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視頻標簽：矩形中的折疊問題
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版數學九年級上冊微專題復習《矩形中的折疊問題》福建省 - 三明
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北師大版數學九年級上冊微專題復習
《矩形中的折疊問題》教學設計
一．教學分析 （一）學情分析
學生已經學習過全等三角形、相似三角形、軸對稱以及矩形等有關知識，同時在探究角平分線等腰三角形等幾何圖形性質的過程中已經有了折紙的經驗，積累了較為豐富的數學活動經驗，空間觀念逐步增強，直觀與推理能力都得到了一定的培養，為本節課的學習打下了基礎。在思維能力方面初步具備了思維的完備性、深刻性、批判性等思維品質，但尚待提高，其分析、抽象、概括、反思等能力比較薄弱。九年級學生在以前的數學學習中已經經歷了很多合作學習過程，能夠主動參與，勤于動手，樂于探究，學生間相互評價、相互提問的積極性高。因此，參與本節課矩形中的折疊問題的探究活動的熱情應該是比較高的。
（二）教學任務分析
在初中數學中，矩形的折疊是我們常見的一種數學問題，在中考中會以選擇、填空、解答題的形式出現.這類問題的解決是有規律可循的，由于矩形的折疊只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀及大小，因而在矩形的折疊變換中，保持了許多圖形定量的不變性，如圖形中線段的長短不變，圖形中角的大小不變等，這些圖形定量的不變性，在初中幾何全等型問題的解決中，具有很重要的運用價值。 矩形折疊問題中蘊含著重要的軸對稱知識，因此，解決這類問題的關鍵是弄清折痕(即對稱軸)及其兩側的全等圖形，抓住折疊中不變的量，然后利用勾股定理，相似三角形的有關知識，軸對稱的性質等幾何知識進行推理、計算。
根據學生現有的知識水平，依據課程標準的要求，我確定了以下的教學目標。 （三）教學目標：
知識與技能：靈活運用矩形的性質、軸對稱性質、直角三角形、相似三角 形等知識解決矩形中的折疊問題。
過程與方法：經歷對矩形折疊問題的探究過程，掌握探究問題的方法，體會 利用方程思想、轉化思想解決折疊問題的一般方法。
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情感態度價值觀：通過綜合應用數學知識解決矩形折疊問題，體會知識間的 聯系，感受數學學習的樂趣，獲得解決問題的成功體驗。
（四）教學重難點
教學重點：解決矩形中的折疊問題。
教學難點：綜合運用知識挖掘矩形折疊問題中角度和線段的數量關系。 二．教學策略分析：
本節課教學采用探究式和啟發式的教學法，遵循因材施教的原則，堅持以學生為主體，充分發揮學生的主觀能動性。通過折紙活動的設置，讓學生經歷觀察、猜想、驗證、歸納、拓展的認知過程，在動手操作、主動探索、合作交流中培養學生勇于探索、勤于思考的數學思維品質；通過例題的變式訓練、拓展延伸，提高學生在復雜圖形中分解基本圖形的能力，培養學生的問題意識和反思歸納的習慣，感悟并體驗方程思想、轉化思想、數形結合思想等數學思想方法。 三．教學過程： （一）探究本質 動手操作：折一折
問題一：你能在圖1的矩形紙片中折出一個正方形嗎？說說你的理由 問題二：如圖2，折疊矩形的一個角…… 你能想到什么？
圖1 圖2
問題三：如圖3，將矩形紙片ABCD沿直線BE對折，點C的對應點C′落在
邊AD上，如何用尺規確定C’點的位置？
問題四：如圖4，點E為邊BC上一動點，將矩形紙片ABCD沿直線AE對折， 點B的對應點為點B′，在折的過程中你能確定出B′點與C點距離最短時B′的位置嗎？
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圖3 圖4 .
【設計意圖】經歷折疊——觀察——驗證——歸納的認知過程，讓學生主動參與，樂于探究， 激發學習動機和好奇心。同時讓學生在親身動手體驗中透過現象看本質：折疊的實質就是軸對稱變換，學生通過動手實踐自主去探索、認識和掌握圖形的性質，不僅積累了數學活動的經驗，而且還發展了他們的空間觀念。
（二）應用舉例
例1：如圖5，將矩形ABCD沿AE折疊后，使點B恰好落在對角線AC上． (1) 若∠B′EC=60°,求∠BAE； (2)若AB=6，BC=8，求BE的長。
【設計意圖】一題多解，調動了學生的積極性，拓展了學生的思維.通過題后的反思，再一次強調折疊得全等，全等得邊等、角等，抓住不變量，弄清折疊的本質，折疊過程中的變量和不變量。
圖5 圖6 圖7 變式一: 如圖6，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，把矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點B落在點B′處，B′C與AD相交于點F.
