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視頻標(biāo)簽：基本不等式及其應(yīng)用
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：高中數(shù)學(xué)滬教課標(biāo)版高一上冊(cè)第2章不等式2.4基本不等式及其應(yīng)用_寧夏 - 銀川
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高中數(shù)學(xué)滬教課標(biāo)版高一上冊(cè)第2章不等式2.4 基本不等式及其應(yīng)用_寧夏 - 銀川
《 基本不等式 》
一、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：
（1）理解基本不等式，從不同角度探索其證明過(guò)程，體會(huì)其結(jié)構(gòu)模型。 （2）學(xué)會(huì)用基本不等式來(lái)解決問(wèn)題，體會(huì)其工具性。 二、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
理解兩個(gè)不等式的結(jié)構(gòu)特征及其幾何解釋、適用條件，能合理選擇公式并正確地運(yùn)用公式解決有關(guān)問(wèn)題。 三、學(xué)習(xí)難點(diǎn)：
（1）如何利用基本不等式的模型求解函數(shù)最值。 （2）類比兩個(gè)不等式的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)會(huì)研究不等式模型。 四、教學(xué)策略設(shè)計(jì)
以下是本節(jié)課的結(jié)構(gòu)安排：
五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1.引入重要不等式: （1）幾何背景：
如圖是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē)，
例題示范到解決實(shí)例
布置作業(yè)
課時(shí)小結(jié)歸納整理
重要不等式證明 基本不等式證明
教材趙爽弦圖引入
基本不等式幾何意義
由幾何題目到基本不等式 留下伏筆
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代表中國(guó)人民熱情好客。
提問(wèn)：你能畫(huà)出趙爽的弦圖嗎？能用這個(gè)圖形證明勾股定理嗎？圖中有哪些不等關(guān)系？
設(shè)計(jì)意圖：
教材中重要不等式的幾何背景引入，面對(duì)第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，如何使學(xué)生從圖案中找出一些相等或不等關(guān)系？這一探究過(guò)程會(huì)出現(xiàn)一個(gè)思維的障礙點(diǎn)或盲點(diǎn)，就是向哪個(gè)方向上尋找“相等和不等關(guān)系”。如果由畫(huà)出趙爽的弦圖到用這個(gè)圖形證明勾股定理，再去找圖中有哪些不等關(guān)系,分解提問(wèn)，用一些小問(wèn)題鏈突破難點(diǎn)，也能發(fā)現(xiàn)得到重要不等式的代數(shù)形式。我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家趙爽是歷史上最早用弦圖證明勾股定理，根據(jù)面積相等，通過(guò)計(jì)算證明勾股定理的。弦圖構(gòu)圖巧妙、精致，既強(qiáng)調(diào)邏輯推理，又注重幾何直觀，是數(shù)與形的完美統(tǒng)一。勾股定理有著“千古第一定理”之稱。今天，我們用數(shù)學(xué)欣賞的眼光再次審視勾股定理，會(huì)感到別有一番風(fēng)味。
（2） 重要不等式代數(shù)形式：
第 3 頁(yè) 共 8 頁(yè)
ab
babababaabbabaabbaa2,0b-a, ,
0b-a,,0b-a, 2:)
"",( 2R,b, 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
即所以時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)因?yàn)樽C明號(hào)取時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)那么如果提問(wèn)：重要不等式可以解決什么問(wèn)題?
