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視頻標簽：方程的根與函數的零點
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高一數學新教材第三章第三節2.3《方程的根與函數的零點》云南省優課
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高一數學新教材第三章第三節2.3《方程的根與函數的零點》云南省優課
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課題：方程的根與函數的零點 3號選手
一、 教學內容分析
本節課選自《普通高中課程標準實驗教課書數學I必修本（A版）》第86-88頁的第三章第一課時3.1.1方程的根與函數的的零點。
函數與方程是中學數學的重要內容，既是初等數學的基礎，又是初等數學與高等數學的連接紐帶。在現實生活注重理論與實踐相結合的今天，函數與方程都有著十分重要的應用，再加上函數與方程還是中學數學四大數學思想之一，因此函數與方程在整個高中數學教學中占有非常重要的地位。
就本章而言，本節通過對二次函數圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數的判斷建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應的函數的情形．它既揭示了初中一元二次方程與相應的二次函數的內在聯系，也引出對函數知識的總結拓展。之后將函數零點與方程的根的關系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以應用，通過建立函數模型以及模型的求解（3.2）更全面地體現函數與方程的關系，逐步建立起函數與方程的聯系．滲透“方程與函數” 思想，起到承上啟下的作用。
總之，本節課滲透著重要的數學思想 “特殊到一般的歸納思想” “方程與函數”和“數形結合”的思想，教好本節課可以為學好中學數學打下一個良好基礎，因此教好本節是至關重要的。
二、學情分析
學生之前已經學習了函數的圖象和性質，現在基本會畫簡單函數的圖象，也會通過圖象去研究理解函數的性質，這就為學生理解函數的零點提供了幫助，初步的數形結合知識也足以讓學生直觀理解函數零點的存在性，因此從學生熟悉的二次函數的圖象入手介紹函數的零點，從認知規律上講，應該是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要內容，學生應該有較好的基礎對于它根的個數以及存在性學生比較熟悉，學生理解起來沒有多大問題。這也為我們歸納函數的零點與方程的根聯系提供了知識基礎。但是學生對其他一般性函數的圖象與性質認識不深，對于高次方程還不熟悉，我們缺乏更多類型的例子，讓學生從特殊到一般歸納出函數與方程的內在聯系，因此理解函數的零點、函數的零點與方程根的聯系應該是學生學習的難點。加之函數零點的存在性的判定方法的表示抽象難懂。因此在教學中應加強師生互動，盡多的給學生動手的機會，讓學生在實踐中體驗二者的聯系，并充分提供不同類型的二次函數和相應的一元二次方程讓學生研討，從而直觀地歸納、總結、分析出二者的聯系。
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三、教學目標 1.知識與技能
(1) 結合二次函數的圖像，掌握零點的概念，會求簡單函數的零點； (2) 理解方程的根和函數零點的關系； (3) 理解函數零點存在的判定條件；
2.過程與方法
(1)通過化歸與轉化思想的引導，培養從已有認知結構出發，尋求解決棘手問題方法的習慣；
(2) 通過數形結合思想的滲透，培養主動應用數學思想的意識；
(3) 通過習題與探究知識的相關性設置，引導深入探究得出判斷函數的零點個數和所在區間的方法；
(4)通過對函數與方程思想的不斷剖析，促進對知識靈活應用的能力。
3.情感態度與價值觀
(1)體驗化歸與轉化、數形結合、函數與方程這三大數學思想在解決數學問題時的意義與價值；
(2) 培養鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣；
(3) 以學生為主體，營造學習氛圍，產生熱愛學習數學的積極心理。
四、教學重點、難點和關鍵
重點：(1)函數零點與方程根之間的關系； (2)零點存在性定理的使用； 難點：(1)理解函數的零點就是方程的根； (2)理解函數零點存在的判定條件。
關鍵:方程的根、函數的零點以及函數圖像與x軸交點橫坐標之間的聯系；
五、教學的方法和手段
(1) 啟發式教學：啟發引導學生思考、分析、實驗、探索、歸納；
(2) 探究式教學：采用“設問——探索——歸納——定論”層層遞進的方式來突破本課的重難點；
