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視頻標(biāo)簽：高中數(shù)學(xué)必修第二冊
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊（省優(yōu)質(zhì)課）6.2.4平面向量數(shù)量積教學(xué)設(shè)計2課時 (1)
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6.2.4平面向量數(shù)量積教學(xué)設(shè)計2課時 (1)
6.2.4 向量的數(shù)量積
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1.內(nèi)容
平面向量數(shù)量積的概念；投影向量的概念及其意義；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律.本小節(jié)計劃用2課時，第一課時：數(shù)量積的概念、投影的概念和投影向量的意義；第二課時：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律.
2.內(nèi)容解析
本小節(jié)是2019年人教A版必修第二冊第六章第二單元的第四小節(jié)，是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的概念和線性運算的基礎(chǔ)上再來探究平面向量數(shù)量積運算，向量的數(shù)量積運算是向量的核心運算.
第一課時以物理中力做功為背景，通過類比抽象得到平面向量夾角和數(shù)量積的概念，通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，類比力在位移方向上的分力，引出投影向量，通過幾何直觀讓學(xué)生探究投影向量的方向和長度，歸納出投影向量的代數(shù)表示，最后引導(dǎo)學(xué)生探究了投影向量和數(shù)量積的聯(lián)系，這也是投影向量的意義。
第二課時以問題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)量積公式中的向量特殊化、夾角特殊化得到向量數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)，并類比數(shù)的乘法運算律，結(jié)合向量的線性運算律，讓學(xué)生猜想數(shù)量積的運算律，并加以驗證，得到數(shù)量積運算的交換律、與數(shù)乘的結(jié)合律、分配律.
綜上所述，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：平面向量數(shù)量積的概念與投影向量.；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律.
二、教學(xué)目標(biāo)
1.目標(biāo)
（1）理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義；會計算平面向量數(shù)量積；
（2）通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念和投影向量的意義.
（3）理解平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律.
2.目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：
（1）學(xué)生能從物理中力做功的實例抽象出向量夾角和平面向量數(shù)量積的概念，體會數(shù)學(xué)概念的生成過程，感悟數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)思想的作用；會計算平面向量數(shù)量積，知道它的結(jié)果是數(shù)量；能描述平面向量的數(shù)量積、長度、夾角之間的關(guān)系.
（2）能結(jié)合具體例子畫圖解釋一個向量向另一個向量上的投影向量，知道兩個向量的夾角的大小對投影向量的影響；知道平面向量投影與平面向量數(shù)量積之間的關(guān)系，體會平面向量投影是構(gòu)建高維空間與低維空間之間聯(lián)系的橋梁.
（3）能借助向量投影說明數(shù)量積的運算性質(zhì)，區(qū)分平面向量數(shù)量積與實數(shù)的積的不同含義.
三、教學(xué)問題診斷分析
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的加法、減法、數(shù)乘運算，有了一些研究平面向量運算的經(jīng)驗，積累了一些從簡單的物理背景抽象出數(shù)學(xué)概念的能力，另外學(xué)生已經(jīng)具備了一定觀察問題、分析問題的能力，這些都是學(xué)習(xí)本節(jié)課的基礎(chǔ)。
但在概念課中，學(xué)生自主構(gòu)建概念的意識還不強，自主探究的能力還不夠。向量的線性運算既是基礎(chǔ)也是思維定式，其運算過程和結(jié)果可能對學(xué)生理解數(shù)量積產(chǎn)生一定的干擾，因為數(shù)量積的運算結(jié)果是數(shù)量，不是向量，運算不封閉，學(xué)生是首次遇到，對于知識同化與心理順應(yīng)可能有一定的障礙和困難.對投影和投影向量的理解也將是本節(jié)課的難點.
平面向量數(shù)量積是從物理中功的實例抽象出來的，并且借助了幾何直觀探究了向量投影概念和投影向量，所以學(xué)生原有的物理學(xué)習(xí)、幾何學(xué)習(xí)的差異也會直接影響他們對于平面向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)。另外，在探究向量數(shù)量積的運算性質(zhì)時，與實數(shù)的乘法運算性質(zhì)進(jìn)行了類比，學(xué)生容易聯(lián)想到向量的數(shù)量積運算有類似的性質(zhì)，但也會出現(xiàn)“負(fù)遷移”，教師要盡可能引導(dǎo)學(xué)生舉出一些反例來澄清認(rèn)識，讓學(xué)生體會向量數(shù)量積運算與數(shù)的乘法運算的差異.
基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點是：（1）向量數(shù)量積概念的形成過程；（2）向量投影的概念和投影向量的意義;（3）向量數(shù)量積運算的運算性質(zhì).
