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視頻標簽：正多邊形的有關計算
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版初中數學九年級上冊《正多邊形的有關計算》山西省 - 忻州
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《正多邊形的有關計算》數學教案
教學目標：
1.會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關的計算問題轉化為解直角三角形的問題； 2.鞏固學生解直角三角形的能力，培養學生正確迅速的運算能力；
3.通過正多邊形有關計算公式的推導，激發學生探索和創新． 教學重點:
把正多邊形的有關計算問題轉化為解直角三角形的問題． 教學難點:
正確地將正多邊形的有關計算問題轉化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算． 教學活動設計: （一）復習引入 正多邊形的有關概念 1. 中心 外接圓的圓心 2. 半徑 外接圓的半徑 3. 邊心距 內切圓的半徑 4.中心角 3600
/n
（二）創設情境、觀察、分析、歸納結論 1、情境一：給出圖形．
問題1：正n邊形內角的規律、外角與中心角的關系？ 觀察：在圖形中，應用多邊形內角和定理和正多邊形的每個內角都相等得出新結論．
應用正多邊形外角和等于3600
得出外角與中心角的關系 教師引導學生自主觀察，學生回答．
歸納1：正n邊形的每個內角都等于 （n-2）1800
/n 歸納2：正多邊形的外角等于中心角 2、情境二：給出圖形．
問題2：每個圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規律？
教師引導學生觀察，學生回答． 觀察：三角形的形狀，三角形的個數．
歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形．
3、情境三：給出圖形．
問題3：作每個正多邊形的邊心距，又有什么規律？ 觀察:三角形的形狀，三角形的個數
歸納：這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了2n個直角三角形，這些直角三角形也是全等的．
理解：實質是把正多邊形的問題向直角三角形轉化． 由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距
rn，另一條直角邊是正n邊
形邊長an的一半，一個銳角是正n邊形中心角 的一半 歸納公式：(a
n/2)2
+r
n2=R
2
分析：只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定了 比如：1.圓的半徑或邊數；2.圓的半徑和邊心距；3.邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素
（三）實際應用
1.例1：正n邊形中心角150
，求n的值以及正n邊形內角度數
解：n=3600
/15=24 內角度數：1800
-150
=165
0
2.例2：已知正三角形ABC的半徑為R，求這個正三角形的邊長
a3
、邊心距r3
、周長P3
和面積S3
．
教師引導學生分析解題思路： n=3 中心角 =3600
/3=120
0
教師板演解題過程，并關注學生解直角三角形的能力． 解：作半徑OA、OB；作OH⊥AB，垂足為H，得Rt△OHB． ∵∠HOB=600
， ∴r3=Rcos60°=1/2R ∴a3 =2·Rsin60°=√3R， ∴P3=3·a3=3√3R
S3=3S AOB=3·1/2·a3·r3=1/2·3a3·r3=1/2P3r3 =1/2·3√3·1/2R=3√3/4·R2
歸納：正n邊形的周長Pn=nan
歸納：正n邊形的面積Sn=1/2 Pn· rn． 3.研究：（應用例1的方法進一步研究）
解決問題：已知圓的半徑為R，用半徑R和邊數表示它的內接正方形、內接正六邊形的邊長、邊心距、周長及面積．
（學生以小組進行研究，并初步歸納） 教師提示：中心角的一半：180°/n 邊 數 內 角 外角/中心角 半 徑
邊心 距
邊 長 周 長
面 積
3 60° 120° R 1/2·R √3R
3√3R 3√3/4·R2
4 90° 90° R √2/2·R √2R 4√2R 2R2
6 120° 60°
R √3/2·R R
6R
3√3/2·R2
n
180°（n-2）/2 3600
/n R cos180°/n·R
2sin180°/n·R
2n·sin180°/n·R
n·sin180°/n·cos180°/n·R2
歸納：正n邊形的邊數越大，其內角、邊心距、周長、面積越大，其外角及邊長越小
習題練習
1. 已知圓的邊長是4，則該圓的內接正方形的半徑是多少？ 2. 已知元的半徑為6，則它的內接正三角形、正四邊形、正六邊形的邊長分別是多少？邊心距的比是多少？
（四）課堂小結
知識：正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問題． 思想：轉化思想．
能力：解直角三角形的能力、計算能力；觀察、分析、研究、歸納能力． （五）作業
歸納并掌握正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關計算公式．完成練習題1、2、3題。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