(3) 體現“從特殊到一般” 、“方程與函數”和“數形結合” 的思想方法； (4)運用focusky以及幾何畫板等軟件進行多媒體課件演示法。
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六、學法：
(1) 觀察學習法：觀察熟悉的一元二次方程與相應的二次函數圖像得出零點定義，以及觀察函數圖像來得出函數零點的存在的判定條件。
(2) 探究歸納法：從具體的例子中歸納一般的，共性的性質定理。 (3) 自主性學習法：通過實驗畫出函數圖象、觀察圖象自得其性質. (4)反饋練習法：檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內容及其差距
七、教學過程設計
教學流程：以舊帶新，引出課題 → 探究1→歸納推廣，技能演練 →探究2 →探索研究，歸納結論→課堂小結，布置作業。
【環節一：以舊帶新，引出課題】設置問題情境，指明本課節目標
教師活動：用屏幕顯示
第三章 函數的應用
3.1.1方程的根與函數的零點
教師活動：這節課我們來學習3.1.1方程的根與函數的零點。 方程是代數里的重要組成部分，
咱們在初中已經學過解方程的例子，比如一元一次方程、一元二次方程等，下面請同學們思考一下這樣兩個人問題： 用屏幕顯示：問題1：方程2
230xx--=有實數解嗎？
問題2：方程062ln=-+xx有實數解嗎？
學生活動：回答，思考解法。
教師活動：第一個方程有實數解嗎？為什么？那第二個方程有解嗎？可以用判別式去判定它是有
還是沒有實數根嗎？也就是說，判別式這個工具的作用是有限的，只能解決一元二次方程根的問題，而不能解決一般性問題，那同學們接著思考一下，咱們一元二次方程根的問題除了用判別式，還可以用什么?
學生活動：思考作答:圖像。
教師活動：那方程與函數圖像這種聯系，能否作為一般的工具去判別方程的根呢？
這就是本節課咱們學習的內容。
板書標題：3.1.1方程的根與函數的零點
用黑板顯示：解讀教學目標： 1、掌握函數零點的概念；
2、了解函數零點與方程的根的聯系； 3、理解并會用零點存在性定理.
重點：函數零點的概念和函數零點與方程的根之間的聯系． 難點：探究發現函數零點的存在性.
【環節二：巧設疑云，輕松滲透】，滲透數學思想
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知識探究（一）：方程的根與函數的零點
教師活動：問題3：求方程2
230xx--=的實數根？并畫出函數322--=xxy的圖象。
學生活動：請一位同學上黑板計算并作圖，其他同學在導學案上作圖并觀察圖像，思考作答。 教師活動：我們來認真地對比一下。 用屏幕顯示：方程2
230xx--=的實數根
Û使函數0322
=--=xxy的實數解Û函
數
322
--=xxy的圖象與x軸的交點的橫坐標。
學生活動：得到特殊情況下方程的實數根應該是函數圖象與x軸交點的橫坐標的結論。 教師活動：問題4：上述關系對一般的一元二次方程
)0(02
>=++acbxax的根和它相應的二次
函數)0(2>++=acbxaxy圖像與x軸的橫坐標也成立嗎？
播放微視頻：在微視頻中講解問題4，調動積極性并提高課堂效率 學生活動：觀看微視頻，思考掌握
教師活動：我們就把使方程成立的實數x稱做函數的零點．
【環節三：歸納推廣，技能演練】引入零點定義，確認等價關系
教師活動：這是我們本節課的第一個知識點。
板書：一、函數零點的定義：對于函數y=f(x),使方程f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點。
活動：用屏幕顯示，請獨立完成例題并思考總結
例1. 函數y =（x-1)(x+2)(x-3)的零點是（ ） （A）(1,0)(-2,0)(3,0)； （B）1,-2,3； （C）(0,1)(0,-2)(0,3)； （D）-2,3． 學生活動：選（B），得出結論：零點不是點，是數，是交點的橫坐標 板書：零點不是點，是數，是圖像與X軸交點的橫坐標。
活動：用屏幕顯示，按小組形式討論并將正確答案寫在小黑板上
例2.下列函數的零點分別是多少？
（1）83-=xy （2）y=（x-1)(x-2)(x-3)(x-4) （3）322+-=xxy
學生活動：將學生分成8組，以小組形式進行討論并把答案寫在小黑板上，做好就舉起黑板展示 教師活動：將展示的結果進行評析，評析之后在屏幕上用幾何畫板把這三個函數的圖像進行展示，檢驗結論的正確性。
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活動：對比定義，進一步思考得出結論。
教師活動：結合函數零點的定義和我們剛才的探究過程，你認為方程的根與函數的零點究竟是什
