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所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：部編版高中新教材優(yōu)質(zhì)課比賽（省賽）5.2.1三角函數(shù)的概念第一課時(shí)_青陽(yáng)
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5.2.1 三角函數(shù)的概念第一課時(shí)_青陽(yáng)
5.2.1 三角函數(shù)的概念第一課時(shí)
（一）課時(shí)教學(xué)內(nèi)容
三角函數(shù)的概念．
（二）課時(shí)教學(xué)目標(biāo)
經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過(guò)程，借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：三角函數(shù)的定義．難點(diǎn)：對(duì)三角函數(shù)概念的抽象過(guò)程及定義的理解．
（四）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
1．創(chuàng)設(shè)情境，明確背景
引導(dǎo)語(yǔ)：我們知道，現(xiàn)實(shí)世界中存在著各種各樣的“周而復(fù)始”變化現(xiàn)象，比如鐘擺運(yùn)動(dòng)，日出日落，風(fēng)景區(qū)內(nèi)的水車，圓周運(yùn)動(dòng)，而圓周運(yùn)動(dòng)是這類現(xiàn)象的代表．從前面的知識(shí)知道函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.那么勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律該用什么函數(shù)模型刻畫呢？
如圖5.2-1，⊙O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩傩D(zhuǎn)．在把角的范圍推廣到任意角后，我們可以借助角
的大小變化刻畫點(diǎn)P的位置變化．又由于根據(jù)弧度制的定義，角的大小與⊙O的半徑無(wú)關(guān)，因此，不失一般性，我們可以先研究單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)在的任務(wù)是：
如圖5.2-1，單位圓⊙O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，建立一個(gè)函數(shù)模型，刻畫點(diǎn)P的位置變化情況．
2．分析具體事例，歸納共同特征
引導(dǎo)語(yǔ)：下面我們利用直角坐標(biāo)系來(lái)研究上述問(wèn)題．如圖5.2-2，以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，以射線OA為
軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為
，點(diǎn)P的坐標(biāo)為
．射線OA從軸的非負(fù)半軸開始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，終止位置為OP．
問(wèn)題1：若角終邊與單位圓交于點(diǎn)
，如何求點(diǎn)的坐標(biāo)呢？
追問(wèn)1：如何研究一般性問(wèn)題？
當(dāng)
時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？
當(dāng)
或
時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)又是什么？
追問(wèn)2：任意給定一個(gè)角，點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定嗎？
一般地，任意給定一個(gè)角a ，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題后，學(xué)生進(jìn)行討論，如果學(xué)生能回答出使|OP|=1，教師在此給出單位圓的定義，若學(xué)生想不到，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析表達(dá)式的比值形式，看怎樣能更簡(jiǎn)潔．
追問(wèn)：（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)要用到什么知識(shí)？（直角三角形的性質(zhì)）
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)的步驟是什么？點(diǎn)P的坐標(biāo)唯一確定嗎（畫出
的終邊OP，過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線交軸于點(diǎn)M，在
中，利用直角三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是
）.
（3）如何利用上述經(jīng)驗(yàn)求
時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)？（可以發(fā)現(xiàn)，
，而點(diǎn)P在第二象限，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)
）
（4）利用信息技術(shù)，任意畫一個(gè)角a，觀察它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能用函數(shù)的語(yǔ)言刻畫這種對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？（對(duì)于R中的任意一個(gè)角a，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)為
，無(wú)論是橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo)
，都是唯一確定的．這里有兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：
：實(shí)數(shù)a（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，
：實(shí)數(shù)a（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
根據(jù)上述分析，
和
都是從集合R到集合
的函數(shù)．）
設(shè)計(jì)意圖：以函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為定向，從特殊到一般，使學(xué)生確認(rèn)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足函數(shù)的定義，角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是圓心角a（弧度）的函數(shù)，為給出三角函數(shù)的定義做好準(zhǔn)備．
3．任意角三角函數(shù)的定義與辨析
問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們先閱讀教科書第177~178頁(yè)，再回答如下問(wèn)題：
（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系各是什么？
（2）符號(hào)
，
和
分別表示什么？在你以往的學(xué)習(xí)中有類似的引入特定符號(hào)表示一種量的經(jīng)歷嗎？
（3）任意角三角函數(shù)的定義是否符合高中函數(shù)的定義？
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立閱讀課文，再舉手回答上述問(wèn)題．
設(shè)計(jì)意圖：在問(wèn)題引導(dǎo)下，通過(guò)閱讀教科書、辨析關(guān)鍵詞等，使學(xué)生明確三角函數(shù)的概念．
4．任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系
問(wèn)題3：在初中我們學(xué)了銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．設(shè)
，把按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角的正弦記為
，并把按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的的正弦記為
．與相等嗎？對(duì)于余弦、正切也有相同的結(jié)論嗎？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生作出
，其中
，再將它放入直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，AC在軸的正半軸上，得出
的結(jié)論．
設(shè)計(jì)意圖：建立銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的聯(lián)系，使學(xué)生體會(huì)兩個(gè)定義的和諧性．
5．任意角三角函數(shù)概念的理解
例1利用三角函數(shù)的定義求
的正弦、余弦和正切值．
師生活動(dòng)：先由學(xué)生發(fā)言，再總結(jié)出從定義出發(fā)求三角函數(shù)值的基本步驟，并得出答案．
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用，明確用定義求三角函數(shù)值的基本步驟，進(jìn)一步理解定義的內(nèi)涵．
解答：在直角坐標(biāo)系中，作
．易知
的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為
．
所以， 
，
，
.
例2設(shè)a 是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)為，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為
．求證：
, 
, 
．
師生活動(dòng)：給出問(wèn)題后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考如下問(wèn)題，再讓學(xué)生給出證明：
（1）你能根據(jù)三角函數(shù)的定義作圖表示出，嗎？圖5.2-4
（2）在你所作出的圖形中，
各表示什么，你能找到它們與任意角的三角函數(shù)的關(guān)系嗎？
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)，使學(xué)生找到
，
，并利用它們的相似關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到證明．
追問(wèn)：例2實(shí)際上給出了任意角三角函數(shù)的另外一種定義，而且這種定義與已有的定義是等價(jià)的．你能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述一下這種定義嗎？
師生活動(dòng)：可以由幾個(gè)學(xué)生分別給出定義的表述，在交流的基礎(chǔ)上得出準(zhǔn)確的定義．
設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解．
解答：
分析：觀察右圖，由∽，根據(jù)三角函數(shù)的定義可以得到證明．
證明：如圖，設(shè)角 a 的終邊與單位圓交于點(diǎn)
.分別過(guò)點(diǎn)，
作軸的垂線
，
，垂足分別為
，
，
則 
, 
，∽，
于是
，即
.
因?yàn)?em>y0與y同號(hào)，所以
，即.
同理可得, .
6．目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)（一）
練習(xí)1：
（1）利用三角函數(shù)定義，求
，
的三個(gè)三角函數(shù)值．
（2）說(shuō)出幾個(gè)使
的的值．
設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)定義的理解情況．
練習(xí)2：
（3）已知點(diǎn)P在半徑為2的圓上按順時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，角速度為1rad/s．求2 s時(shí)點(diǎn)P所在的位置．
設(shè)計(jì)意圖：三角函數(shù)是刻畫勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)練習(xí)使學(xué)生從另一個(gè)角度理解三角函數(shù)的定義．
練習(xí)3：
（4）利用三角函數(shù)定義，求
的三個(gè)三角函數(shù)值．
（5）已知角
的終邊過(guò)點(diǎn)
，求角的三個(gè)三角函數(shù)值．
設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解情況．
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