還是有困難，因為這個函數的單調性現在是沒法判斷，所以教師宜采用幾何畫板呈現圖象分析單調性。學生還認為可以觀察 和 的圖象，但這一點也是讓老師呈現圖象，利用數形結合,學生能很直觀地感受 在圖像 的上方，這種方式也可以。
五、教學支持條件
要讓學生較為全面地體會函數模型的思想，特別是本節例題中用函數模型研究實際問題有許多數據、圖象等方面處理上的困難，教學中需要用函數表格、圖象來幫助學生理解分析問題,所以ppt和幾何畫板是重要的支持條件。
教學時充分注意這一條件，不僅可以加強幾何直觀，節省大量時間用于學生思考，而且可以對實際問題中的數據不加“修飾”地進行分析。讓學生可以在不同的范圍觀察到指數函數、對數函數和一次函數的增長差異，進而結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義。
六、教學過程設計
（一）創設情境，引入課題
故事：一個叫杰米的百萬富翁，一天他碰到了一件奇怪的事．一個叫韋伯的人對他說，我想和你訂個合同，在整整一個月中，我每天給你10萬元，而你第一天只需給我一分錢，以后每天給我的錢是前一天的兩倍……
【設計意圖】 形成問題情境，引出各種不同類型的函數增長模型，進而揭示課題：幾類不同增長的函數模型。產生應用函數的需要，也激發學生的學習愿望。
（二）組織引導，合作探究
1.提出問題
例1 假如你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的 回報如下：
方案一：每天回報40元；
方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；
方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番；
請問：你會選擇哪種投資方式？
2.分析問題
【
問題1】選擇最佳投資方案的原則是什么？
從解決問題的角度看：
（1）比較三種方案的每日回報；
（2）比較三種方案在若干天內的累計回報；
【
問題2】本題中涉及哪些數量關系? 如何利用函數描述這些數量關系?
解決方案：
讓學生自行研究，再展示自己的結果。
預案一：每天回報數與投資天數之間的關系。
設第x天所得回報是y元,則：
方案一可用函數y=40(x∈N*)進行描述;
方案二可以用函數y=10x(x∈N*)進行描述;
方案三可以用函數 進行描述。
預案二：總回報數與天數的關系。
設總回報數為y元，投資天數為x， ，
則方案一：y=40x(x∈N*)；
方案二： ；
方案三： 。
對方案二，因為高一學生知識的匱乏，
所以提醒學生研究累積回報量也從先研究日回報著手，我們僅從日回報的角度引導學生根據數量關系，分析相應的函數模型。
【設計意圖】 引發學生思考，經歷由實際問題建立函數基本模型的過程。
3.組織探究，感性體驗
1.教師提出問題
【問題3】你會選擇哪種投資方案？請用數學語言呈現你的理由。
2.學生分組操作，比較不同增長
從解決問題的方式上：
（1）完成三種方案的日回報表（表1）并從日回報量量的角度，談談選擇何種方案的理由。
（2）完成三種方案的累計回報表（表2），并從累積回報量的角度，談談選擇何種方案的理由。
日回報表（表1）
|
x/天 |
方案一 |
方案二 |
方案三 |
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每天回報數y/元 |
每天回報數y/元 |
每天回報數y/元 |
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1 |
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2 |
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3 |
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4 |
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5 |
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6 |
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7 |
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8 |
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9 |
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10 |
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… |
… |
… |
… |
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30 |
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結論：
累計回報表（表2）
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一 |
二 |
三 |
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1 |
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2 |
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3 |
