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視頻標簽：多邊形的外角和
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版八年級下冊6.4多邊形的外角和_重慶市 - 南岸區
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北師大版八年級下冊6.4 多邊形的外角和_重慶市 - 南岸區
北師大2011課標版 八年級下冊 第六章《平行四邊形》第4節
一、學情分析
1、學生的認知基礎
在前一課時“多邊形的內角和”的學習中，學生已經掌握了多邊形的內角和公式，且在探究內角和公式的過程中進一步體會到轉化、類比、從特殊到一般等數學思想的應用，所以具備了進一步本節內容的知識和方法基礎.
2、活動經驗基礎 隨著幾何知識的深入學習，學生已經基本具備了幾何問題解決的合情推理及演繹推理能力.加上八年級的學生“善于傾聽、樂于分享、勇于挑戰、敢于質疑”的性質特征．因此對于學習本節內容的技能條件已經成熟，學生參加探索活動的熱情已經具備，所以嘗試在本課中融入“獨學、對學、群學”三大研學方式助力活動探索.
二、教材分析
本節內容是八年級上冊多邊形相關知識的延展和升華，并且在探索學習過程中又與多邊形內角和、三角形外角定理等知識緊密聯系、一脈相承.同時，相較七年級的幾何問題探究初探，本章在問題的探究上更講究環環相扣，層層遞進；滲透類比、化歸、從特殊到一般等重要的數學思想方法.在教材的編寫意圖上，強調“觀察--發現--猜想--證明”嚴謹的論證過程，回歸數（360°）與形（任意多邊形）的完美結合.
三、教學目標（課標要求）
1.經歷對實際情境問題的抽象，建立模型思想，了解多邊形的外角、外角和概念. 2.經歷探索多邊形外角和公式的過程（觀察--發現--猜想--證明），進一步發展合情推理能力及演繹推理能力，體會從特殊到一般的數學思想方法.
3.能運用外角和公式解決一些實際問題，感受數學的價值與魅力.
4.鼓勵學生傾聽、分享、質疑、挑戰，提升數學表達能力及與人合作交流能力. 核心素養：模型思想、幾何直觀、推理能力、應用意識
四、目標敘寫
1.通過探究1，經歷對實際情境問題的抽象，建立模型思想，認識多邊形的外角、外角和，體會學習多邊形的外角和的必要性；
2.通過探究2，經歷觀察--發現--猜想--證明，獲得多邊形的外角和公式，體會類比、化歸、從特殊到一般的數學思想方法； 3.通過環節3，“例題”的學習，能運用外角和公式解決問題，并體會外角和與內角和的內在關聯.
五、學習重難點
重點：多邊形外角和公式的探索及應用. 難點：靈活應用多邊形外角和解決問題.
六、學習方法：自主、合作、探究（獨學、對學、群學）； 七、教學輔助：PPT、幾何畫板、思維導圖
北師大2011課標版 八年級下冊 第六章《平行四邊形》第4節
北師大2011課標版 八年級下冊 第六章《平行四邊形》第4節
54
3
2
1
A
BC
D
E
八、教學過程
環節一感受新知：問題元素-側重數學思考
［問題情境］新聞鏈接：春光無限好，學子齊健身！
南山之上，涂山湖畔，眾多學子正跑步健身！其中，小明同學 選擇了沿一個五邊形廣場周圍的小路，按逆時針方向跑步，滿滿的 朝氣！引發數學愛好者提問：
（1）小明每跑完一圈，跑步方向改變的角是哪幾個？它們的和是多少？ （2）如果是六邊形、七邊形廣場呢？（問題引申） 設計意圖：
創設具體的問題情境，促使學生進行學科思考（觀察、直觀猜想）并充分表達.同時，讓生活與數學建立關聯，進而體會學習本課課題的必要性所在.
本情境改編自教材的情境引入，但增加了新聞這一載體，一方面增加學生的主人翁意識，另一方面激發學生思考的興趣.同時，在“跑步健身”中學習，滲透德育，倡導正能量.
環節二探究新知：探究元素-側重方法結論
探究1：多邊形外角、外角和概念
活動：（1）嘗試將上述情景抽象成數學模型；
（2）問題1：圖中的1叫什么，12345呢？
設計意圖：
①引導學生將實際問題情境抽象為數學模型，運用模型思想分析并解決問題. ②學生可憑經驗識別出1為外角，再類比已經習得的三角形的外角概念（《八年級上 數學第七章》）得到多邊形的外角概念，再回歸教材，驗證自己的猜想.同時，借助“形”直觀認知一個項點處有2個外角，互為對頂角且外角與內角的互為鄰補角關系.
