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視頻標簽：圓與方
所屬欄目：小學數學優質課視頻
視頻課題：人教版小學數學六年級上冊《“圓與方”》北京市西城區
教學設計、課堂實錄及教案：人教版小學數學六年級上冊《“圓與方”》北京市西城區展覽路第一小學
教學背景分析
“圓與方”這部分內容是學生在認識了正方形、圓及其面積的基礎上進行教學的。它既與前面的內容有密切的聯系，又是對前面知識的總結與提升。“圓與方”是學生第一次真正意義上將直線型圖形與曲線型圖形相結合，它既能使學生在探究過程中體會圖形的分割搭配之美，又能在視覺上有直觀的感受。 “圓與方”在中國文化中有著深厚的基礎，中國自古就有“天圓地方”之說，這體現了中國文化的中庸之道。生活中我們經常可見建筑物、裝飾物中利用了圓與方的關系，產生的美妙效果，從而體會數學的實用性。
我翻閱了北師大版、蘇教版有關“圓”的教學內容，這兩個版本的教材都只是在練習中出現了計算“正方形內最大的圓的面積”的練習，可見這兩個版本的教材對于圓與方的內容只是定位在能夠正確求出組合圖形的面積這樣的水平。而人教版教材安排了學生解決圓的內接正方形、外切正方形與圓的面積差這一實際問題，讓學生經歷問題解決的全過程。教材之所以這樣安排，不僅僅是讓學生通過尋找圖形之間的聯系解決問題，更重要的是在解決具體問題的基礎上發現更為一般的數學規律，提高發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。
課前，我對學生進行了前測，設計了三道前測題。（1.計算圓的面積。2.畫一畫寫一寫,找出下面圖形之間的聯系。3.試著求出圓中方中正方形的面積。）
從前測的結果可以看出，100%的學生能正確求出圓的面積，近83%和37%的學生能正確指出方中圓、圓中方中的圖形關系，只有13%的學生能正確求出圓內最大正方形的面積。
可見學生對圓與方的認識，更多的只是停留在對單一圖形的直觀認知上，不能用聯
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系的眼光去看待這兩個圖形，并找到兩個圖形之間的關系。尤其對于圓中方，基于學生原有的思維定式，不能將找到的聯系合理運用來解決問題。對于學生的學習困難，應設計什么樣的教學活動來突破難點，完善學生的認知呢？是否可以通過學生的動手操作使其對圖形之間聯系的認識有所感知呢？所以我設計了請學生在圓上找點連線組成與圓有聯系的新圖形的活動，學生在活動中經歷了不斷調整的探究過程，由最初的無意識連接圖形到逐漸去尋找聯系，根據聯系來連接新圖形，使學生對圖形之間的聯系有了更深層次的理解。
問題解決是一種在應用數學的過程中形成的數學能力。這種數學能力是數學教學必須著重培養的數學素質之一。通過五年級的學習，學生已經掌握了問題解決的基本步驟，會用“閱讀與理解”、“分析與解答”、“回顧與反思”的思路去思考問題，解決問題。那么在本節課的教學中，怎樣才能使學生在問題解決方面有新的發展呢？我設計了在“閱讀與理解”環節，引導學生體會既關注文字信息同時也關注圖形中所蘊含的信息，使學生理解信息更全面。“回顧與反思”環節中通過回顧問題解決的全過程，引導學生猜想驗證，在反思中得出一般性地規律。
教學目標
1.學生在“方與圓”的問題情境中，發現正方形和圓面積之間的關系，培養學生提出問題的能力，激發學生自主探究的欲望。
2.通過觀察，操作，猜想、驗證等數學活動，經歷問題解決的全過程，積累問題解決的經驗，提高學生分析問題，解決問題的能力。
3．學生在解決問題的過程中，進一步感受平面圖形學習的價值，提高數學學習的興趣和學好數學的自信心。
教學重點
教學重點：經歷問題解決的全過程，積累解決問題的經驗。
教學難點
教學難點：探究圖形之間的關系，得出一般性規律。
教學過程（文字描述）
設計意圖
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問：有什么困難？ 正方形的邊長不知道，找不到正方形邊長與圓之間的關系。 B.小組討論后獨立解答。
（提示：看看能不能添加輔助線，找找圖形之間的關系。） C．交流
展示學生的圖和做法。
對比畫輔助線的不同方法，他們的共同之處是什么？
（畫輔助線，分割圖形，找到圖形之間的聯系或分割成三角形來計算正方形的面積。）
小結：這幅圖，正方形的邊長與圓之間沒有直接的關系，通過畫輔助線的方式找到圓與正方形之間的聯系，抓住聯系就確定了計算圓和正方形面積的核心要素。 3.回顧與反思。
（1）師：同樣是圓與方組合的圖形，為什么第一幅圖同學們很順利解答，而第二幅卻遇到了困難？困難是什么？我們怎么解決的？