么關系？
學生活動：思考作答。
教師活動：這是我們本節課的第二個知識點。 用屏幕顯示：方程 f(x)=0 有實數根
x
0
Û函數y=f(x)的圖象與x軸有交點為)0,(0
x。Û函數y=f(x)有零點x0
。
板書：二、方程的根與函數零點的等價關系
方程 f(x)=0 有實數根
x0
Û函數y=f(x)的圖象與x軸有交點為)0,(0
x。
Û函數y=f(x)有零點x0
。
教師活動：對于函數y=f(x)有零點，從“數”的角度理解，就是方程f(x)=0有實根，從“形”
的角度理解，就是圖象與x軸有交點。從我們剛才的探究過程中，我們知道，方程f(x)=0有實根和圖象與x軸有交點也是等價的關系。所以函數零點實際上是方程f(x)=0有實根和圖象與x軸有交點的一個統一體。
【環節四：探究新知，思形想數】探究圖象本質，數形轉化解疑
知識探究（二）：函數零點存在性定理
教師活動：用屏幕顯示
問題1：現在有兩組鏡頭（如圖所示），哪一組鏡頭能說明人的行程一定曾渡過河?
第Ⅰ組 河 流 河 流
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第Ⅱ組
學生活動：通過觀察圖像，快速得出第一組 教師活動：用屏幕顯示
問題2：第Ⅰ組情況，將河流抽象成x軸，將前后的兩個位置視為A、B兩點。請大家用連續
不斷的曲線畫出行人的可能路徑。
學生活動：獨立思考并在導學案上畫出行人的可能路徑 教師活動：借助手機軟件將學生所畫各種路徑展示在屏幕上 學生活動：認真觀察展示路徑并思考
教師活動：用屏幕顯示
問題3：若把所畫連續不斷的曲線表示為函數f（x），設A點的橫坐標為a，B點的橫坐標
為b，問：函數在區間（a，b）內一定存在零點嗎？
學生活動：通過觀察和思考得出：不一定
教師活動：我們看到，當函數圖象穿過x軸時，圖象就與x軸產生了交點，圖象穿過x軸這是一
種幾何現象，那么如何用代數形式來描述呢？用屏幕顯示路徑的函數圖象，多次播放路徑曲線穿過x軸的畫面。
學生活動：通過觀察圖象，得出函數零點的左右兩側函數值異號的結論.
教師活動：好！我們明確一下這個結論，函數y=f(x)具備什么條件時，能在區間（a,b）上存在
零點？
學生活動：得出f(a)·f(b)<0的結論。
教師活動：若f(a)·f(b)<0,函數y＝f(x)在區間(a,b)上就存在零點嗎？
教師活動：用屏幕顯示
問題4：如果函數的圖像不是連續不斷的，函數的零點一定存在嗎？
河 流
河 流
A．
B．
y x o
a b O x y
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學生活動：可從屏幕上的圖象中受到啟發，得出只有在[a,b]上連續不斷的函數，在滿足
f(a)·f(b)<0的條件時，才會存在零點的結論。
【環節五：探索研究，歸納結論】初識定理表象，深入理解實質
教師活動：其實同學們無形之中已經說出了我們數學中的一個重要定理，那就是零點存在性定理。
這是我們本節課的第三個知識點。
教師活動：用屏幕顯示
函數零點存在性定理：
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y=f(x)在區間(a,b) 內有零點．
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根． 教師活動：這個定理比較長，老師在黑板上板書，讓大家更好地體會定理的內容。
板書：三、零點存在性定理
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y=f(x)在區間(a,b) 內有零點．
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根． 學生活動：讀出定理。
教師活動：標出關鍵點：連續不斷，異號 學生活動：在導學案上標記出關鍵點
教師活動：大家注意到了么，定理中，開始時是在閉區間[a,b]上連續，結果推出時卻是在開區
間（a,b）上存在零點。你怎樣理解這種差異？
學生活動：思考作答。
教師活動：雖然我們已經得到了零點存在性定理，但同學們真的那么坦然么？結合定理的敘述形
式，你對定理的內容可有疑問？
教師活動：用屏幕顯示
例3 判斷正誤，若不正確，請使用函數圖象舉出反例
（1）已知函數y=f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區間
(a,b)內有且僅有一個零點.（ ）
（2）已知函數y=f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在區間
(a,b)內沒有零點.（ ）
（3）已知函數y=f(x)在區間[a,b]上連續，且在區間(a,b)內存在零