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5 |
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11 |
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13 |
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結論：
【設計意圖】 保證學生合作探究、動手實踐，能借助計算器，利用數據表格、對三種模型進行比較、分析，初步感受直線上升和指數爆炸的意義，初步體驗研究函數增長差異的方法。
4.成果交流，階段小結
a.學生交流
解決方案：
分組交流，組內補充。讓學生交流小組探究的成果（表格、結論）。
b.師生互動
解決方案：
-
通過展示EXCEL數據表格，分別展示日回報和累積回報量與投資天數的關系，并引導學生關注增長量，感受增長差異．（部分表格如下）
|
日回報表 |
|
X（天） |
y1=40 |
y2=10x |
y3=0.4*2^(x-1) |
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1 |
40 |
10 |
0.4 |
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2 |
40 |
20 |
0.8 |
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3 |
40 |
30 |
1.6 |
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4 |
40 |
40 |
3.2 |
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5 |
40 |
50 |
6.4 |
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6 |
40 |
60 |
12.8 |
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7 |
40 |
70 |
25.6 |
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8 |
40 |
80 |
51.2 |
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9 |
40 |
90 |
102.4 |
|
10 |
40 |
100 |
204.8 |
|
11 |
40 |
110 |
409.6 |
|
12 |
40 |
120 |
819.2 |
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… |
… |
… |
… |
|
40 |
40 |
400 |
2.19902E+11 |
從這三種方案每天所得回報看，師生共同得到以下結論：
第1~4天，方案一最多；
第5~8天，方案二最多；
第9天以后，方案三比其他兩個方案所得回報多得多。
到第30天，所得回報已超過2億元。
再展示累計回報表：
|
x/天 |
方案一 |
方案二 |
方案三 |
|
y/元 |
增加量/元 |
y/元 |
增加量/元 |
y/元 |
增加量/元 |
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1 |
40 |
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10 |
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0.4 |
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2 |
40 |
0 |
20 |
10 |
0.8 |
0.4 |
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3 |
40 |
0 |
30 |
10 |
1.6 |
0.8 |
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4 |
40 |
0 |
40 |
10 |
3.2 |
1.6 |
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5 |
40 |
0 |
50 |
10 |
6.4 |
3.2 |
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6 |
40 |
0 |
60 |
10 |
12.8 |
6.4 |
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7 |
40 |
0 |
70 |
10 |
25.6 |
12.8 |
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8 |
40 |
0 |
80 |
10 |
51.2 |
25.6 |
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9 |
40 |
0 |
90 |
10 |
102.4 |
51.2 |
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10 |
40 |
0 |
100 |
10 |
204.8 |