③多邊形外角和概念的學習，則是通過抓關鍵字“每個頂點處取一個外角”深化，并認識到12345則為五邊形的外角和.進而自然揭示本課最核心的問題則是探索多邊形的外角和.
探究2：多邊形的外角和公式
問題2：你將如何探究多邊形的外角和？
預設：生1：類比多邊形的內角和探究（從特殊到一般）：
三角形四邊形五邊形n邊形
北師大2011課標版 八年級下冊 第六章《平行四邊形》第4節
1
3
2B
C
A
生2：利用度量、拼角等實驗探究法研究； 生3：通過特殊的正多邊形研究„„
問題3：你對多邊形的外角和有何猜想？為什么？ 預設：生1：外角和為某個具體的角度；
生2：外角和會隨著邊數的增加，而進行一定的變化（類似于內角和）.
設計意圖：
問題2旨在引導學生構建“問題探究”的框架思維，利用已有的學習經驗為未知問題的探究鋪路，化陌生為熟悉.
問題3則是鼓勵學生對問題進行猜想，以激發后續的探究，更有目的性和針對性！
探究2.1三角形的外角和
活動1：學生借助任務單對三角形的外角和進行探究 ①獨立思考：形成結論；
②組內交流：探討證明方法的多樣性和科學性； ③展示質疑：全班分享、互動交流. 證明方法預設： （1）合情推理：度量、拼角等實驗探究法；
（2）演繹推理：利用多邊形內角和公式計算；利用三角形的外角定理；利用過一點作平行線轉移 角（構造周角）
活動2：老師利用幾何畫板動態展示、直觀呈現三角形的外角和為360°.
探究2.2 四邊形的外角和
活動3：①學生運用上述方法逐一探究四邊形的外角和；
②學生問答：經歷獨立探究后，先由學生表達對某種證明方法
的困惑.如四邊形能否利用外角定理進行證明，如何利用作平 行線進行證明？再由會的學生展示證明思路.
探究2.3 五邊形的外角和
活動4：學生用最喜歡的方式探究
探究2.4 n邊形的外角和
學生主動生成結論： n邊形的外角和為360°.
設計意圖：
多邊形外角和公式的探究是本課的核心之所在. 此環節的探究分縱向和橫向兩條線走；縱向上，從三角形到n邊形，遵循了從特殊到一般的探究原則，在研究主體變化過程中，學生體會到方法的遷移及外角和恒定的數字規律.橫向上，對于每一個圖形外角和的研究，都不拘泥于單一的方法，而是在簡單圖形中追求方法的全面（代數方法和幾何方法，即數形結合），在復雜圖形中追求方法的科學（代數法）.隨著多邊形邊數的增加，面臨著形的復雜化，應引導學生由形象思維過渡到邏輯思維，運用算理解決問題.
環節三應用新知：應用元素-側重如何思考
例1：（1）一個多邊形的內角和等于它的外角和的4倍，它是幾邊形？ （2）一個正多邊形的一個內角為144°，則這個正多邊形的內角和為.
北師大2011課標版 八年級下冊 第六章《平行四邊形》第4節
例2：如圖，小明從點O出發，前進m5后向右轉24°，再前進m5后又向右轉24°，這樣一直走下去，直到他第一次回到出發點O為止，他所走的路徑構成了一個多邊形.
（1）小明一共走了米；
（2）這個多邊形的內角和是度.
設計意圖：
例1（1）乃教材156頁的例題，旨在利用多邊形內角和與外角和的數量關系建立方程解決問題； 例1（2）是“老題新做”.在學習完前一課時多邊形的內角和后就遇到過此類問題，但學完外角和后，此題既可從內角和出發，又可從外角和出發，且后者更為簡單.通過此題，學生可以提煉出表示正多邊形的每個內角的方法：①
nn180)2(；②n
360180
例2則是一個利用外角和解決的實際問題，讓學生體會到數學來源于生活，更服務于生活的理念；
同時亦能洞悉復雜生活中不變的數學原理.
環節四梳理總結：整理元素-側重目標錯點
由學生從知識、方法、解題策略等角度自主梳理本課的收獲，談困惑； 教師利用思維導圖展示本課的核心知識和方法.
設計意圖：
梳理是對一堂課的回顧和反思，借助這一環節，能引導學生完善知識體系，對探究問題的思想方法有更深刻的認同.而思維導圖的展示更能看到本課的框架之所在.