點，則有f(a)·f(b)<0.（ ）
教師活動：那我們就來解決一下這些問題。
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學生活動：通過屏幕上的結論判斷出正誤，并得出結論。
1.若函數y=f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則只能確定f(x)在區間(a,b)內有零點，有幾個不一定。
2.若函數y=f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在區間(a,b)內也可能有零點。
3.在零點存在性定理的條件下，如果函數再具有單調性,函數y＝f(x)在區間(a,b)上可存在唯一零點。
【環節六：應用所學，答疑解惑】把握理論實質，解決初始問題
教師活動：用屏幕顯示
例4. 已知函數f(x)的圖象是連續不斷的，有如下對應值表：
x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 23 9 –7 11 –5 –12
–26
那么函數在區間[1，6]上的零點至少有（ ）個 A.5個 B.4個 C.3個 D.2個
學生活動：通過對零點存在性的探究和理解，給出正確答案C。 教師活動：請一位同學回答并講解原因
學生活動：學生說出答案并且通過異號講解原因
教師活動：用屏幕顯示
例5：求函數62ln-+=xxy的零點個數.
學生活動：通過看表思考問題 教師活動：請兩位同學回答這個問題
學生活動：學生回答由于f(2)<0,f(3)>0，異號，所以這個函數在區間(2,3)內有零點
教師活動：非常好，哪有幾個零點呢？ 學生活動：一個或者多個
教師活動：通過零點存在性定理，咱們可以判斷一個函數在某個區間上有無零點，但具體有幾個不確定，這就是下一節咱們得接著學習的內容，現在咱們通過幾何畫板來把這個函數的圖像畫出來大家來觀察有幾個零點？
教師活動：操作幾何畫板畫出62ln-+=xxy的圖像
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學生活動：通過幾何畫板的函數圖像得出零點個數
【環節七：課堂小結，布置作業】總結基礎知識，提升解題意識
教師活動：本節課的知識點已經在黑板上呈現出來了，但最重要的，也是貫穿本節課始終，起到
靈魂作用的卻是三大數學思想，即化歸與轉化的數學思想,數形結合的數學思想,函數與方程的數學思想.數學思想才是數學的靈魂所在，也是數學的魅力所在，對我們解決問題起著絕對的指導作用。愿我們每個同學在今后的學習中體味、感悟、應用、升華！
八、板書設計
3.1.1方程的根與函數的零點
一、函數零點的定義：對于函數y=f(x),使方程f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點．（零點不是點，是數，是圖像與X軸交點的橫坐標。）
二、方程的根與函數零點的等價關系 方程 f(x)=0 有實數根x0
Û函數y=f(x)的圖象與x軸有交點為)0,(0
x。Û函數
y=f(x)有零點x0。
三、零點存在性定理
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y=f(x)在區間(a,b) 內有零點． 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根． 屏幕
教學目標：
1、掌握函數零點的概念；
2、了解函數零點與方程的根的聯系；
3、理解并會用零點存在性定理.
重點：函數零點的概念和函數零點與方程的根之間的聯系．
難點：探究發現函數零點的存在性.
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九、教學反思
本設計遵循了由淺入深、循序漸進的原則，分三步來展開這部分的內容。第一步，從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數的情形。第二步，在用二分法求方程近似解的過程中，通過函數圖象和性質研究方程的解，體現函數與方程的關系。第三步，在函數模型的應用過程中，通過建立函數模型以及模型的求解，更全面地體現函數與方程的關系逐步建立起函數與方程的聯系。本節只是函數與方程的關系建立的第一步，教學中忌面面具到，延展太深。 恰當使用信息技術：本節的教學中應當充分使用信息技術。實際上，一些內容因為涉及大數字運算、大量的數據處理、超越方程求解以及復雜的函數作圖，因此如果沒有信息技術的支持，教學是不容易展開的。因此，教學中會加強信息技術的使用力度，合理使用多媒體和計算器。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