這兩個問題在解決方法上，有什么相同的地方嗎？ A都是找到圖形之間的聯系解決問題，如果不好找聯系，可以試著畫出輔助線來幫助思考和解決。
B都是用大面積減小面積的方法去求陰影部分面積。 （2）探究一般性規律。
師：剛才我們解決了半徑是1米時，正方形與圓面積差的問題，對于這個問題是否可以繼續研究？
干預學生，小組內解決困難。
引導學生關注通過添加輔助線，尋找圖形之間的聯系。
第一次反思：對問題解決本身的回顧反思。
預設：猜想半徑發生變化，面積差是否會變呢，會怎么變呢？ 問：我們可以怎么研究？ 預設：1、設數 2、設字母
小組合作：算算當r=2、3、4、5時，S=？面積差變了嗎？發生了怎樣的變化？ 你發現什么了？ 學生匯報 預設：
A：面積差隨著半徑增大而增大
B：縱向觀察，半徑為2時，面積差是半徑為1時的4倍，半徑為3時，面積差是半徑為1時的9倍„„ C：用字母研究：4r2-πr2=0.86r2
師：得到什么結論？（不論半徑是幾，面積差都是半徑平方的0.86倍。）
驗證結論（用r=2、3、4......代入字母表達式中驗證結論）
小結：我們利用圖形之間的聯系解決了課前的困難，發現陰影面積等于半徑平方的0.86倍，看來不論半徑是幾，利用這個規律都可以很快得到面積之差。
（3）課下自主解決圓中方圖形中陰影面積的規律。 三、欣賞圓與方的文化。 出示圖片欣賞。
四、全課總結，認識升華。
談收獲。（知識的、研究方法的、問題解決的過程）
第二次反思：對問題進行深層次探究。
培養學生的自主學習能力。
師：正方形與圓之間還有許多值得探究的問題，同學們可以在課下繼續研究。
反思
“圓與方”這部分內容是人教版新增加的例題，以往這個內容的教學一般都是以練習的形式進行，目的只定位在能夠正確求出組合圖形的面積這樣的水平。人教版教材安排了學生解決圓的內接正方形、外切正方形與圓的面積差這一實際問題，讓學生經歷問題解決的全過程。教材的安排不僅僅是讓學生通過尋找圖形之間的聯系解決問題，更重要的是在解決具體問題的基礎上發現更為一般的數學規律，提高發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。
一、注重學生問題解決能力的培養
問題解決是一種在應用數學的過程中形成的數學能力，這種數學能力是數學教學必須著重培養的數學素質之一。通過五年級的學習，學生已經掌握了問題解決的基本步驟，會用“閱讀與理解”、“分析與解答”、“回顧與反思”的思路去思考問題、解決問題。那么本節課的教學可以使學生在問題解決方面有哪些新的發展呢？在“閱讀與理解”環節，可以引導學生體會既關注文字信息同時也關注圖形中所蘊含的信息，使學生理解信息更全面。“回顧與反思”環節中設計了引導學生回顧問題解決的活動。同時對于題目的回顧與反思不僅僅停留在對解決問題方法的總結上，而是拓展提升，引導學生從這道題拓展到探尋“半徑發生變化后面積差會如何變化，面積差與圓之間會存在什么樣的規律”。這樣的設計使簡單內容的研究更深入，在研究中學生得到解決這一類問題的普遍規律，學生的“回顧與反思”更有價值也更有深度了。
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二、關注學生學習困難，適時干預，建立關聯。
學生對圓與方的認識，更多的只是停留在對單一圖形的直觀認知上，不能用聯系的眼光去看待這兩個圖形，并找到兩個圖形之間的關系。尤其對于圓中方，基于學生原有的思維定式，很難找到圖形之間的聯系并合理運用來解決問題。
教師采取了在“方中圓”這個簡單問題的處理過程中幫助學生提煉解題關鍵點---就是找到圖形之間的聯系，并轉化為組合圖形的面積計算方法來計算。力求幫助學生掃清學習的障礙，分散教學的難點。在后面解決“圓中方”問題時，對于學生的困難適時干預，并采用小組合作、討論來解決問題。隨后教師通過對兩道題目解決問題過程的回顧，組織學生對比反思，探尋出現困難的原因及解決困難的策略。
三、欣賞生活中的數學之美。
“圓與方”是學生第一次真正意義上將直線型圖形與曲線型圖形相結合，它既能使學生在探究過程中體會圖形的分割搭配之美，又能在視覺上有直觀的感受。在課堂中適時出現生活中的一些蘊含圓與正方形組合的圖片，從生活引入，把生活現象抽象出數學圖片，聯系生活實際學數學。在課的最后適時拓展圓與方的文化內涵，了解中國自古就有“天圓地方”之說，建筑物、裝飾物中利用了圓與方的關系產生的美妙效果，從而體會數學的實用性，體會生活中的數學之美。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
