視頻簡介：
視頻標簽：湖北好課堂,等差數列
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課教學觀摩《等差數列》襄陽
教學設計、課堂實錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課教學觀摩《等差數列》襄陽
必修5—2.2等差數列（一）教學設計
一：教材分析
本節課是高中數學人教A版第二章《數列》第二節等差數列第一課時。本節課是第二章《數列》的基礎，為以后學習等差數列的性質，等差數列的求和以及等比數列奠定基礎，同時有助于解決實際生活中的有關問題。等差數列對后續內容的學習，無論在知識上還是方法上，都有積極的借鑒意義。
二：學生分析
上節課學生已經學習了數列的概念及表示方法，會根據數列的前幾項歸納數列的一個通項公式，了解了遞推關系對數列通項的作用。
同時高二學生已經具有一定的理性分析能力和概括能力，但仍然需要具體形象的生活實例來理解抽象的邏輯關系。
三：三維目標
1、知識與技能
（1）理解等差數列定義，掌握等差數列的通項公式；
（2）正確認識使用等差數列的各種表示法，能靈活運用通項公式解決等差數列的各種問題。
（3）通過概念的引入和通項公式的推導，培養學生的分析探索能力；通過分組討論，合作學習，培養學生的團隊協作能力以及語言表達能力。
2、過程與方法
（1）通過觀察分析發現等過程，探索等差數列的特點及其表示方法；
（2）在等差數列通項公式的推導過程中，體會不完全歸納法，迭代法和迭加法的數學思想方法。
3、情感態度與價值觀
（1）通過在探索等差數列的表示方法中感受數學的簡潔美；
（2）通過對等差數列的研究，培養學生主動探索、勇于發現的求知精神；養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣；
（3）通過探索獲得成功，增強了學生學習的自信心和意志力，特別是后進生也有了在小組中發言的機會，參與到討論中來，培養了他們學習的積極性。
四：教學重點、難點
1.教學重點
（1）理解等差數列的定義，觀察分析等差數列的性質特點；
（2）會用公式解決一些簡單的問題。
2.教學難點
（1）等差數列通項公式的推導；
（2）在推導過程中體現出來的三種數學思想方法。
五：教學過程
（一）等差數列的定義
1.創設情境,提出問題
【情境】用PPT展示三個生活中的例子
(1)中國共產黨全國代表大會最近幾次分別在下列時間召開，
2002，2007，2012，2017
(2)一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，水庫的水位組成數列（單位：m）
18，15.5，13，10.5，8，5.5
(3)黃金周期間，每天所賣水果分別為（單位：kg）
200，200，200，200，200，200，200
【設計意圖】通過生活中的實例，讓學生體會數列在生活中應用的廣泛，引發學生的興趣，同時三個問題蘊含了本節課要講的等差數列。
2.觀察歸納，形成定義
【思考1】觀察這些數列有什么共同特點？
【師生活動】引導學生進行分組討論。學生會從不同方面分析三個數列的共同點：前一項減去后一項是定值，后一項減去前一項是定值，相鄰兩項差的絕對值也是一個定值。教師指出方向：用后一項減去前一項的差為定值。
【思考2】通過對上述數據的觀察，你認為該如何定義等差數列？
【師生活動】學生結合上述問題的分析，根據自己的理解給出定義。教師給出嚴格的定義及其相關概念：
定義：一般地，如果一個數列 ,從第2項起每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差。公差通常用字母 d 表示。
此時教師應強調定義中三處關鍵詞：第2項起，每一項與它的前一項的差，同一個常數，從而幫助學生加深對概念的理解。
然后教師介紹其數學表達式： （d為常數）
或者 （d為常數）
3.推進概念，介紹等差中項
【思考3】在如下的兩個數之間，插入一個什么數后這三個數就會成為一個等差數列：
(1）3,( ),7 （2） 4,( ),-2 (3) a,( ),b
【師生活動】由學生填空，引導學生了解由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，這時，A叫做a與b的等差中項。并且 。
4.舉一反三，理解定義
【思考4】判斷下列數列是否為等差數列，如果是，指出公差,如果不是，說明原因。
（1）1,3,5,7,9 （2）-1,-4,-7,-10,-13
（3）3,7,11,15,19 （4）0,0,1,2,3
（5）-3,-2,-1,0,1 （6）5,5,5,5,5,5，…
【師生活動】由學生做出判斷，教師給出標準答案。同時指出（6）為常數列，由（1）（2）（6）可知：等差數列的公差可以是正數，可以是負數，還可以是0。
（二）等差數列通項公式的推導
【思考5】在等差數列 中,已知 ，
那么1. （ ），2. （ ），3. （ ），4. （ ）。
【師生活動】學生能夠輕松回答出前三個問題，但對于第四個很難回答，教師順勢提出要是有通項公式就好了，那么如何根據首項和公差推導出通項公式呢？