文化鏈接：內角和&外角和，誰更強大？！
欣賞來自張景中院士《數學家的眼光》的第一篇章“三角形內角和”. 在本文中，數學家陳省身否定了“三角形內角和為180°”這一看問題的 方法，而是倡導應把眼光放在外角和為360°。因為后者用一個與n無關 的常數代替了與n有關的公式，找到了更一般的規律！而通過螞蟻繞圈的 方法，直觀解釋了“多邊形的外角和為360°”這一普遍規律，隨即發現 360這一數據同樣適用于凸的閉曲線及凹多邊形中！
同時向學生推薦課本157頁習題數學理解第4題，在圖形的放縮變化 中感知360°的呈現.
北師大2011課標版 八年級下冊 第六章《平行四邊形》第4節
321F
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BCD
設計意圖：
借數學家陳省身的眼光肯定了“多邊形的外角和”學習的深層次意義，也深刻揭示了“數學至簡，大道至簡”的文化內涵.同時鼓勵學生致力于事物本質規律的探究，方能洞悉“萬變不離其宗”的真諦.
環節五達標檢測：評價元素-側重達標人數
1.若一個多邊形的內角和是它的外角和的3倍，則這個多邊形的邊數是.
2.若一個正多邊形的一個內角等于150°，則這個正多邊形的內角和為.
3.如圖，在五邊形ABCDE中， 321，，為其中的三個外角，且 215321；BA、DE的延長線交于F點，則F的度數 為.
設計意圖： 鞏固在例題中所收獲的知識及方法：1、2題和例1兩個小題恰好一一對應，可借此評價學生一節課的聽課效果和過手情況；3題重點考察學生在形上對外角及外角和的直觀識別及應用.
環節六 拓展應用
新聞鏈接：跑步跑出“360”，點點滴滴皆學問！
據悉，學子們以“小明的五邊形跑步”為載體，經歷觀察--發現--猜想--驗證，進而得到多邊形外角和恒為360°的事實。大家對此紛紛點贊！ 不過，數學愛好者又提問啦！
小明跑步，先沿直線前進10米，然后左轉 )1800(被稱為一次轉身.若五次轉身后，小明恰好回到出發點，則角為多少度？
設計意圖：
以“跑步情境”貫穿首尾，前后呼應！讓學生充分感受到數學源于生活，歸于生活的價值所在.而最后的思考題既是對外角和的應用，更是對360°的深刻解讀.只有具備了數學家式的眼光，方能洞悉其中的分類討論思想！
課后作業布置：評價元素-側重鞏固提高 必做題：教材157頁習題6.8：1-4題 選做題：習題6.8：第5題
北師大2011課標版 八年級下冊 第六章《平行四邊形》第4節
九、評價與反思
從開始構思到細細思量完成教學設計，再到應用于教學實踐，是一個完整而深刻的學習過程。三點感悟，如下：
1.授生以“魚”，不如授生以“漁” 在一次和科代表的對話中，我問到，“你知道多邊形的外角和是多少嗎？”他很驕傲地回答：“當然知道了，360°！”“那你知道怎么來的嗎？”我追問道。他卻垂下了頭，眼睛里也失去了開始的光彩。這就是我們的教育現狀，學生關注的僅僅是結果性的知識，而對過程性的知識不予理睬。長此以往，這必將使得我們喪失探究問題的習慣與能力。所以，在本課中，我想要堅持引領學生去發現、去猜想、去碰撞，直至找尋到多邊形的外角和，而事實證明我們成功了。當然也有遺憾的地方：為了構建清晰的框架，問題的設置貫穿整堂課，而一堂課教學時間有限，所以在給學生留答的時間上稍顯欠缺。
2.既入寶山，豈愿空手還
以前總覺得外角和恒為360°就是一個簡單的事實。但經歷了思考后，便會發現每一處的探究都可以有廣度上的發散。如越是在簡單的圖形中，越能發現：作平行線、利用外角定理亦能得到360°，這恰恰就是論證問題的起步：發現！而尋著這條線走下去，會真正領略到360°這一恒定不變的數字規律后蘊藏著數與形的完美融合。數來自于嚴謹的運算，而形來自于幾何直觀上的認知，兩者結合方能識之深刻。
3.德育、文化雙線領航，望能走向遠方
為師者總愛說數學有趣又有用，而學生看到更多接觸最多的卻是題。所以本課中設計了“小明跑步”這一問題情境并貫穿始終，讓學生在跑步中找尋到“多邊形外角和為360°”這一數學知識，同時又應用之解決跑步中的系列問題，展示了數學源于生活用于生活的價值與魅力。其次借“名人眼中的外角和”這一文化讓學生看到更深刻的內涵，彰顯數學的真理性及普遍性，從而有了思考上的啟迪。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