（1）求證：△FAC是等腰三角形； （2）求△FAC的面積。
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拓展延伸：過點B′做B′P平行于AB,連接BP,題目其他條件不變，你觀察到了哪些新生成的圖形？請你提出一個數學問題并與同伴交流。 【設計意圖】培養學生在復雜圖形中分解基本圖形的能力，經歷直觀判斷和推理論證的過程，培養學生的幾何直觀和嚴謹的邏輯推理能力；在拓展探究中引導學生自己去發現問題，提出問題，培養學生的問題意識和提出問題的能力。
變式二：如圖7，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是BC邊上的中點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處，求B′C的長。
【設計意圖】此題需通過添加輔助線構造基本圖形從而使問題得以解決，讓學生通過對此題的探究實現思維的拓展和提升。在展示環節中鼓勵學生勇于展示，善于展示，讓學生體驗成功，激發學生的探究精神和幾何學習的興趣，可以發現折疊問題的解決，大都是以軸對稱圖形的性質作為切入點，而數形變化，是解決這類問題的突破口。有了“折”就有了“形”----軸對稱圖形、全等形、新生成的幾何基本圖形；有了“折”就有了“數”----線段之間、角與角之間的數量關系。“折”就為“數”與“形”之間的轉化搭起了橋梁，進一步揭示了知識與圖形的內在聯系。
（三）總結提升
通過本節課的學習，你有哪些收獲？與同伴交流
【設計意圖】以獨立梳理和分享交流的形式進行，理清知識脈絡，讓學生明確本次探究獲得的思路，同時讓學生體會本次探究中獲得的經驗和方法，從而體會探究中所蘊含的數學思想，培養學生語言表達及概括能力。 （四）、布置作業
1、一課一得：繪制思維導圖（梳理本節課的所感所悟所思）
2、如圖①，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點E、F分別在邊AB、CD上)，使點B落在AD邊上的點 M處，點C落在點N處，MN與CD交于點P， 連接EP．
(1)如圖②，若M為AD邊的中點， ①,△AEM的周長=_____cm； ②求證：EP=AE+DP；
(2)隨著落點M在AD邊上取遍所有的位置(點M不與A、D重合)，△PDM的周
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長是否發生變化?請說明理由．
【設計意圖】作業1的設置，培養學生及時反思歸納的習慣，做到一課一得；作業2的題目設置了三個小問題，題目的難度由易到難，循序漸進，讓不同層次的學生都能夠對本節課的知識進行理解鞏固。 四．教學反思
在矩形中的折疊問題這一小專題復習的教學中，通過設計一系列問題，學生對折疊的認識由感性上升到理性，并抓住了折疊的本質特征，在應用舉例環節中以變化的題目讓學生感悟折疊中不變的量，學生在合作探究中用類比遷移的方法，感悟折疊的本質這個不變的因素，通過解決一個問題來融會貫通一類問題，以“不變”應“萬變”，深刻領悟解題的方法，達到了舉一反三的效果�，F對這節課具體反思如下：
1.讓反思在課堂教學中充滿活力
在本節課的例題教學中，本人引導學生作了如下的探索：此題主要考查了哪些知識點？解題過程是否規范？有無其他解法（一題多解）？如此種種。許多學生由于學習態度和心理狀態的不同，或者缺少教師必要的指導和訓練，導致缺少這一重要環節，未能形成良好的解題習慣。本節課學生通過對上面一系列問題的反思，從失誤中吸取經驗，在回顧中積累經驗提煉方法，于感悟中進一步體驗數學思想，從而達到了“做一題，通一類，會一片”的教學效果，解題能力和思維品質在更深和更高的層次得到有效提高和升華。
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2.把變式訓練貫穿課堂始終
在本節課教學中，在折紙活動“點E為邊BC上一動點，將矩形紙片ABCD沿直線AE對折”，因點E在邊BC上的不同位置生成了不同的圖形從而設置了系列問題。通過對這一系列變式問題的探究，不僅激活了學生的思維，有效地培養學生思維的深刻性、廣闊性、獨創性和靈活性，而且能迅速提高學生分析問題、解決問題的能力；其次，在對例題的教學中，也對例題拓展和圖形的變式，可以讓學生根據不同的條件用類似的方法解決問題，不僅能使學生掌握基礎知識和基本的解題方法，而且激發了學生的探索興趣，從而深入數學本質，學會數學思考。
3.注重學生課堂問題意識的培養
美國著名數學家哈爾莫斯曾說：問題是數學的心臟。學生自己發現問題和提出問題是創新的基礎，敏銳的問題意識和善于提問對于一個人創造和發展有著非常重要的作用�？梢�，培養學生的“問題意識”是我們每個教師要解決的首要問題。在本節課的教學中，本人在課堂上努力營造了一個敢想敢問的學習氛圍，創設了合適的提問題時機，提高了學生思維的深刻性。在例題的拓展教學環節中，在本人精心的引導和鼓勵下，提問題的學生越來越多，提的問題也越來越有價值，將例題進行了深入的剖析，把學生的思考引向深度。
4. 運用思維導圖促數學知識建構
思維導圖是一種利用圖像表達思維的工具，以直觀形象的表達知識的內容結構，有效呈現思考的過程及知識的關聯，它引導學生進行意義建構，是認知與學習、反思與創新的工具。在本節課的教學中，隨著課的進程，邊教邊板書，最終繪制成一幅思維導圖，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性，借助思維導圖，讓知識點串成線、成面、成體，形成一個完整的知識脈絡。在作業的設置中布置了學生自主繪制思維導圖，讓學生及時把對本節課所學內容的感悟與收獲以思維導圖的形式呈現出來，可以幫助學生理清知識的來龍去脈及內在聯系，把零散的知識有層次、有條理地聯結在一起，有效呈現學生的思考過程，讓數學思維實現可視化。
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