教學(xué)中，通過創(chuàng)設(shè)物理情境，以問題為引導(dǎo)，通過不斷的類比抽象得到數(shù)量積的概念，再創(chuàng)設(shè)特定的數(shù)學(xué)情境，引出投影向量，并讓學(xué)生通過兩個活動得到投影和投影向量的表示，讓學(xué)生體會投影向量和數(shù)量積的聯(lián)系，舉出反例，讓學(xué)生體會向量數(shù)量積運算與數(shù)的乘法運算的差異.這些都是突破難點的支撐條件.
四、教學(xué)支持條件分析
為加強學(xué)生對投影向量的幾何直觀了解，可以利用信息技術(shù)展示不同夾角對應(yīng)的投影向量，幫助學(xué)生理解向量投影的概念和夾角的大小對投影向量的影響.
師生活動：學(xué)生回憶物理中有關(guān)矢量的運算，發(fā)現(xiàn)物理中的功是矢量與矢量相乘的結(jié)果.教師創(chuàng)設(shè)以下情境：
,
，
是平面上的任意一點，作
，
則
叫做向量與的夾角。
時，與同向，當(dāng)
時，與反向，當(dāng)
時，我們說與垂直，記作
.
牛刀小試：已知
為等邊三角形，則
與
的夾角為 ． 與
的夾角為 �。� 與，它們的夾角為
，我們把數(shù)量
叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作
，即
.
根據(jù)下列條件，求
; （2）; （3）與的夾角為
.
，求
的夾角.
中，
，
為
的中點，
為線段
上一點，與
重合,求
;
,求;
，求;
為線段上任一點，結(jié)果又如何？
，再引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，
與同向，故
.也就是說向量
與的數(shù)量積等于向量與的數(shù)量積.教師從物理背景出發(fā)，給出解釋：力對物體所做的功實際上是力在位移上分力所做的功.類比到數(shù)學(xué)中，我們可以說向量與的數(shù)量積等于向量在向量上的“分向量”與向量的數(shù)量積.這樣學(xué)生從
的幾何意義和物理背景兩個角度關(guān)注到了向量.在數(shù)學(xué)中我們稱向量為投影向量.這樣就順利地引入可投影向量的概念.在方向上的投影向量.
是兩個非零向量，我們考慮如下變換：過的起點
和終點
，分別做
所在直線的垂線，垂足分別為
，得到
，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.|
的 范圍 |
|
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| 作圖 |
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 |
 |
| 投影向量方向 | |||||
| 投影向量的長度 | |||||
| 投影向量 |
代數(shù)表示
，其中
是與同向的單位向量，剩余的四種情形讓學(xué)生進(jìn)行小組交流，然后教師展示部分學(xué)生成果，并用幾何畫板演示向量夾角變化時，在
方向上的投影向量及夾角大小對投影向量的影響，最后師生一起歸納得到投影向量向量的表達(dá)式
.有了投影向量，
,這樣我們就將兩個不共線的向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為了兩個共線向量的數(shù)量積，實現(xiàn)了“降維”的目的，這也是投影向量的意義所在.
.
；這里教師提出問題：此結(jié)論反之成立嗎？引導(dǎo)學(xué)生探究得出當(dāng)
時，有
或
或
，故反之不一定成立，但當(dāng)為非零向量時，有
.（3）當(dāng)
與
同向時，
；當(dāng)
與反向時，
，特別地
，或
.這里教師需要指出
是計算向量模長的重要公式，即模方公式.為非零向量，
與
有怎樣的大小關(guān)系？
.
師生活動：先讓學(xué)生類比數(shù)的乘法運算律，結(jié)合向量的線性運算律猜想數(shù)量積的運算律，然后讓學(xué)生自主思考，如何驗證.對于交換律和與數(shù)乘的結(jié)合律，學(xué)生不難證明，但對于分配律的證明，學(xué)生有一定的困難，這里教師要引導(dǎo)學(xué)生運用向量投影來證明，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生得出向量
在向量
上的投影向量等于向量在向量上的投影向量的和.為了說明這一點，關(guān)鍵是證明
,利用這一等式學(xué)生能方便地證明結(jié)論.在這個過程中難點是構(gòu)造圖形，教師可以讓學(xué)生先自主動手畫草圖，再借助幾何畫板畫板畫出不同情形的輔助圖形，幫助學(xué)生直觀認(rèn)識投影向量的關(guān)系.對于結(jié)合律的驗證，學(xué)生不難得出是不滿足的，此處更重要的是要提醒學(xué)生類比推理是一種很好發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法，但一定要加以驗證，類比得出的結(jié)論不一定正確.
,恒有
，
.，是否也有下面類似的結(jié)論？
；
.
，
，與的夾角為
，求
.
.
與的夾角.
，
，且與不共線，當(dāng)
為何值時，向量
與
互相垂直？視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.jixiangsibao.com
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