首先從弦圖中可以看出，隨著直角三角形直角邊的變化四個(gè)直角三角形面積和在變大,當(dāng)直角三角形變?yōu)檠苯侨切螘r(shí)，和面積取到了最大值。那么僅從不等式看，當(dāng)2ab為定值時(shí)，a2+b2 取到最小值，當(dāng)a2+b2為定值時(shí)，2ab 取到最大值。 設(shè)計(jì)意圖：
借助幾何畫(huà)板做出直觀的變化與不變的圖形及數(shù)量關(guān)系，直觀的反映面積變化到隱含的數(shù)值關(guān)系，發(fā)現(xiàn)用重要不等式可以求解最值問(wèn)題。 2.講解基本不等式:
（1）引入基本不等式：
引例 先將兩張正方形紙片沿它們的對(duì)角線折成兩個(gè)等腰直角三角形，再用這兩對(duì)三角形拼接成兩個(gè)矩形（兩邊分別等于兩個(gè)直角三角形的直角邊，多余的部分折疊），這兩個(gè)正方形的面積分別為a和b，考察圖中兩個(gè)直角三角形的面積和矩形面積你能發(fā)現(xiàn)一個(gè)不等式嗎？ 有：直角邊長(zhǎng)分別為a和b,矩形面積為ab
2
為
兩個(gè)直角三角形面積和ba
顯然，兩個(gè)直角三角形面積和不小于矩形的面積
因此：2
ab
ab
設(shè)計(jì)意圖：
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教材中基本不等式的幾何意義是“半徑不小于半弦”，不便聯(lián)想和觀察。我增加一個(gè)例子，先將兩張正方形紙片分別沿它們的對(duì)角線剪成兩對(duì)等腰直角三角形，再用這兩對(duì)三角形拼接成兩個(gè)矩形（兩邊分別等于兩個(gè)直角三角形的直角邊，多余的部分折疊），這兩個(gè)正方形的面積分別為a和b，考察圖中兩個(gè)正方形的面積和矩形面積的不等式關(guān)系，進(jìn)而在探究“半徑不小于半弦”。
法二：仍然回到趙爽的弦圖，作為基本不等式的切入點(diǎn)，
當(dāng)直角三角形直角邊為a和b時(shí)，不難得到不等式abba2，此時(shí)變量范圍由全體實(shí)數(shù)變?yōu)檎龑?shí)數(shù)。其次從代數(shù)角度也可以得到基本不等式。
得到abba2
評(píng)述： （1）如果把
2
b
a看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，ab看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)。
（2）在數(shù)學(xué)中，我們稱2
b
a為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱ab為a、b的幾何平均數(shù)。
本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 提問(wèn)：你能類比重要不等式來(lái)學(xué)習(xí)基本不等式嗎？
ab
ba222
ab
ba2
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從三個(gè)方面探究：代數(shù)證明（作差法）、 幾何解釋（弦圖）、 解決問(wèn)題（最值問(wèn)題）
（2）基本不等式的證明：
從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式2
ab
ab 設(shè)計(jì)意圖：
運(yùn)用分析法證明基本不等式，證明的格式及為什么可以這樣證明，是學(xué)生思維的障礙點(diǎn)。一是學(xué)生不會(huì)發(fā)現(xiàn)其中隱含的道理，二是學(xué)生照此模仿往往會(huì)出錯(cuò)。其原因是學(xué)生不能弄清楚這里推理的根據(jù)，但這里要說(shuō)清楚全部的根據(jù)，就要涉及到許多內(nèi)容，如：推理的可逆性問(wèn)題，命題的唯一性問(wèn)題，什么情況下才能夠運(yùn)用此法等等。因此我提出仍然可以用作差法，也不妨用新的方法，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的變化上去處理，觀察題目的結(jié)論，找出可以支撐其成立的條件，如“兩邊同時(shí)乘以某個(gè)式子，兩邊同時(shí)平方”等，給學(xué)生指明探索方向，在不等式的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)上和證明上進(jìn)行引導(dǎo)，不必要求用標(biāo)準(zhǔn)的格式和語(yǔ)言表達(dá)。 用分析法證明： 要證
2
ab
ab ① 只要證 a+b ② 要證②，只要證 a+b- 0 ③ 要證③，只要證 （ - ）20 ④ 顯然，④是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，④中的等號(hào)成立
（3）理解基本不等式2
ab
ab的幾何意義 探究：課本第98頁(yè)的“探究”
在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，
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AC=a,BC=b。過(guò)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。 你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式2