102.4 |
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11 |
40 |
0 |
110 |
10 |
409.6 |
204.8 |
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… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
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30 |
40 |
0 |
300 |
10 |
214748364.8 |
107374182 |
從累計的回報數看，師生共同得到以下結論：
投資1~6天，應選擇第一種投資方案；
投資7天，應選擇第一或二種投資方案；
投資8~10天，應選擇第二種投資方案；
投資11天（含11天）以上，應選擇第三種投資方案。
【問題4】通過前面兩個表可以發現，方案三從某天開始，數據非常大，關鍵在于這三個函數增長速度不一樣，通過哪個量來判斷這三個函數的增長速度？
引導學生通過增加量（增長量）來判斷，也就是從第二天起，每一天與前一天的變化量。然后教師再展示每一種方案的增加量：
|
x/天 |
方案一 |
方案二 |
方案三 |
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y/元 |
增加量/元 |
y/元 |
增加量/元 |
y/元 |
增加量/元 |
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1 |
40 |
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10 |
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0.4 |
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2 |
40 |
0 |
20 |
10 |
0.8 |
0.4 |
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3 |
40 |
0 |
30 |
10 |
1.6 |
0.8 |
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4 |
40 |
0 |
40 |
10 |
3.2 |
1.6 |
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5 |
40 |
0 |
50 |
10 |
6.4 |
3.2 |
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6 |
40 |
0 |
60 |
10 |
12.8 |
6.4 |
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7 |
40 |
0 |
70 |
10 |
25.6 |
12.8 |
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8 |
40 |
0 |
80 |
10 |
51.2 |
25.6 |
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9 |
40 |
0 |
90 |
10 |
102.4 |
51.2 |
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… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
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30 |
40 |
0 |
300 |
10 |
214748364.8 |
107374182 |
結論：
可以看到，方案一、方案二增長量固定不變，而方案三是“指數增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的。
-
通過教師多媒體(幾何畫板)動態演示，把增長量用數據來刻畫，讓學生進一步理解增長差異。
【問題5】你對指數型函數的增長有怎樣的認識？
通過表格數據對三個函數的增長情況有了一個理性的認識了，再從圖象的角度來直觀感受以下（如下圖）：
結論：
在不同的函數模型下，雖然都有增長，但增長態勢各具特點．它們的增長不在同一個“檔次”上，當自變量變得很大時，指數型函數比一次函數增長的速度要快得多。
c.歸納小結
【問題6】 由上面問題分析，幾種常見函數的增長情況？
【問題7】解決實際問題的一般步驟是什么？
解決方案：
（1）通過教師的小結，增強學生對增長差異的認識。
結論：
常數函數（沒有增長），一次函數（直線上升），指數型函數（指數爆炸）
（2）上述問題的解決，是通過考慮其中的數量關系，把它抽象概括成一個函數問題，用解析式、數據表格、圖象這三種函數的表達形式來研究的，通過函數問題的解進而得到問題的解。
結論：
【設計意圖】分享學生成果，達到生生互動、師生互動；借助多媒體展示幫，助學生理解不同增長的函數模型的增長差異，并且初步體驗數學建模的基本思想，認識函數問題的研究方法。
5.深入探究，理性分析
例2 某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%．現有三個獎勵模型：
， ， ，
其中哪個模型能符合公司的要求？
a.引導分析題意
解決方案：
讓學生自行閱讀，帶著如下關鍵問題進行思考討論：