【思考6】 為等差數列,首項為 ,公差為d,求通項公式 。
【師生活動】教師提醒學生利用等差數列定義去推導，讓學生分組討論，各抒己見。討論結束后，三個小組的代表說出了三種方法，并且分別進行講解：
1.不完全歸納法推導等差數列的通項公式
歸納得
【師生活動】學生寫出推導過程，并進行講解，教師進行點評，表揚學生思維的敏捷。并說明這種方法叫做不完全歸納法，是一種猜想，嚴格的證明要用到以后學習的數學歸納法，這里先承認它是正確的。
2.迭加法推導等差數列的通項公式
將所有等式相加得
3.迭代法推導等差數列的通項公式
所以
【師生活動】三個同學分別用不同的方法，推導出等差數列的通項公式，并加以講解。回答完后，全班學生對三位同學的優異表現爆以熱烈的掌聲。教師對每一位同學的方法做簡單的點評。通過大家共同努力，最后得到等差數列通項公式：已知等差數列是的首項為 ，公差為d,則等差數列的通項公式為： (d是常數)。
（三）等差數列的應用
例1 (1) 求等差數列8，5，2，…，的第20項。
(2) -401是不是等差數列 -5，-9，-13，…，的項？
【師生活動】本題由學生獨立完成，然后讓學生回答，學生對于（1）可以直接看出 ，通過等差數列的通項公式 ，得到 .（2）思路與（1）接近。學生通過計算，體會等差數列在生活中的應用。然后教師指出在等差數列的通項公式中有4個量，分別為 ，知道其中三個就可以求出第4個。
例2：在等差數列 中,
（1）已知 ，求首項 與公差d。
（2）已知 ，求 。
【師生活動】首先教師進行分析：本題不能直接看出首項和公差，提醒學生必須進行轉化。例2由學生獨立完成，然后讓學生回答，教師進行點評，對學生進行鼓勵表揚。并說明本題需要通過等差數列通項公式，將條件轉化為首項和公差，利用方程組求解。
例3：某公司2015年經銷一款數碼相機，獲利200萬元，從2016年開始，由于市場競爭激烈，預計其利潤每年比上年減少20萬元，按照這一規律，如果公司不開發新產品，也不調整經營策略，從哪一年起，該公司經銷這一產品將虧損？
【師生活動】例3為一道實際應用問題，提醒學生從題目中提取有效信息，利用本節課所學知識進行求解。教師進行巡視，發現學生基本能夠算出從第12年開始虧損，但具體在哪一年出現了分歧，2026年和2027均占相當大的比例。教師進行點評，并加以分析，讓學生徹底弄明白。
（四）當堂檢測
1.在數列 中， 則 ( )。
2.已知某等差數列的首項為70，公差為-9，則這個數列中絕對值最小的項是第( )項。
(五)課堂小結
【思考7】通過本節課，學到了哪些內容？
【師生活動】教師引導學生一起回答，復習鞏固本節課內容。
兩個定義：等差數列的定義： （d為常數）
等差中項的定義： a，A，b成等差數列,A稱為a和b
的等差中項
一個公式：等差數列的通項公式
三個方法：不完全歸納法，迭加法以及迭代法
一個應用：能用通項公式解決一些簡單的問題
(六)布置作業
必做題：課本39頁 1，2，3，4。
選做題：
1.已知 是等差數列，則 ( )。
2.一個等差數列的首項為2，從第10項起各項都比5大，則這個數列公差的取值范圍是( )。
六：板書設計
等差數列
1、 定義：第二項起，后一項與前一項的差，同一常數
( ， 為常數)
或 ( 為常數)
2、等差中項，a，A，b成等差數列
3、通項公式：
學生板出三種等差數列通項公式的推導方法
七：教學反思
優點：
1．本節課從生活中的三個數列模型導入，有助于發揮學生學習的主動性，增強學生學習數列的興趣．在探索的過程中，學生通過分析、觀察，歸納出等差數列定義，然后由定義導出通項公式，強化了由體到抽象，由特殊到一般的思維過程，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力。
2．本節課設計了兩個分組討論環節。分組討論讓課堂氣氛變得更加活躍，學生由被動傾聽者變為積極參加者，增強了學生的團隊合作意識，培養學生的語言表達能力，也有助于幫助教師了解學生的思維狀態，調整自身定位，從而提高教師教學水平。
3．本課各環節的設計環環相扣、簡潔明了、重點突出，引導分析細致、到位。學生在經歷過程中，加深了對概念的理解和鞏固．
4．本節課以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充展開教學，總結科學合理的知識體系，形成師生之間的良性互動。
5.能夠對學生的表現給予及時的評價，多從鼓勵表揚的角度出發，提高學生學習的興趣，樹立學生學習的信心。
不足：
1. 教師自身素質，專業知識以及應變能力都要加強，這樣駕馭課堂更加自信從容，對于一些學生的新奇的想法，才能更加靈活面對。
2. 上課前沒有完全吃透教材，部分教學環節設計不夠合理，教學環節過度不夠自然，“備教材”不夠深入。
3. 教師對學生的可能想法和見解考慮不周，“備學生”有所欠缺。
4. 由于上課時間的限制，學生分組討論不夠充分，鼓勵學生下課后繼續對本節課疑惑問題進行討論。
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