ab
ab
的幾何解釋嗎？ 易證Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD 2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab.這個(gè)圓的半徑為2
b
a，顯然，它大于或等于CD， 即
abb
a2
，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a＝b時(shí)，等號(hào)成立。因此：基本不等式2
ab
ab幾何意義是“半徑不小于半弦”
用幾何畫(huà)板做出兩個(gè)變化半徑及半弦的動(dòng)圓
設(shè)計(jì)意圖：
教材中基本不等式幾何意義是在同一半圓中，半徑不小于半弦，對(duì)基本不等式還可以有很多種不同的幾何解釋，或者認(rèn)為是：直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。但不管取哪一種意義，關(guān)鍵是要求學(xué)生理解其意義，在教學(xué)中可以鼓勵(lì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)各種不同的幾何解釋。我曾經(jīng)苦苦思考如何讓學(xué)生自然而然地從基本不等式的代數(shù)證明過(guò)渡到幾何解釋，但后來(lái)領(lǐng)悟到巧妙的幾何證明更多的意圖不在于此，而是要讓學(xué)生從圖中體會(huì)幾何意義，問(wèn)題的重點(diǎn)是通過(guò)幾何圖形進(jìn)一步認(rèn)識(shí)基本不等式。在此，我用幾何畫(huà)板做出兩個(gè)變化半徑及半弦的動(dòng)圓，從中體會(huì)基本不等式的模型應(yīng)用。 3.模式分析，應(yīng)用公式:
提問(wèn)：比較重要不等式與基本不等式異同點(diǎn),說(shuō)說(shuō)它們能解決什么問(wèn)題?
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例1（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100 m 的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？
（2）一段長(zhǎng)為36 m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少? 設(shè)計(jì)意圖：
在解決題目時(shí)，能靈活用不等式模型不是件容易的事，因?yàn)槭紫纫靼谆静坏仁降挠猛荆浯卧谝酝蠛瘮?shù)值域時(shí)大多是從函數(shù)圖象入手的，幾乎沒(méi)有借助其他模型的方法，所以在例題選講時(shí)要做到更透徹地理解模型。選擇恰當(dāng)?shù)睦}是數(shù)學(xué)教學(xué)基本策略之一。例1既是生活中經(jīng)常遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題也是直接反應(yīng)基本不等式本質(zhì)兩個(gè)正數(shù)和一定，積取最大值，積一定，和取最小值。 4.歸納小結(jié):
提問(wèn):你是怎樣獲得基本不等式的?它能解決什么問(wèn)題?用它怎樣解決問(wèn)題? 知識(shí)要點(diǎn)：
（1）重要不等式和基本不等式的條件及結(jié)構(gòu)特征 （2）基本不等式在幾何、代數(shù)及實(shí)際應(yīng)用三方面的意義
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思想方法技巧：數(shù)形結(jié)合、比較法、分析法整體與局部的思想。 品數(shù)學(xué)之美： 感受我們積累了知識(shí)，于枯燥之中見(jiàn)奇妙，于迷茫之中得豁朗。懂得靈活運(yùn)用公式樂(lè)在成功之中，就能領(lǐng)略到公式平靜的美。 5.布置作業(yè)：
A.研讀課文、整理筆記 B.課后練習(xí)P100 1—4
C.在基本不等式的推導(dǎo)過(guò)程中，數(shù)與形的結(jié)合開(kāi)拓了我們的研究思路，你能結(jié)合基本不等式的學(xué)習(xí)談?wù)剬?duì)數(shù)形結(jié)合的思想的認(rèn)識(shí)嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：
本環(huán)節(jié)首先考慮檢測(cè)全體學(xué)生是否都達(dá)到了“課標(biāo)”的基本要求，因此安排了作業(yè)A和B，目的是讓學(xué)生繼續(xù)熟悉，鞏固基本不等式的結(jié)構(gòu)模型及應(yīng)用條件為后繼學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。同時(shí)為了能讓不同層次的學(xué)生在得到深入發(fā)展，又安排了作業(yè)C供學(xué)有余力得學(xué)生選作。
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