【問題8】你能立刻做出選擇嗎？選擇的依據是什么？
【問題9】公司的要求到底意味著怎樣的數學關系？如何用數學式子體現？
【問題10】我們提供的三個增長型函數哪一個符合限制條件？
學生發言，教師補充并總結本題的關鍵點：
結論：在 上檢驗三個模型是否符合上述的兩個要求。
【設計意圖】 解決實際問題的第一步就是審題,并將之數學化.在此更進一步培養學生解決實際問題的能力。
b.解決問題
【問題11】我們可以如何驗證 ?
【問題12】如何驗證 ？
【設計意圖】 引導學生如何利用題目條件,從數和形兩方面解決數學問題,既鞏固應用前面學到的數學方法,又為下面問題的解決提供方向。
解決方案：
（1）教師通過多媒體演示，通過觀察函數的圖象，讓學生得到初步的結論。
結合限制條件，初步作出選擇：
（2）通過計算，進一步確認，驗證所得結論；
此處讓學生操作，并展示自己的證明，學生補充。
結論：
a.對于模型y=0.25x,它在區間[10,1000]上遞增,當x=20時，y=5，因此，當x∈(20,1000)時,y>5,因此該模型不符合要求。
b.對于模型 ,由函數圖象,并利用計算器,可知在區間(805,806)內有一個點滿足 ,由于它在[10,1000]上遞增,因此當 時,y>5,因此該模型也不符合要求。
c.對于模型 ,它在區間[10,1000]上遞增,而且當x=1000時,
,所以它符合獎金總數不超過5萬元的要求。
（3）只有 符合第一個要求，接下來驗證 。
教師適時提問，學生思考并個別回答。
預案1
把左右兩邊看成兩個函數，觀察函數 與 的圖象,只要在 上 恒在 的圖象的上方即可。
但是學生畫不出它們的圖象。
教師在引導學生只需將 代入計算,是符合條件的；再結合剛開始教師畫的圖象發現直線的增長比對數函數快,對數函數增長較為平緩也可以。
預案2
通過移項，構造一個函數 ,只需研究 ，但單調性沒法解決。
教師根據以上學生回答展示兩個方法。
構造函數法：
令
由圖得
在 上單調遞減。
所以 ,即 對 恒成立�！ �
數形結合法：
令 ,
當 時 ,
結合圖象得 對 恒成立�！ �
【設計意圖】 在 的驗證過程中,始終不脫離本課主題,回歸到函數的“增長特征”上去,并充分體現數形結合、構造函數的思想方法。
（4）對數型函數模型增長趨勢的認識
教師展示圖象：
讓學生體會對數增長模型的增長特征：
對數增長模型比較適合于描述增長速度平緩的變化規律。
【設計意圖】讓學生在觀察和探究的過程中，學會理性分析，體會對數增長模型的特點。
（三）總結反思，歸納提升
【問題１3】 通過本節課的學習,你有哪些收獲？請你從知識、方法和思想對本節課作一總結。
解決方案：
讓學生思考交流，談談自己的收獲。教師再從知識、方法和思想、注意事項、和核心素養方面總結，如下：
【設計意圖】理解幾類不同增長的函數模型的增長差異，提煉數學思想方法，認識數學的應用價值。
（四）布置作業，課外延伸
1.教科書P98,練習１,２。
2.收集一些社會生活中遞增的一次函數、指數函數、對數函數的實例，對它們的增長速度進行比較，了解函數模型的廣泛應用。
【設計意圖】讓學生鞏固函數增長特征這一知識點.進一步體驗函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，不同的變化規律需要用不同的函數模型來描述；培養學生對數學學科的深刻認識，體會數學的應用價值。
七、教學體會與反思
（1）數學問題解決教學應該從創設問題情景開始，本設計的情境創設比較成功.本例通過一則故事引入，直奔本課的研究主題，直擊“增長”.實際教學中大多以真實的或虛擬的“生活化”材料為載體創設教學情境，以迎合“能讓學生體會到數學源于生活，增長學生的應用意識”，注重“數學教育應該與現實生活密切聯系”這一現代教學理念.本課的教學內容是通過兩個實際問題解決，讓學生體會幾類不同類型的函數增長的差異。
（2）問題的解決圍繞著“讀懂問題—轉化成數學問題—解決數學問題—還原說明-階段小結”進行教學，教學中充分發揮了學生的主體作用。
（3）在例題教學中既要有動手操作的實踐活動，又有要動腦思考和數學思維活動.例1的教學過程中，抓隹關鍵詞“回報”，從不同的角度看待回報，讓學生辨別“每天回報量”、“累計回報量”；從函數表達的三種不同形式入手，建立函數模型，讓學生經歷從解析式到表格的全過程.在這個過程中，讓學生感受到圖表的直觀，解析式的抽象.在求累計回報量時，由于學生不會求等比數列的和，選取對函數模型列表計算作出判斷和選擇，處理有詳有略，讓學生體會到了常數函數、一次函數與指數型函數的增長差異.在教學中，教師可事前設計好兩張表格(日回報表和累計回報表),在課堂上由學生分組合作完成,再讓學生分析表格,可以培養學生分析問題、解決問題的能力。
（4）在教學中要設置一些高效的問題，對學生的思維點進行點撥。例如，在例2的教學中，在引導分析題意環節，設置如下的問題：
問題1：你能立刻做出選擇嗎？選擇的依據是什么？
問題2：公司的要求到底意味著怎樣的數學關系？如何用數學式 子體現？
問題3：我們提供的三個增長型函數哪一個符合限制條件？
從而讓學生充分理解題意，知道本題要干什么。
又在判斷是否滿足“約束條件” 時，可以給學生留充足的時間，讓他們思考討論，以及在解決過程出現的問題。學生能很直觀地想到 在 的圖象的上方，但是又做不出來圖。對“構造函數法”學生也還是能想到，可是它的單調性又沒法判斷。教師在教學中能有效解決這些問題，對學生的積極性也能調動。
（5）更加重視信息技術對課堂教學的作用.例如,教師在EXCEL中對累計回報表和日回報表的一個分析，及對兩個案例圖象分析過程,利用幾何畫板動點演曲線的增長快慢和 的變化情況，使教學過程更加生動，從而調動學生的學習積極性,更直觀地體會到幾個函數模型的增長差異。
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